中學(xué)數(shù)學(xué)教案
一、什么是教案
教案是教師為順利而有效地開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)大綱和教科書要求及學(xué)生的實(shí)際情況，以課時(shí)或課題為單位，對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)步驟、教學(xué)方法等進(jìn)行的具體設(shè)計(jì)和安排的一種實(shí)用性教學(xué)文書。教案包括教材簡(jiǎn)析和學(xué)生分析、教學(xué)目的、重難點(diǎn)、教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)過(guò)程及練習(xí)設(shè)計(jì)等。
二、中學(xué)數(shù)學(xué)教案
作為一無(wú)名無(wú)私奉獻(xiàn)的教育工作者，很有必要精心設(shè)計(jì)一份教案，教案有助于學(xué)生理解并掌握系統(tǒng)的知識(shí)。那么教案應(yīng)該怎么寫才合適呢？以下是小編為大家整理的中學(xué)數(shù)學(xué)教案，歡迎大家分享。
中學(xué)數(shù)學(xué)教案1
許多人回想起學(xué)生時(shí)代的數(shù)學(xué)老師，常常有一個(gè)共同特征：表情嚴(yán)肅、特別認(rèn)真。上課時(shí)將題目（特別是難題巧解）一絲不茍地演示給學(xué)生看，或者是拎著一沓卷子大步流星地邁進(jìn)教室，然后威嚴(yán)宣布：“X分鐘內(nèi)獨(dú)立完成，不許交頭接耳、相互討論�！庇谑菍W(xué)生立刻埋頭演算，然后老師評(píng)判。
隨著新一輪數(shù)學(xué)課程改革的推進(jìn)與深化，多元化的評(píng)價(jià)體系正在建立，數(shù)學(xué)教學(xué)也正發(fā)生著變化。數(shù)學(xué)課堂再不是單一的從復(fù)習(xí)舊知、基礎(chǔ)訓(xùn)練入手，而常常通過(guò)教師精心創(chuàng)設(shè)的一系列與生活相關(guān)的問(wèn)題情境入手來(lái)導(dǎo)入新課；課堂上，老師不再是通過(guò)自己“嚴(yán)肅、認(rèn)真、精湛的講演”來(lái)完成既定的教學(xué)任務(wù)，而常常是讓學(xué)生通過(guò)剪一剪，拼一拼，做一做，猜一猜，在實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這種教學(xué)方式不僅可以讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)，而且讓學(xué)生了解了數(shù)學(xué)的來(lái)源，緊密聯(lián)系生活，激發(fā)了學(xué)習(xí)的興趣，關(guān)注了數(shù)學(xué)的過(guò)程與方法，拓展了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的合作意識(shí)。
但對(duì)此的看法褒貶不一，認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的目的就是為了學(xué)好數(shù)學(xué)，學(xué)校要教“真正”的數(shù)學(xué)；這種做法“降低了數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的作用”；“生活性、趣味性是增強(qiáng)了‘好玩了’，但數(shù)學(xué)沒(méi)有了”；“數(shù)學(xué)教學(xué)卡通化、去數(shù)學(xué)化了”。我們的文化氛圍不太習(xí)慣學(xué)術(shù)爭(zhēng)鳴，有的一線教師甚至發(fā)出了“課程改革我們應(yīng)該聽(tīng)誰(shuí)的”感嘆。
一、產(chǎn)生這種分歧的根源
對(duì)一種現(xiàn)象不同的認(rèn)識(shí)必然有深層的根源。原因可能是多方面，有社會(huì)的、心理的，更多則是學(xué)術(shù)觀點(diǎn)上的分歧，我認(rèn)為從根本上講有兩個(gè)源頭。
1．對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解和認(rèn)識(shí)上的不同
任何時(shí)期，數(shù)學(xué)家往往會(huì)根據(jù)自己的工作對(duì)數(shù)學(xué)形成一個(gè)看法，這在數(shù)學(xué)家內(nèi)部往往也很難形成統(tǒng)一的意見(jiàn)。長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)知識(shí)被許多人認(rèn)為是客觀的、確定的、普遍有效的體系。近年來(lái)，隨著相對(duì)論、測(cè)不準(zhǔn)理論、模糊性科學(xué)的發(fā)展，以及以后現(xiàn)代知識(shí)觀從解構(gòu)科學(xué)知識(shí)的元敘事出發(fā)，試圖用對(duì)話、理解、協(xié)商來(lái)消解客觀知識(shí)，用差異性、復(fù)雜性、開(kāi)放性、不確定性來(lái)取代統(tǒng)一性、簡(jiǎn)單性、封閉性、確定性，倡導(dǎo)相對(duì)主義的知識(shí)觀。數(shù)學(xué)史學(xué)家M.Kline更為明確地提出了“數(shù)學(xué)：確定性的喪失”，提出“數(shù)學(xué)注定是要探索而不是知道，去追求真理而不是發(fā)現(xiàn)真理”，這是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中重視過(guò)程性知識(shí)、進(jìn)行探索活動(dòng)的有力支持。
數(shù)學(xué)研究需要演繹證明，但也離不開(kāi)歸納、實(shí)驗(yàn)、猜想。數(shù)學(xué)的發(fā)展正如英國(guó)著名的科學(xué)史學(xué)家丹皮爾所總結(jié)的：“希臘學(xué)者關(guān)于演繹幾何學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，使得亞里士多德在創(chuàng)立邏輯時(shí)，過(guò)于偏重推理。反之，費(fèi)蘭西斯?培根堅(jiān)持認(rèn)為歸納法具有獨(dú)特?zé)o二的重要性。這是一種自然的反動(dòng)，因?yàn)樗吹叫碌膶?shí)驗(yàn)方法具有遠(yuǎn)大的前途。穆勒指出，真正的科學(xué)方法，應(yīng)包括歸納與演繹，這樣就把亞里士多德的研究與培根的研究成果結(jié)合起來(lái)了�！�5經(jīng)典數(shù)學(xué)被認(rèn)為是一門演繹的科學(xué)，抽象和嚴(yán)謹(jǐn)使數(shù)學(xué)顯示出獨(dú)特的魅力和神奇的力量，證明與推理是經(jīng)典數(shù)學(xué)研究的主要方法。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展表明，數(shù)學(xué)不只是邏輯推理與證明，更需要?dú)w納、猜想、審美直覺(jué)、實(shí)驗(yàn)、探索。隨著現(xiàn)當(dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)中的算法與實(shí)驗(yàn)愈益顯示出威力。在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算和模擬實(shí)驗(yàn)已成為一種新的科學(xué)方法和技術(shù)。由于這種研究方法是與傳統(tǒng)方法很不相同的，計(jì)算機(jī)的使用正在改變數(shù)學(xué)的性質(zhì)，數(shù)學(xué)正在由傳統(tǒng)的演繹的科學(xué)轉(zhuǎn)化為一門實(shí)驗(yàn)與演繹并重的科學(xué)。
2．?dāng)?shù)學(xué)中“活動(dòng)”的不同理解
對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中要讓學(xué)生主動(dòng)參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)現(xiàn)在一般持贊同意見(jiàn)，但對(duì)參與活動(dòng)的方式卻有不同的理解。數(shù)學(xué)中的柏拉圖主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)是理念世界的產(chǎn)物，與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)無(wú)關(guān)的科學(xué)。在這種觀點(diǎn)支配下，則認(rèn)為數(shù)學(xué)“活動(dòng)”只是“智力活動(dòng)”。從事數(shù)學(xué)研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只要紙和筆加上一個(gè)聰明的腦袋。然而，數(shù)學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)主義、擬經(jīng)驗(yàn)主義的數(shù)學(xué)觀明確指出了數(shù)學(xué)發(fā)展對(duì)“理念世界”和“物理世界”經(jīng)驗(yàn)的雙重依托。數(shù)學(xué)是抽象的科學(xué)，但經(jīng)過(guò)多次抽象，遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)之源后，如果不回到經(jīng)驗(yàn)就有退化的危險(xiǎn)。許多數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)家都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理性與經(jīng)驗(yàn)的兩個(gè)側(cè)面的不可或缺性。人們公認(rèn)的最偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德、牛頓、高斯、龐卡萊都同是偉大的物理學(xué)家，現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)也表明，只有具有現(xiàn)實(shí)意義的數(shù)學(xué)分支才具有廣闊的研究前景。無(wú)疑，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，動(dòng)手操作、實(shí)踐這樣的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)也是數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中不可缺少的一種重要的學(xué)習(xí)方式。這是受現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展內(nèi)在規(guī)律所制約的。
二、對(duì)數(shù)學(xué)“活動(dòng)”教學(xué)的認(rèn)識(shí)
關(guān)于活動(dòng)教學(xué)的思想源于公元前335年亞里士多德在呂克昂從事教學(xué)和科學(xué)研究活動(dòng)。據(jù)說(shuō)，他和他的學(xué)生喜歡在林蔭道上一邊散步一邊講學(xué)討論，所以他的學(xué)派也被稱為逍遙學(xué)派。1近代，皮亞杰在其發(fā)生認(rèn)識(shí)論中強(qiáng)調(diào)內(nèi)在智力過(guò)程起源于活動(dòng)，前蘇聯(lián)的列維魯學(xué)派繼承了皮亞杰重視“活動(dòng)”的傳統(tǒng)，并對(duì)皮亞杰的理論進(jìn)行了拓展，強(qiáng)調(diào)：不僅認(rèn)知起源于外部活動(dòng)，個(gè)體非認(rèn)知發(fā)展也同樣源于活動(dòng)。人類一切心理活動(dòng)都是在社會(huì)歷史發(fā)展過(guò)程中被改造為內(nèi)部活動(dòng)，意識(shí)活動(dòng)是物質(zhì)生活發(fā)展的結(jié)果和衍生物。皮亞杰關(guān)于兒童認(rèn)識(shí)發(fā)展的研究證明了反身抽象是數(shù)學(xué)概念獲得的主要方式，邏輯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不是由客體的物理結(jié)構(gòu)或因果結(jié)構(gòu)派生出來(lái)的，而是“一系列不斷的反身抽象和一系列連續(xù)的自我調(diào)節(jié)的建構(gòu)�！痹趯W(xué)生能夠富有意義的理解概念和原理的抽象形式之前，通過(guò)“動(dòng)手操作”對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行具體的活動(dòng)操作，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。以杜威為代表的進(jìn)步主義教學(xué)主張教育的內(nèi)容要與兒童的社會(huì)生活經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)密切相連，兒童的經(jīng)驗(yàn)興趣決定課程的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，倡導(dǎo)以兒童的主體活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)為中心來(lái)組織教學(xué)活動(dòng)。即便是像數(shù)學(xué)這樣的理性學(xué)科也不能例外，“因?yàn)槔硇跃褪菍?shí)驗(yàn)的智慧……而它的作用又常在經(jīng)驗(yàn)中受到檢驗(yàn)”�；顒�(dòng)對(duì)個(gè)體的影響是廣泛的，不只局限于學(xué)習(xí)方面，學(xué)生參與活動(dòng)對(duì)其心理發(fā)展具有重要的意義。具體而言，參與具有認(rèn)知性和非認(rèn)知性雙重功能。對(duì)知識(shí)的掌握，思維能力的發(fā)展，學(xué)業(yè)成績(jī)的提高以及學(xué)習(xí)興趣、態(tài)度、意志品質(zhì)都具有積極的意義。事實(shí)上，人不僅可以從參與現(xiàn)實(shí)的生活情境中獲得體驗(yàn)，而且可以從活動(dòng)中產(chǎn)生原動(dòng)力。只有不斷獲得新動(dòng)力，滿足人的高度自主、主體的需要的活動(dòng)，才是最有效、最有價(jià)值的活動(dòng)。強(qiáng)調(diào)活動(dòng)的實(shí)踐性和能動(dòng)性，讓學(xué)生積極參與到教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中去，實(shí)現(xiàn)“實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)”的能動(dòng)過(guò)程，有利于學(xué)生潛力的開(kāi)發(fā)。
通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生自主參與，密切數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、形成過(guò)程和數(shù)學(xué)建模方法，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，盡可能讓學(xué)生操作、討論、作圖、制作模型，教師讓學(xué)生通過(guò)自己的實(shí)踐學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。正如法國(guó)科學(xué)院院士G.?Cjoquest所說(shuō)，“應(yīng)充分利用學(xué)生的主動(dòng)性，他們不是通過(guò)聆聽(tīng)一堂清晰美的講課來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象作實(shí)驗(yàn)而學(xué)習(xí)�！痹跀�(shù)學(xué)教學(xué)中，所有能使學(xué)生進(jìn)入個(gè)人活動(dòng)的方法都應(yīng)該使用，教師的作用并非只是準(zhǔn)備一堂單純的課，而是要尋找使學(xué)生最大限度地參與活動(dòng)的方法。
三、數(shù)學(xué)活動(dòng)如何更好地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，促進(jìn)身心全面發(fā)展
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多數(shù)學(xué)老師信奉“精講多練”的金律，因?yàn)檫@種教學(xué)“效率高”，在知識(shí)的再現(xiàn)時(shí)會(huì)“熟能生巧”、“運(yùn)用自如”。當(dāng)然數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中活動(dòng)不是不重視,獨(dú)立思考、獨(dú)立做題等“思維活動(dòng)”一直是首倡的學(xué)習(xí)方式。因?yàn)椤皵?shù)學(xué)是思維的體操”，自然在有些人看來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的活動(dòng)就是思維活動(dòng)，誰(shuí)解題快、準(zhǔn)，誰(shuí)就能得高分，數(shù)學(xué)就學(xué)得好。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的因而簡(jiǎn)（異）化為能得到一個(gè)理想的分?jǐn)?shù)，進(jìn)而升入一所理想的學(xué)校。這是許多學(xué)生、教師追求的“目標(biāo)”（當(dāng)然也成為相關(guān)部門評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)）。數(shù)學(xué)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系只是一種裝飾（如果與考試無(wú)關(guān)）。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言只不過(guò)是一個(gè)“跳板”，甚至是一種無(wú)奈。雖然幾乎每個(gè)人都知道學(xué)數(shù)學(xué)很重要，但是多數(shù)人只是由于在“知識(shí)改革命運(yùn)”中舉足輕重——作為一個(gè)篩子決定了一個(gè)人的“前程”。這種教學(xué)方式（思想）在一定程度上成為中國(guó)數(shù)學(xué)教育的“特色”。
20xx年9月7日全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（NCTM）前主席W.Lott博士率領(lǐng)32人數(shù)學(xué)教育代表團(tuán)來(lái)北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院訪問(wèn)，介紹到美國(guó)的數(shù)學(xué)課堂大多數(shù)由學(xué)生自己進(jìn)行活動(dòng)、探索30－35分鐘，甚至更多，老師講得很少。他們也在反思，這種教學(xué)方式是不是效率太低。他們聽(tīng)說(shuō)，在中國(guó)的情形是不是正好相反，基本上都由老師來(lái)講解，問(wèn)我們這是不是真的？如何看待這一問(wèn)題。中美雙方基本的看法是需要“尋找中間地帶”。事實(shí)上，我們的數(shù)學(xué)課堂正在（或者說(shuō)已經(jīng)）發(fā)生變化。
這種變化是不是走過(guò)頭了？不可否認(rèn)，這種負(fù)面的現(xiàn)象由于種種原因已經(jīng)出現(xiàn)。2005年6月，作為中加合作研究項(xiàng)目到西部某縣城調(diào)研，在某小學(xué)聽(tīng)數(shù)學(xué)課，學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)為了能讓數(shù)學(xué)課“活動(dòng)起來(lái)”，安排了一位“有感染力的語(yǔ)文老師來(lái)上數(shù)學(xué)”，課上老師的“表演”算是出色，以生動(dòng)活潑、富有趣味性的卡通畫來(lái)增加數(shù)學(xué)的趣味性，但就是數(shù)學(xué)沒(méi)有了，學(xué)生也難“活動(dòng)”起來(lái)。對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)回歸生活的這種理解必然會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)卡通化代替數(shù)學(xué)化的現(xiàn)象，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生嚴(yán)重的危害。
讓學(xué)生從輕松、愉快的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其實(shí)并沒(méi)走過(guò)頭，而是折射出大量具體的實(shí)踐需要我們?nèi)ヌ剿�、總結(jié)。一些專家、學(xué)者的批評(píng)意見(jiàn)并不是要在教學(xué)實(shí)踐中封殺活動(dòng)、探究數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，而提醒人們?cè)趯?shí)踐中應(yīng)注意的問(wèn)題。而且理論研究常常是超前的，也必須是超前的。作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)，其目的應(yīng)是為了促進(jìn)學(xué)生的身心發(fā)展，形成完滿的人格。正如弗賴登塔爾所言：“不要忘記數(shù)學(xué)在社會(huì)中扮演的角色，在過(guò)去、現(xiàn)在一直到將來(lái)，教數(shù)學(xué)的教室不可能浮在半空中，而學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生也必然是屬于社會(huì)的”。因此不該“一味追求現(xiàn)代數(shù)學(xué)中形式變換的花樣”，一般說(shuō)來(lái)，常規(guī)的課堂教學(xué)重知識(shí)的系統(tǒng)性，而通過(guò)活動(dòng)的方式學(xué)習(xí)則更注重過(guò)程、培養(yǎng)興趣。事實(shí)證明，特別是在小學(xué)階段教學(xué)過(guò)程中只有將數(shù)學(xué)與它有關(guān)的現(xiàn)實(shí)世界背景緊密聯(lián)系在一起，也就是說(shuō)只有通過(guò)具體問(wèn)題情景到抽象化形式化的數(shù)學(xué)化過(guò)程來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)的教與學(xué)，才能使學(xué)生獲得充滿著關(guān)系的、富有生命力的數(shù)學(xué)知識(shí)。
中學(xué)數(shù)學(xué)教案2
一位來(lái)自阿肯色州的年輕太太格羅麗亞，正在加利福尼亞州旅行.她想在旅館租用一個(gè)房間，租期一周.辦事員此時(shí)正心緒不佳。辦事員：房費(fèi)每天20元，要付現(xiàn)錢.格羅麗亞：很抱歉，先生，我沒(méi)帶現(xiàn)錢.但是我有一根金鏈，共7節(jié)，每節(jié)都值20元以上.辦事員：好吧，把金鏈給我.格羅麗亞：現(xiàn)在不能給你.我得請(qǐng)珠寶匠把金鏈割斷，每天給你一節(jié)，等到周末我有了現(xiàn)錢再把金鏈贖回.辦事員終于同意了，但格羅麗亞必須決定如何斷開(kāi)金鏈的方法.格羅麗亞：我該三思而行，因?yàn)橹閷毥呈前凑账懈詈鸵院笾匦逻B接的節(jié)數(shù)來(lái)索價(jià)的.格羅麗亞想了一下，悟到她不必把每一節(jié)都割斷，因?yàn)樗梢园岩欢味谓疰湏Q進(jìn)換出，以這種方式來(lái)付房費(fèi).當(dāng)她算出需要請(qǐng)珠寶匠割斷的節(jié)數(shù)時(shí)，她幾乎不能自信。你想一想需要割開(kāi)多少節(jié)?
只需要割開(kāi)一節(jié)。這一節(jié)應(yīng)是從一端數(shù)起的第三節(jié).把金鏈斷開(kāi)成1節(jié)，2節(jié)，4節(jié)這樣三段后就能以換進(jìn)換出的方式每天付給辦事員一節(jié)作為房費(fèi)。
啊哈!領(lǐng)悟到下列兩點(diǎn)才能解題.第一，至少需要有1節(jié)，2節(jié)，4節(jié)這樣三段(即其節(jié)數(shù)成二重級(jí)數(shù)的一些段)，這樣才能以各種不同的組合方式組成1節(jié)，2節(jié)，3節(jié)，4節(jié)，5節(jié)，6節(jié)和7節(jié).我們?cè)谒幤坊靵y問(wèn)題中已經(jīng)知道，這就是作為二進(jìn)制記數(shù)法基礎(chǔ)的冪級(jí)數(shù).
第二，只需要割開(kāi)一節(jié)就可以把金鏈分成符合要求的三段.關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，若把金鏈的長(zhǎng)度增加，則可以想出一些新的問(wèn)題.例如，假設(shè)格羅麗亞有一根63節(jié)的金鏈，她想把金鏈割開(kāi)，以上面那種方式來(lái)付63天的房費(fèi)(價(jià)格不變).要達(dá)到此種目的只需要割開(kāi)三節(jié).你想出來(lái)了嗎?你能否根據(jù)金鏈的不同長(zhǎng)度設(shè)計(jì)一個(gè)通用的解題程序，要求分割開(kāi)的節(jié)數(shù)為最少?
有一個(gè)有趣的變相問(wèn)題：若所經(jīng)手的n節(jié)首尾相連的閉合回路，例如說(shuō)格羅麗亞有一串金項(xiàng)鏈，由79節(jié)相連而成，若每天房費(fèi)為一節(jié)，試問(wèn)最少需要分割開(kāi)幾節(jié)才能支付79天房費(fèi)?
所有這些問(wèn)題都跟二進(jìn)制記數(shù)法有密切的關(guān)系.比如格羅麗亞的63節(jié)金項(xiàng)鏈如何分割?只要將63化成二進(jìn)制表示：等于111111即63=1+2+4+8+16+32只要將從第二節(jié)開(kāi)始的兩節(jié)割開(kāi)，再將從第八節(jié)開(kāi)始的八節(jié)割下來(lái)，和從第32節(jié)開(kāi)始的32節(jié)割下來(lái)即可，這樣就有了從1，2，3，4，5，6，直到63的所有節(jié)數(shù).一般地，若有n節(jié)金鏈，n是形如2k-1類型的數(shù)，將n化成二進(jìn)制表示，再將所有1的位置所代表的2的冪的數(shù)相間隔地割開(kāi)即可達(dá)到目的.但是對(duì)于其他任意類型的數(shù)，卻不能奏效，比如對(duì)于格羅麗亞的79節(jié)金項(xiàng)鏈，79的二進(jìn)制記數(shù)法表示為1001111.即79=1+2+4+8+0+0+64，這樣從1到15都能表示，可是從16到63都沒(méi)法表示，我把這個(gè)問(wèn)題做到這里，也一時(shí)糊涂起來(lái)，但這個(gè)問(wèn)題畢竟不是很復(fù)雜，咱們也學(xué)一學(xué)閔科夫斯基在課堂上口出狂言要解決四色問(wèn)題的勁頭，摸索著來(lái)解決一把.咱們可以這樣：你不是要求節(jié)數(shù)最少嗎?假設(shè)n=a+b其中a是已經(jīng)找到的最大的那一節(jié)數(shù)，b是比n小的.已經(jīng)解決了的金鏈問(wèn)題，由于b已經(jīng)解決，因此b的拆分能夠表示從1，2，3，...b-1，b的所有金鏈節(jié)數(shù)，而再大一些的數(shù)就不能夠表示了，比如b+1，所以必須要a參加進(jìn)來(lái)，如果n是奇數(shù)，可令a=b+1，這樣n=2b+1，所以b=(n-1)/2，a=(n+1)/2，這樣就找到了最大的一節(jié)的節(jié)數(shù)a，然后對(duì)b=(n-1)/2繼續(xù)應(yīng)用如上的辦法，即可解決問(wèn)題.如果n是偶數(shù)，可令a=b，這樣雖然a本身不能表示出b+1，但是可以從b的拆分中拿出一個(gè)1來(lái)(這個(gè)1是必須存在的，因?yàn)橐硎緩?，2，3，...b-1，b的所有數(shù))與a組成a+1也就是b+1.所以n=a+b=2a=2b，a=b=n/2.這樣也找到了n為偶數(shù)時(shí)最大的一節(jié)金鏈的節(jié)數(shù).對(duì)于b繼續(xù)如上的過(guò)程，就可以找到全部應(yīng)該斷開(kāi)的金鏈節(jié)數(shù)，我算出了從1到15的所有拆分如下：
1=1
2=1+1
3=1+2
4=1+1+2
5=1+1+3
6=1+2+3
7=1+2+4
8=1+1+2+4
9=1+1+2+5
10=1+1+3+5
11=1+1+3+6
12=1+2+3+6
13=1+2+3+7
14=1+2+4+7
15=1+2+4+8
對(duì)于上面的格羅麗亞太太的79節(jié)金項(xiàng)鏈，79+1=80，80/2=40，所以最大的一節(jié)就是40節(jié)，79-40=39，39+1=40，40/2=20，所以第二大的一節(jié)就是20節(jié)，39-20=19，19+1=20，20/2=10，第三大的一節(jié)是10節(jié)，19-10=9，9+1=10，10/2=5，又找到了一節(jié)是5，9-5=4，4的表示法如上已經(jīng)列出來(lái)了：4=1+1+2.最后得到79節(jié)的金項(xiàng)鏈的分割法：1，1，2，5，10，20，40.過(guò)去我也碰到過(guò)一道類似的題，是23節(jié)金項(xiàng)鏈，也能夠很容易地解決：23+1=24，24/2=12;23-12=11，11=1+1+3+6;所以23的分割法為：1，1，3，6，12.顯然，對(duì)于2k-1類型的數(shù)，用這里的辦法與用二進(jìn)制記數(shù)法得出的結(jié)果是一致的.
從上面所列出的拆分法可以看出，如果2k=2k+1，那么n一定要用k+1個(gè)數(shù)來(lái)表示，即：n=a0+a1+a2+...+ak.
可以用數(shù)學(xué)歸納法很容易地證明這是正確的.那么還有沒(méi)有比這更少的分割法呢?可以證明沒(méi)有了.從我們的分析方法中可以看出，這是一個(gè)構(gòu)造性的推理過(guò)程，假如還有比這更少的分割法，那么相當(dāng)于在表達(dá)式n=a0+a1+a2+...+ak.中進(jìn)行了某些組合，比如將a1+a2合并成新的a1，那么原來(lái)的有些組合就表示不出來(lái)了，例如a0+a2，就沒(méi)有辦法組合了.當(dāng)然，一個(gè)數(shù)的拆分不是唯一的，前面的23節(jié)金鏈還可以分成1，2，3，6，11.你可以試試，這種分割法照樣能滿足要求.前面的分析中也可以把(n-1)/2留下來(lái)作為最大的節(jié)數(shù)，但是這樣分出來(lái)的節(jié)數(shù)就不一定都是最少的了，例如把15這樣分割，會(huì)得到：1，1，2，4，7.雖然能夠滿足付房費(fèi)的要求，但是就不是最優(yōu)解了.最后總結(jié)一下，把前面的算法過(guò)程公式化可以得到：
k-1r-1k-1
n=(n+c0)/2+{[n-cs2s+cr2r]/2r+1}+[n-cr2r]/2k
r=1s=0r=0
其中c0，c1，...ck-1等等是1或是0取決于每一步得出的數(shù)的奇偶性.其實(shí)最后一項(xiàng)等于1，這樣可以得出：
k-1
n-2k=cr2r
r=0
a0=(n+c0)/2
i-1
ai=[n-cs2s+ci2i]/2i+11(i=1，2，3，...k-1)
s=0
ak=1
當(dāng)然，編成計(jì)算機(jī)程序還是用遞歸程序比較簡(jiǎn)單.這里列出這些公式是為了保留存照。
中學(xué)數(shù)學(xué)教案3
中學(xué)數(shù)學(xué)三角函數(shù)教案模板通過(guò)對(duì)三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步學(xué)會(huì)由圖象求解析式的方法，根據(jù)解析式作出圖象并研究性質(zhì)。
一、教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）通過(guò)對(duì)三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步學(xué)會(huì)由圖象求解析式的方法，根據(jù)解析式作出圖象并研究性質(zhì)；
�。�2）體驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型；
�。�3）讓學(xué)生體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力。
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題．難點(diǎn)：將某些問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型。
三、教學(xué)方法：
數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人的思維、發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，本節(jié)課的內(nèi)容是三角函數(shù)的應(yīng)用，所以應(yīng)讓學(xué)生多參與，讓其自主探究分析問(wèn)題，然后由老師啟發(fā)、總結(jié)、提煉，升華為分析和解決問(wèn)題的能力。
四、教學(xué)過(guò)程：
�。ㄒ唬┱n題引入
生活中普遍存在著周期性變化規(guī)律的現(xiàn)象，晝夜交替四季輪回，潮漲潮散、云卷云舒，情緒的起起落落，庭前的花開(kāi)花謝，一切都逃不過(guò)數(shù)學(xué)的眼睛！這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)如何用數(shù)學(xué)的眼睛洞察我們身邊存在的周期現(xiàn)象-----1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用。
�。ǘ┑湫屠}
�。�1）由圖象探求三角函數(shù)模型的解析式
例1．如圖，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。．
�。�1）求這一天6～14時(shí)的最大溫差；
�。�2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式
設(shè)計(jì)意圖：切入本節(jié)課的課題，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)任務(wù)和目標(biāo)。同時(shí)以設(shè)問(wèn)和探索的方式導(dǎo)入新課，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)思維，做好基礎(chǔ)鋪墊，讓學(xué)生帶著問(wèn)題，有目的地參與后續(xù)教學(xué)活動(dòng)。
【問(wèn)題的反思】：
�、僖话愕�，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個(gè)時(shí)段的溫度變化情況，因此應(yīng)當(dāng)特
別注意自變量的變化范圍；
�、谂c學(xué)生一起探索?的各種求法；（這是本題的關(guān)鍵！也是難點(diǎn)�。�
設(shè)計(jì)意圖：提出問(wèn)題，有學(xué)生動(dòng)腦分析，自主探究，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣。
歸納小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，進(jìn)一步突出了函數(shù)來(lái)源于生活應(yīng)用于生活的思想，體驗(yàn)了一些具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)“建�！彼枷�。五、作業(yè)布置
書面作業(yè)：
�。�1）習(xí)題1.61---3
（2）一半徑為3m的水輪如右圖所示,水輪圓心O距離水面2m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈,如果當(dāng)水輪上P點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中
求P點(diǎn)相對(duì)于水面的高度h(m)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系式P點(diǎn)第一次達(dá)到最高點(diǎn)約要多長(zhǎng)時(shí)間?
2.探究性作業(yè)：請(qǐng)學(xué)生分小組對(duì)以下的問(wèn)題或自選問(wèn)題進(jìn)行合作探究，并將各組的結(jié)果（無(wú)論成與敗）制成PPT在下節(jié)課上進(jìn)行交流。
問(wèn)題1電視臺(tái)的不同欄目播出的時(shí)間周期是不同的。有的每天播出，有的隔天播出，有的一周播出一次。請(qǐng)查閱當(dāng)?shù)氐碾娨暪?jié)目預(yù)告，統(tǒng)計(jì)不同欄目的播出周期。
問(wèn)題2請(qǐng)你調(diào)查你們地區(qū)每天的用電情況，制定一項(xiàng)“消峰平谷”的電價(jià)方案。
問(wèn)題3一個(gè)城市所在的經(jīng)度和緯度是如何影響日出和日落的時(shí)間的？收集其他有關(guān)的數(shù)據(jù)并提供理論證據(jù)支持你的結(jié)論。
這一過(guò)程是探究活動(dòng)在時(shí)間上的延續(xù)，是對(duì)課堂學(xué)習(xí)的必要補(bǔ)充。
二、教學(xué)反思
以問(wèn)題引導(dǎo)教學(xué)，讓學(xué)生聽(tīng)有所思，思有所獲，獲有所感。問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，使學(xué)習(xí)內(nèi)容在難度和強(qiáng)度上循序漸進(jìn)而又螺旋上升，并通過(guò)互動(dòng)逐一達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，較好的提高了課堂教學(xué)的有效性。七、超級(jí)鏈接
1、設(shè)y?f(t)是某港口水的深度關(guān)于時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)，其中0?t?24,下表是該港口某一天從0至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系.
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