數(shù)學(xué)教案－直線的傾斜角和斜率
作為一名教職工，就難以避免地要準(zhǔn)備教案，編寫(xiě)教案有利于我們準(zhǔn)確把握教材的重點(diǎn)與難點(diǎn)，進(jìn)而選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。那么什么樣的教案才是好的呢？以下是小編幫大家整理的數(shù)學(xué)教案－直線的傾斜角和斜率，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
教學(xué)目標(biāo)
�。�1）了解直線方程的概念．
�。�2）正確理解直線傾斜角和斜率概念．理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率．
�。�3）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式．
（4）通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力．
�。�5）通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神．
教學(xué)建議
1．教材分析
�。�1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念；其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說(shuō)直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式．這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法．
�。�2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
�、俦竟�(jié)的重點(diǎn)是斜率的概念和斜率公式．直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線，無(wú)論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用．因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵．
�、诒竟�(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解．學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受．
2．教法建議
�。�1）本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立．相應(yīng)的教學(xué)過(guò)程也有三個(gè)階段
�、僭诮虒W(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線的方向，如何定義這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念．
�、诒竟�(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解．學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫(huà)直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣．學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎．再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問(wèn)題，就要求教師幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數(shù)的形式，下同）中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切．為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)：
(1) α變化→直線變化→中的系數(shù)變化（同時(shí)注意的變化）．
(2)中的系數(shù)變化→直線變化→α變化（同時(shí)注意的變化）．
運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線方程中系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的．
�、墼谶M(jìn)行過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識(shí)的聯(lián)系，課前要對(duì)平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備．
�、茉�學(xué)習(xí)直線方程的概念時(shí)要通過(guò)舉例清晰地指出兩個(gè)條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系．為將來(lái)學(xué)習(xí)曲線方程做好準(zhǔn)備．
�。�2）本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià)的教學(xué)模式．學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭(zhēng)辯、交流、和評(píng)價(jià)．傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)中完成的．在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展．教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)爭(zhēng)論，組織交流，參與評(píng)價(jià)．
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
直線的傾斜角和斜率
教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式．
�。�3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力．
�。�4）幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線斜率的概念和公式
教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法
教學(xué)過(guò)程：
�。ㄒ唬┲本�方程的概念
如圖1，對(duì)于一次函數(shù)，和它的圖像——直線有下面關(guān)系：
（1）有序數(shù)對(duì)（0，1）滿(mǎn)足函數(shù)，則直線上就有一點(diǎn)A，它的坐標(biāo)是（0，1）．
�。�2）反過(guò)來(lái)，直線上點(diǎn)B（1，3），則有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，3）就滿(mǎn)足．
一般地，滿(mǎn)足函數(shù)式的每一對(duì)，的值，都是直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)（，）；
反之，直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（，）都滿(mǎn)足函數(shù)式，因此，一次函數(shù)的圖象是一條直線，它是以滿(mǎn)足的每一對(duì)x，y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的．
從方程的角度看，函數(shù)也可以看作是二元一次方程，這樣滿(mǎn)足一次函數(shù)的每一對(duì)，的值“變成了”二元一次方程的解，使方程和直線建立了聯(lián)系．
定義：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線上的所有點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個(gè)方程的直線．
以上定義改用集合表述：，的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合，記作．若（1）（2），則．
問(wèn)：你能用充要條件敘述嗎？
答：一條直線是一個(gè)方程的直線，或者說(shuō)這個(gè)方程是這條直線的方程的充要條件是……．
�。ǘ┲本�的傾斜角
【問(wèn)題1】
請(qǐng)畫(huà)出以下三個(gè)方程所表示的直線，并觀察它們的異同．
過(guò)定點(diǎn)，方向不同．
如何確定一條直線？
兩點(diǎn)確定一條直線．
還有其他方法嗎？或者說(shuō)如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？
學(xué)生：思考、回憶、回答：這條直線的.方向，或者說(shuō)傾斜程度．
【導(dǎo)入】
今天我們就共同來(lái)研究如何刻畫(huà)直線的方向．
【問(wèn)題2】
在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來(lái)刻畫(huà)直線的方向呢？討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問(wèn)題，同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的．
學(xué)生：展開(kāi)討論．
學(xué)生討論過(guò)程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，教師注意引導(dǎo)．
通過(guò)討論認(rèn)為：應(yīng)選擇α角來(lái)刻畫(huà)直線的方向．根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當(dāng)然用最小的正角．從而得到直線傾斜角的概念．
【板書(shū)】
定義：一條直線l向上的方向與軸的正方向所成的最小正角叫做直線的傾斜角．
�。ń處煆�(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）直線向上的方向，（2）軸的正方向，（3）最小正角．）
特別地，當(dāng)與軸平行或重合時(shí)，規(guī)定傾斜角為0°．
由此定義，角的范圍如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π如圖3
至此問(wèn)題2已經(jīng)解決了，回顧一下是怎么解決的．
�。ㄈ┲本�的斜率
【問(wèn)題3】
下面我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫(xiě)出它們的直線方程．然后觀察思考：
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現(xiàn)的？
學(xué)生：在練習(xí)本上畫(huà)出直線，寫(xiě)出方程．
30° --à＝
45° --à＝
135°--à＝
（注：學(xué)生對(duì)于寫(xiě)出傾斜角是45°、135°的直線方程不會(huì)困難，但對(duì)于傾斜角是30°可能有困難，此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30°角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決．）
【演示動(dòng)畫(huà)】
觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中系數(shù)變化的關(guān)系
(1)直線變化→α變化→中的系數(shù)變化（同時(shí)注意α的變化）．
(2)中的x系數(shù)k變化→直線變化→α變化（同時(shí)注意α的變化）．
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納，猜想出傾斜角與的系數(shù)的關(guān)系：傾斜角不同，方程中的系數(shù)不同，而且這個(gè)系數(shù)正是傾斜角的正切！
【板書(shū)】
定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率．記作，即．
這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現(xiàn)在我們又定義一個(gè)從“數(shù)”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于軸（正方向）傾斜程度的量——斜率．
指出下列直線的傾斜角和斜率：
(2)＝tg60° (3)＝tg(-30°)
學(xué)生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)
畫(huà)圖，指出傾斜角和斜率．
結(jié)合圖3（也可以演示動(dòng)畫(huà)），觀察傾斜角變化時(shí)，斜率的變化情況．
注意：當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在．
α＝0° --à＝0
0°＜α＜90° --à＞0
α＝90° --à不存在
90°＜α＜180°--à＜0
（四）直線過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)
【問(wèn)題4】
如果給定直線的傾斜角，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義＝tgα求出直線的斜率；
如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？
即已知兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線P1P2的斜率．
思路分析：
首先由學(xué)生提出思路，教師啟發(fā)、引導(dǎo)：
運(yùn)用正切定義，解決問(wèn)題．
(1)正切函數(shù)定義是什么？（終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)．）
(2)角α是“標(biāo)準(zhǔn)位置”嗎？（不是．）
(3)如何把角α放在“標(biāo)準(zhǔn)位置”？（平移向量，使P1與原點(diǎn)重合，得到新向量．）
(4)P的坐標(biāo)是多少？（x2-x1，y2-y1）
(5)直線的斜率是多少？＝tgα=（x1≠x2）
(6)如果P1和P2的順序不同，結(jié)果還一樣嗎？（一樣）．
評(píng)價(jià)：注意公式中x1≠x2，即直線P1 P2不垂直x軸．因此當(dāng)直線P1P2不垂直x軸時(shí)，由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率，而不需要求出傾斜角．
【練習(xí)】
(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為α？
(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？
(3)直線(-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？
(4)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(0，0)、 (-1，)直線的傾斜角和斜率．
(5)課本第37頁(yè)練習(xí)第2、4題．
教師巡視，觀察學(xué)生情況，個(gè)別輔導(dǎo)，訂正答案（答案略）．
【總結(jié)】
教師引導(dǎo)：首先回顧前邊提出的問(wèn)題是否都已解決．再看下邊的問(wèn)題：
(1)直線傾斜角的概念要注意什么？
(2)直線的傾斜角與斜率是一一對(duì)應(yīng)嗎？
(3)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎？
學(xué)生邊討論邊總結(jié)：
(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，當(dāng)α=90°時(shí)，α不存在．
【作業(yè)】
1．課本第37頁(yè)習(xí)題7．1第3、4、5題．
2．思考題
�。�1）方程是單位圓的方程嗎？
�。�2）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，傾斜角是45°的直線方程嗎？
�。�3）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
�。�4）你能說(shuō)出過(guò)（1，1）點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？
板書(shū)設(shè)計(jì)
7．1直線的傾斜角和斜率
一、直線方程
二、直線的傾斜角
三、直線的斜率
四、斜率公式
練習(xí)
小結(jié)
作業(yè)
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