《鴿巢問題》教學設計
教學目標：
1、知識與技能：初步了解鴿巢原理，學會簡單的鴿巢原理分析方法，運用鴿巢原理的知識解決簡單的實際問題或解釋相關的現象。
2、過程與方法：通過操作、觀察、比較、說理等數學活動，使學生經歷鴿巢原理的形成過程，體會和掌握邏輯推理思想和模型思想。
3、情感 態度：通過對鴿巢原理的靈活運用，感受數學的魅力，體會數學的價值，提高學習數學的興趣。
教學重點：經歷“鴿巢原理”的探究過程，理解鴿巢原理。
教學難點：理解“鴿巢原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。
教學準備：多媒體課件、鉛筆、紙杯、合作探究作業紙。
教學過程：
一、 喚起與生成
1、談話：同學們，你們喜歡魔術嗎？今天，黃老師給大家表演一個小魔術。一副牌，取出大小王，還剩52張牌，請5個同學每人隨意抽一張，我知道至少有2張牌是同花色的。相信嗎？來，試試看。
2、驗證： 抽取，統計。是不是湊巧了，再來一次。表演成功！
3、至少2張是什么意思？（也就是最少2張，最起碼2張，反過來，同一花色的可能有2張，也可能是3張、4張、5張...，一句話概括就是至少2張）。
確定是哪個花色了嗎 ？（沒有）反正總有一個花色，所以，這個數據不管是在哪個花色出現都證明表演是成功的。
4、設疑：你們想知道這是為什么嗎？其實這里面蘊藏著一個非常有趣的數學原理，這節課讓我們一起去發現！
二、探究與解決
（一）、小組探究：4放3的簡單鴿巢問題
1、出 示：把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。
2、審 題：
�、僮x題。
�、趶念}目上你知道了什么？證明什么？
�。ㄎ抑懒税�4支鉛筆放進3個筆筒中，證明不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。）
③你怎樣理解“不管怎么放”、“總有” 、“至少”的意思？
“不管怎么放”：就是隨便放、任意放。
“總有”： 就是一定有，不確定是哪個筆筒，這個筆筒沒有那個筆筒會有。
“至少”： 就是最少，最起碼。至少有2支，就是最少有2支，不能少于2支。也可能是3支、4支、甚至5支。
3、探 究：
①談 話：看來大家已經理解題目的意思了，眼見為實，就讓我們親自動手擺一擺、放一放，看看有哪幾種放法？
�、诨� 動：小組活動，四人小組。
聽要求！
活動要求：每個小組都有筆筒和筆，請四個人中面對面的兩人一人扶杯子一人放鉛筆，另外兩人一人口述一人記錄，讓我們齊心協力，擺出所有情況后，對照題目，看有什么發現。
聽明白了嗎？開始！
3、反 饋：匯報結果
同學們辦法真多，有用畫圖法，有用數的分解來表示，都很清晰。誰來匯報一下你們的成果？
可以在第一個筆筒中放4支鉛筆，其他兩個空著。這種放法可以說成（4,0,0），（3,1,0），（2,2,0），（2,1,1）（課件逐一出示）
追 問：誰還有疑問或補充？
預設：說一說你比他多了哪一種放法？
�。�2，1，1）和（1，1，2）是一種方法嗎？為什么？）
只是位置不同，方法相同
5、驗證：觀察這4種擺法，憑什么說“總有一個筆筒中至少有2支鉛筆”？
�。�1）逐一驗證：
第一種擺法（4，0，0），是不是總有一個筆筒至少2支，哪個？放的最多的筆筒里有4支，比2支多也可以嗎？
符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。
第二種擺法（3，1，0），符合。哪個？放的最多的筆筒里有3支，符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。
第三種擺法（2，2，0），放的最多的筆筒里有2支， 符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。
第四種擺法（2，1，1），放的最多的筆筒里有2支， 符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。
符合條件的那個筆筒在三個筆筒中都是最多的。
�。�2）設疑：我有一個疑問，第一種擺法（4，0，0）放的最多的筆筒里，放有4支，可以說總有一個筆筒至少有4 支鉛筆嗎？說成3支也不行嗎？
�。�3）小結：哦，原來是這樣，要考慮所有擺法，然后在所有擺法中，圈出每一種擺法中最多的，再從最多的里面找到至少數，就能得出這個結論。
所以，把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。
�。ǘ┳灾魈骄浚�5放4的簡單鴿巢原理
1、過 渡：依此推想下去
2、出 示：把5支鉛筆放進4個筆筒，不管怎么放，總有一個筆筒至少有（ ）支鉛筆。
3、猜 想：同學們猜猜看，至少數是幾支？（你說、你說）
4、驗 證：你們的猜測對嗎？讓我們來驗證一下。
活動要求：
�。�1）思考有幾種擺法？記錄下來。
（2）觀察每一種擺法，能不能從中找出答案。有困難的可以同桌合作。
好，開始。（教師參與其中）。
5、匯 報：把5支鉛筆放進4個筆筒中，共有6種擺法
分別是：5000 、4100、 3200、 3110 、2200、2111
（課件同步播放）
預設：我圈出了每種擺法中，放鉛筆最多的那個筆筒，然后發現，放鉛筆最多的的筆筒里面至少放有2支鉛筆。
6、訂 正：有補充的嗎？噢，我們來看，這6種擺法，把每種方法里放的（停頓）最多的鉛筆圈出來了，分別是5支、4支、3支、2支，從中找到至少數是2支。
7、小 結：恭喜答對的同學！同學們可真是厲害！請看，我們研究了這樣的兩個問題：
①把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。會講為什么。
�、诎�5支鉛筆放進4個筆筒，不管怎么放，總有一個筆筒至少有幾支鉛筆？會求至少數。
不管是對結論的證明還是求解至少數，我們都采用一一列舉的方法，羅列出所有擺法，再通過觀察，得出結論。
�。ㄈ�、探究鴿巢原理算式
1、談 話：哎，如果這里有 100支鉛筆放進30個筆筒，不管怎么放，總有一個筆筒至少有幾支鉛筆？
還是讓求至少數，還用一一列舉的方法來研究，你覺得怎么樣？
�。ê寐闊�，是啊， 想想都覺得麻煩�。�
2、追 問：數學是一門簡潔的科學，那就請同學們想一想，除了通過操作一一列舉出來，有沒有什么方法能一下子找到結果呢？
其實，我們剛才已經和那一種方法見過面，以4放3為例，請同學們認真觀察每一種擺法，分別找一找，哪一種擺法最能說明：總有一個筆筒里至少放有2支鉛筆呢？
3、平均分：為什么這樣分呢？
生：我是這樣想的，先假設每個筆筒中放1支，這樣還有1支，這是無論放到哪個筆筒，那個筆筒中就有2支了，所以我認為是對的。（課件演示）
師：你為什么要先在每個筆筒中放1支呢？
生：因為總共只有4支，平均分，每個筆筒只能分到1支。
師：為什么一開始就要去平均分呢？
生：平均分，就可以使每個筆筒中的筆盡可能少一點。也就有可能找到和題目意思不一樣的情況。
師：我明白了，但這樣能證明總有一個筆筒中肯定會有2 支筆，怎么就證明了至少有2支呢？
生：平均分已經使每個筆筒中的筆盡可能的少了，如果這樣都符合要求，那另外的情況肯定也是符合要求的了。
師：看來，平均分是保證“至少”數的關鍵。
4、列式：
�、倌隳苡盟闶奖硎締幔�
4÷3=1……1?? 1+1=2
�、谥v講算式含義。
a、指名講：假設把4支鉛筆平均放進3個筆筒中，每個筆筒放1支，剩下的1支就要放進其中的一個筆筒，1+1=2，所以總有一個筆筒至少有2支鉛筆。
b、真棒！講給你的同桌聽。
5、運 用：把5支鉛筆放進4個筆筒不管怎么放，總有一個筆筒至少有幾支鉛筆？? 請用算式表示出來。
5÷4=1……1?? 1+1=2
說說算式的意思。
a、同桌齊說。
b、誰來說一說？
師：我們會用除法算式表示平均分的過程，這種方法更為快捷、簡明。
�。ㄋ模┨骄可詮碗s的鴿巢問題
1、加深感悟：我們繼續研究這樣的問題，邊計算邊思考：這樣的題目有什么特點？結論中的至少數是怎樣得到的？
2、題組（開火車，口答結果并口述算式）
（1）6支鉛筆放進5個筆筒里，總有一個筆筒里面至少有（）支鉛筆
（2）7支鉛筆放進5個筆筒里，總有一個筆筒里面至少有（）支鉛筆
7÷5=1…… 2?? 1+2=3?
7÷5=1…… 2?? 1+1=2
出現了兩種答案，究竟那種正確？同桌商量商量。不行我再救場（學生討論）
你認為哪種結果正確？為什么？
質 疑：為什么第二次還要平均分？（保證“至少”）
把鉛筆平均分才是解決問題的關鍵啊。
（3）把筆的數量進一步增加：
8支鉛筆放5個筆筒里，至少數是多少？
8÷5=1……3?? 1+1=2
�。�4）9支鉛筆放5個筆筒里，至少數是多少？
9÷5=1……4?? 1+1=2
�。�5）好，再增加一支鉛筆？至少數是多少？
還用加嗎？為什么？? 10÷5=2?? 正好分完, 至少數是商
�。�6）好再增加一支鉛筆,,你來說
11÷5=2……1?? 2+1=3?? 3個
�、倌銇碚f說現在至少數為什么變成3個了？（因為商變了，所以至少數變成了3.）
�、谀峭瑢W們再想想，鉛筆的支數到多少支時，至少數還是3？
�、坫U筆的支數到多少支的時候，至少數就變成了4了呢？
�。�7）把28支鉛筆放進5個筆筒里，總有一個筆筒里面至少放進（? ）支鉛筆。28÷5=5……3?? 5+1=6??
（8）算的這么快，你一定有什么竅門？（比比至少數和商）
�。�9） 把m支鉛筆放進n個筆筒里，總有一個筆筒里面至少放進（? ）支鉛筆。（商+1）
3、觀察算式，同桌討論，發現規律。
鉛筆數÷筆筒數=商……余數” “至少數=商+1”
你和他們的發現相同嗎？出示：商+1
4、質疑：和余數有沒有關系？
�。鞔_：與余數無關，因為不管余多少，都要再平均分，所以就用“商+1”）
�。ㄎ澹w納概括鴿巢原理
1、解答：那現在會求100支鉛筆放進30個筆筒中的至少數了嗎？
100÷30=3…… 10?? 3+1=4 至少數是4個
(因為把100支鉛筆平均放進30個筆筒中，每個筆筒屜放3支，剩下的10支在平均再放進其中10個筆筒中。所以，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進4支鉛筆。)
2、推廣：
剛才我們研究了鉛筆放入筆筒的`問題，其他還有很多問題和它有相同之處。請看：
�。�1）書本放進抽屜
把8本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進3本書。為什么？
8÷3=2……2? 2+1=3
(因為把8本書平均放進3個抽屜，每個抽屜放2本，剩下的2本就要放進其中的2個抽屜。所以，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進3本書。)
�。�2）鴿子飛進鴿巢
11只鴿子飛進4個鴿籠，至少有幾只鴿子飛進同一只鴿籠？
11÷4=2……3? 2+1=3
答：至少有 3只鴿子飛進同一只鴿籠。
�。�3）車輛過高速路收費口（圖）
�。�4）搶凳子
書、鴿子、同學就相當于鉛筆，稱為要放的物體，抽屜、鴿籠、凳子就相當于筆筒，統稱為抽屜。物體數量大于抽屜數量，類似的問題我們都可以用這種方法解答。
3、建立模型：鴿巢原理：
同學們發現的這個原理和一位數學家發現的一模一樣，讓我們追溯到150多年以前：
知識鏈接：（課件）最早指出這個數學原理的，是十九世紀的德國數學家“狄利克雷”，后來人們為了紀念他從這么平凡的事情中發現的規律，就把這個規律用他的名字命名，叫“狄利克雷原理”。以上這些問題有相同之處，其實鴿巢、抽屜就相當于筆筒，鴿子、書就相當于鉛筆。人們對鴿子飛回鴿巢這個事例記憶猶新，所以像這樣的數學問題就叫做鴿巢問題或抽屜問題，它被廣泛地應用于現實生活中。運用這一規律能解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結果。
揭示課題：這是我們今天學習的第五單元數學廣角——鴿巢問題，它們里面蘊含的這種數學原理，我們就叫做鴿巢原理或抽屜原理。
5、小結：分析這類問題時，要想清楚誰是鴿子，誰是鴿巢？
有信心用我們發現的原理繼續接受挑戰嗎？
3、鞏固與應用
那我們回頭看看課前小魔術，你明白它的秘密了嗎？
1、 揭秘魔術：一副牌，取出大小王，還剩52張牌，你們5 人每人隨意抽一張，我知道至少有2張牌是同花色的。
答：因為把5張牌，平均分在4個花色里，每個花色有1張，剩下的1張無論是什么花色，總有一個花色至少是2張。
正確應用鴿巢原理是表演成功的秘密武器！
2、飛鏢運動
同學們玩過投飛鏢嗎？飛鏢運動是一種集競技、健身及娛樂于一體的紳士運動。
課件：張叔叔參加飛鏢運動比賽，投了5鏢，成績是41環，張叔叔至少有一鏢不低于（? ）環。
在練習本上算一算，講給你的同桌聽聽。
誰來給大家說說你是怎么想的？（5相當于鴿巢，41相當于鴿子。把......）
41÷5=8……1? 8+1=9
在我們同學身上也有鴿巢問題，讓我們先了解一下六年級的情況。
3、我們六年級共有367名學生，其中六（2班）有49名學生。
�。�1）六年級里至少有兩人的生日是同一天。
�。�2）六（2）班中至少有5人的生日是在同一個月。
他們說的對嗎？為什么？
同桌討論一下。
誰來說說你們的想法？
（1、367人相當于鴿子，365、或366天相當于鴿巢......
? 2、49人相當于鴿子，12個月相當于鴿巢......）
真理是越辯越明！
3、星座測試命運
說起生日，我想起了現在非常流行的星座。采訪幾位同學，你是什么星座？
你用星座測試過命運嗎？你相信星座測試的命運嗎？
我們用鴿巢原理來說說你的想法。
全中國13億人，12個星座，總有至少一億以上的人命運相同。盡管他們的出身、經歷、天資、機遇各不相同，但他們卻具有完全相同的命，可能嗎？這真的很荒謬。用星座測試命運，充其量是一種游戲娛樂一下而已，命運掌握在自己手中。
4、柯南破案：
?? “鴿巢問題”的原理不僅在數學中有用，在現實生活中也隨處可見，看，誰來了？
（課件）有一次，小柯南走在大街上，無意間聽到了一位老大爺和一個年輕人的對話：
年輕人：大爺，我最近急用錢，想把我的一個手機號賣掉，價格500元，請問您要嗎？
大爺：是什么手機號呢？這么貴？
年輕人：我的手機號很特別，它所有的數字中沒有一個數字重復......所以才這么貴的！
老大爺：哦！
聽到這里，柯南馬上跑過去悄悄提醒老大爺：“大爺，這是一個騙子，您要小心！”并且馬上報了警，警察趕到后調查發現這個人果真是個騙子。
聰明的你，知道柯南是根據什么判斷那個年輕人是騙子的嗎？
（手機號11位數字相當于鴿子。0-9這十個數字相當于鴿巢，11÷10=1…1? 1+1=2，總有至少一個數字重復出現。）
4、 回顧與整理。
這節課我們認識了“鴿巢問題”，其實生活中還有許多的類似于“鴿巢問題”這樣的知識等待我們去發現，去挖掘。只要你留心觀察加上細心思考，一定會在平凡的事件中有不平凡的發現，也能創造一條真正屬于你自己的原理！
下 課！
板書設計：
鴿? 巢? 問? 題
?? 物體? 抽屜 至少數
4? ÷ 3 =? 1……1?? ?? 1＋1=2?
5? ? ÷ 4? =? 1……1? ? ? 1＋1=2?
7? ? ÷ 5? =? 1……2? ? ? 1＋1=2??
9 ?? ÷ 5? =? 1……4? ?? 1＋1=2??
11 ? ÷? 5? =? 2……1 ?? ? 2＋1=3??
28?? ?? ÷ 5? =? 5……3? ?? 5＋1=6??
100?? ? ÷ 30? =? 3……1 3＋1=4?
m ÷ n ＝ 商……余數? 商+1
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