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      2. 恒成立與存在性問題方法總結

        時間:2021-03-31 08:21:19 總結 我要投稿

        恒成立與存在性問題方法總結

          高三數學復習中的恒成立與存在性問題,涉及一次函數、二次函數等函數的性質、圖像,滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法,有利于考查學生的綜合解題能力,在培養學生思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用,因此也成為歷年高考的一個熱點,恒成立與存在性問題的處理途徑有多種,下面是小編整理的恒成立與存在性問題方法總結,歡迎來參考!

        恒成立與存在性問題方法總結

           一、構建函數

          構建適當的函數,將恒成立問題轉化為能利用函數的性質來解決的問題。

          1、構建一次函數

          眾所周知,一次函數的圖像是一條直線,要使一次函數在某一區間內恒大于(或小于)零,只需一次函數在某區間內的兩個端點處恒大于(或小于)零即可。

          例1:若x∈(-2,2),不等式kx+3k+1>0恒成立,求實數k的取值范圍。

          解:構建函數f(x)= kx+3k+1,則原問題轉化為f(x)在x∈(-2,2)內恒為正。若k=0,則f(x)=1>0恒成立;若k≠0,則f(x)為一次函數,問題等價于f(-2)>0,f(2)>0,

          解之得k∈(- ,+∞)。

          例2:對m≤2的一切實數m,求使不等式2x-1>m(x -1)都成立的x的取值范圍。

          解:原問題等價于不等式:(x -1)m-(2x-1)<0,設f(m)=(x -1)m-(2x-1),則原問題轉化為求一次函數f(m)或常數函數在[-2,2]內恒為負值時x的取值范圍。

         。1)當x -1=0時,x=±1。

          當x=1時,f(m)<0恒成立;當x=-1時,f(m)<0不成立。

         。2) 當x -1≠0時,由一次函數的單調性知:f(m)<0等價于f(-2)<0,且f(2)<0,即<x< ;綜上,所求的x∈(  )。

          2、構建二次函數

          二次函數的圖像和性質是中學數學中的重點內容,利用二次函數的圖像特征及相關性質來解決恒成立問題,使原本復雜的問題變得容易解決。

          例3:若x≥0,lg(ax +2x+1)∈R恒成立,求實數a的取值范圍。

          解:構造函數g(x)= ax +2x+1,則原問題等價于:當x≥0時,g(x)恒大于0。

          若a=0且x≥0,則g(x)= 2x+1>0恒成立;

          若a≠0,則g(x)為二次函數,當a<0時,顯然當x≥0時不能使g(x)恒大于0,僅當a>0時,要使當x≥0時,g(x)恒大于0,只需Δ<0或△≥0- ≤0g(0)>0,解之得:a>0

          ∴a的取值范圍為[0,+∞)。

          3、構建形如f(x)=ax+ 的函數

          通過換元、變形,將原問題轉化為形如f(x)=ax+ 的函數的最值問題,再合理利用該函數的單調性等性質來解題,常要用到如下結論:

         。1)f(x)=ax+ 為奇函數,(2)當a>0,b>0時,f(x)在0, 上遞減,在 ,+∞上遞增。

          例4:若不等式x -5x-6<a(x-4)對于x∈[-1,1]恒成立,求a的.取值范圍。

          解:由x∈[-1,1]知:x-4<0,則原問題等價于:當x∈[-1,1]時, >a恒成立,即(x-4)- +3>a,令t=x-4,則原問題又等價于:當t∈[-5,-3]時,t- +3>a恒成立,構建函數f(t)= t- ,在t∈[-5,-3]上單調遞增,∴0≤3+f(t) ≤ ,要使3+ (t- )>a恒成立,只要a<0即可。

          二、分離參數

          運用不等式的相關知識不難推出如下結論:

          若對于x的取值范圍內的任何一個數,都有f(x)>g(a)恒成立,則f (x)>g(a),若對于x的取值范圍內的任何一個數,都有f(x)<g(a)恒成立,則f (x)<g(a)。

          例5:若不等式|x-3|-|x+1|<a在(-∞,+∞)內恒成立,求a的取值范圍。

          解:構造函數f(x)=|x-3|-|x+1|,則a必須大于f(x)的最大值,由f(x)=-4,x≥32-2x,-1<x<34,x≤-1知,f (x)=4,故a的取值范圍為(4,+∞)。

          三、特殊賦值

          取特殊值的方法,對做選擇題很有效,在恒成立問題上也不失為一個好方法。

          例7:已知實數a,b變化時,直線l :(2a+b)x+(a+b)y+(a-b)=0恒過定點

          解:∵直線l 恒過定點,

          故令a=1,b=1,得3x+2y=0

          a=0,b=1,得x+y-1=0

          ∴3x+2y=0x+y-1=0

          解之得:x=-2y=3,將(-2,3)代入l ,經檢驗,點恒滿足方程(2a+b)x+(a+b)y+(a-b)=0。

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