等比數(shù)列應(yīng)用題及答案
想要在考試中考出理想成績,那么平常的練習(xí)就一定要認(rèn)真去對待。下面是小編整理收集的等比數(shù)列應(yīng)用題及答案,歡迎閱讀!
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}中,a1=2,q=3,則an等于()
A.6 B.32n-1
C.23n-1 D.6n
答案:C
2.在等比數(shù)列{an}中,若a2=3,a5=24,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()
A.322n B.322n-2
C.32n-2 D.32n-1
解析:選C.∵q3=a5a2=243=8,q=2,而a1=a2q=32,an=322n-1=32n-2.
3.等比數(shù)列{an}中,a1+a2=8,a3-a1=16,則a3等于()
A.20 B.18
C.10 D.8
解析:選B.設(shè)公比為q(q1),則
a1+a2=a1(1+q)=8,
a3-a1=a1(q2-1)=16,
兩式相除得:1q-1=12,解得q=3.
又∵a1(1+q)=8,a1=2,
a3=a1q2=232=18.
4.(2010年高考江西卷)等比數(shù)列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,則an=()
A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1
C.(-2)n D.-(-2)n
解析:選A.∵|a1|=1,
a1=1或a1=-1.
∵a5=-8a2=a2q3,
q3=-8,q=-2.
又a5>a2,即a2q3>a2,
a2<0.
而a2=a1q=a1(-2)<0,
a1=1.故an=a1(-2)n-1=(-2)n-1.
5.下列四個(gè)命題中正確的是()
A.公比q>1的等比數(shù)列的各項(xiàng)都大于1
B.公比q<0的等比數(shù)列是遞減數(shù)列
C.常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列
D.{lg2n}是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列
解析:選D.A錯(cuò),a1=-1,q=2,數(shù)列各項(xiàng)均負(fù).B錯(cuò),a1=1,q=-1,是擺動(dòng)數(shù)列.C錯(cuò),常數(shù)列中0,0,0,…,不是等比數(shù)列.lg2n=nlg2,是首項(xiàng)為lg2,公差為lg2的等差數(shù)列,故選D.
6.等比數(shù)列{an}中,a1=18,q=2,則a4與a8的等比中項(xiàng)是()
A.4 B.4
C.14 D.14
解析:選A.由an=182n-1=2n-4知,a4=1,a8=24,其等比中項(xiàng)為4.
二、填空題
7.若x,2x+2,3x+3是一個(gè)等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng),則x的值為__________.
解析:由于x,2x+2,3x+3成等比數(shù)列,
2x+2x=3x+32x+2=32且x-1,0.
2(2x+2)=3x,x=-4.
答案:-4
8.等比數(shù)列{an}中,若an+2=an,則公比q=__________;若an=an+3,則公比q=__________.
解析:∵an+2=an,anq2=an,q=1;
∵an=an+3,an=anq3,q=1.
答案:1 1
9.等比數(shù)列{an}中,a3=3,a10=384,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=________.
解析:a3=a1q2=3,a10=a1q9=384.
兩式相比得q7=128,q=2,a1=34.
an=a1qn-1=342n-1=32n-3.
答案:32n-3
三、解答題
10.已知數(shù)列{an}滿足:lgan=3n+5,求證:{an}是等比數(shù)列.
證明:由lgan=3n+5,得an=103n+5,
an+1an=103n+1+5103n+5=1000=常數(shù).
{an}是等比數(shù)列.
11.已知{an}為等比數(shù)列,a3=2,a2+a4=203,求{an}的通項(xiàng)公式.
解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
則q0.a2=a3q=2q,a4=a3q=2q,
2q+2q=203.解得q1=13,q2=3.
當(dāng)q=13時(shí),a1=18,
an=18(13)n-1=233-n.
當(dāng)q=3時(shí),a1=29,
an=293n-1=23n-3.
綜上,當(dāng)q=13時(shí),an=233-n;
當(dāng)q=3時(shí),an=23n-3.
12.一個(gè)等比數(shù)列的'前三項(xiàng)依次是a,2a+2,3a+3,則-1312是否是這個(gè)數(shù)列中的一項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?如果不是,請說明理由.
解:∵a,2a+2,3a+3是等比數(shù)列的前三項(xiàng),
a(3a+3)=(2a+2)2.
解得a=-1,或a=-4.
當(dāng)a=-1時(shí),數(shù)列的前三項(xiàng)依次為-1,0,0,
與等比數(shù)列定義矛盾,故a=-1舍去.
當(dāng)a=-4時(shí),數(shù)列的前三項(xiàng)依次為-4,-6,-9,
則公比為q=32, an=-4(32)n-1,
令-4(32)n-1=-1312,
即(32)n-1=278=(32)3,
n-1=3,即n=4,
-1312是這個(gè)數(shù)列中的第4項(xiàng).
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