貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的基本觀點(diǎn)與研究現(xiàn)狀的論文
摘要：貝葉斯統(tǒng)計(jì)是當(dāng)今世界兩大主要統(tǒng)計(jì)學(xué)派之一，貝葉斯方法成功應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)商業(yè)活動(dòng)、可靠性技術(shù)等領(lǐng)域中，本文主要論述了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的起源、基本觀點(diǎn)、研究現(xiàn)狀及其與頻率統(tǒng)計(jì)學(xué)派的異同點(diǎn)。
關(guān)鍵詞：貝葉斯統(tǒng)計(jì)；先驗(yàn)分布；后驗(yàn)分布
一、貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的起源和基本觀點(diǎn)
統(tǒng)計(jì)學(xué)中兩個(gè)主要學(xué)派（頻率學(xué)派（經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)派）和貝葉斯學(xué)派）之間有著長期的爭論，對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展起到了積極的促進(jìn)作用。這里主要討論貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的起源、基本觀點(diǎn)及其應(yīng)用。貝葉斯統(tǒng)計(jì)起源于英國學(xué)者貝葉斯1763年發(fā)表的一篇論文“論有關(guān)機(jī)遇問題的求解”。該文包含了一般大學(xué)本科概率統(tǒng)計(jì)教材中人們所共知的貝葉斯公式，時(shí)隔二百多年后的現(xiàn)代貝葉斯學(xué)派, 其基本思想和理論依據(jù), 仍然是這個(gè)貝葉斯公式。 貝葉斯公式誕生后的100多年，隨著統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的擴(kuò)大, 貝葉斯統(tǒng)計(jì)受到了很大程度的歡迎,由于其在決策理論和可靠性分析及其它統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛, 現(xiàn)代貝葉斯理論得到了很大的發(fā)展。
貝葉斯學(xué)派奠基性的工作是貝葉斯的論文，也許是他自己感到他的學(xué)說還有不完善的地方，這一論文在他生前沒有發(fā)表，而是在他死后由他的朋友發(fā)表的。著名的數(shù)學(xué)家拉普拉斯用貝葉斯提出的方法，導(dǎo)出了重要的“相繼律”，貝葉斯的方法和理論逐漸被人理解和重視起來。盡管貝葉斯方法可以推導(dǎo)出一些有意義的問題，但在理論上和實(shí)際應(yīng)用中還是出現(xiàn)了各種各樣的問題，因而在19世紀(jì)并未被大家普遍接受。20世紀(jì)初，意大利的菲納特，英國的杰弗萊都對(duì)貝葉斯學(xué)派的理論作出了新的貢獻(xiàn)。第二次世界大戰(zhàn)后，瓦爾德提出了統(tǒng)計(jì)的決策理論，在這一理論中貝葉斯解占有重要的地位；信息論的發(fā)展也對(duì)貝葉斯學(xué)派作出了新的貢獻(xiàn)；更重要的是在一些實(shí)際應(yīng)用的領(lǐng)域中，貝葉斯方法取得了成功，貝葉斯學(xué)派成了一股不容忽視的'力量。
貝葉斯學(xué)派的基本觀點(diǎn)是：任一個(gè)未知量都可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，應(yīng)用一個(gè)概率分布去描述對(duì)的未知狀況。這個(gè)概率分布是在抽樣前就有的關(guān)于的先驗(yàn)信息的概率陳述。這個(gè)概率分布被稱為先驗(yàn)分布。有時(shí)還簡稱為先驗(yàn)。因?yàn)槿我晃粗慷加胁淮_定性，而在表述不確定性程度時(shí)，概率和概率分布是最好的語言。貝葉斯學(xué)派很重視先驗(yàn)信息的收集、挖掘和加工，使它數(shù)量化，形成先驗(yàn)分市，參加到統(tǒng)計(jì)推斷中來，以提高統(tǒng)計(jì)推斷的質(zhì)量。忽視先驗(yàn)信息的利用，有時(shí)是一種浪費(fèi)，有時(shí)還會(huì)導(dǎo)致不合理的結(jié)論。
二、貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)派與頻率統(tǒng)計(jì)學(xué)派之間的批評(píng)
貝葉斯學(xué)派對(duì)經(jīng)典學(xué)派的批評(píng)主要是下面兩點(diǎn)：頻率學(xué)派對(duì)一些統(tǒng)計(jì)問題的提法不妥，包括估計(jì)問題中的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)問題，頻率統(tǒng)計(jì)學(xué)派判斷方法好壞的標(biāo)準(zhǔn)不妥。貝葉斯學(xué)派贊成主觀概率，但不等于說主張用主觀隨意的方式去選取先驗(yàn)分布。
貝葉斯學(xué)派受到的批評(píng)集中于以下兩點(diǎn)：參數(shù)看成是隨機(jī)變量是否妥當(dāng)先驗(yàn)分布是否存在，如何選取?而頻率學(xué)派對(duì)貝葉斯學(xué)派的批評(píng)，主要是針對(duì)先驗(yàn)分布。根據(jù)頻率學(xué)派的觀點(diǎn)，參數(shù)在每一確定問題中都是取一個(gè)確定的值，它是一個(gè)未知常數(shù)，并不具有隨機(jī)性，因而也就沒有任何統(tǒng)計(jì)分布。
在統(tǒng)計(jì)推斷的基本理論和方法方面，二者存在很大差異。最主要的差別，也是貝葉斯理論的一個(gè)重要特征，就是在獲得后驗(yàn)分布后，如果把樣本原來的統(tǒng)計(jì)模型都丟掉，一點(diǎn)也不會(huì)影響到將來的推斷，凡是符合這個(gè)準(zhǔn)則的就是貝葉斯推斷。據(jù)此，矩估計(jì)、顯著性統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和置信區(qū)間估計(jì)等都不屬于貝葉斯推斷，而最大似然估計(jì)則可視為均勻先驗(yàn)分布之下的貝葉斯推斷，因此，作為頻率學(xué)派中一個(gè)很重要的極大似然估計(jì)，其實(shí)就是在一種特殊先驗(yàn)分布下的貝葉斯估計(jì)而已。兩個(gè)學(xué)派各有其成功和不足的地方，都有廣闊的發(fā)展前景，在實(shí)用上是相輔相成的。
三、貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的研究現(xiàn)狀
1、先驗(yàn)分布理論的研究。先驗(yàn)分布的選擇是貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的前提，它大體上可以分為無信息先驗(yàn)分布和共軛先驗(yàn)分布兩大類，無信息先驗(yàn)分布一般應(yīng)滿足以下幾條性質(zhì)：不變性、相合的邊緣化、相合的抽樣性質(zhì)、普遍性和容許性。
共軛先驗(yàn)分布是貝葉斯理論中的另一類重要的先驗(yàn)分布，對(duì)正態(tài)分布N(，)而言，有以下結(jié)論：（1）已知，未知時(shí)，的共軛分布族為逆伽瑪分布；（2），均未知時(shí)，參數(shù)的共軛分布族為正態(tài)—逆伽瑪分布；（3）均值向量已知精度陣(定義為協(xié)方差陣的逆) 未知時(shí)，精度陣的共軛分布族為逆維希特分布；（4）均值向量、精度陣均未知時(shí)，參數(shù)的共軛分布族為正態(tài)—逆維希特分布。
2、后驗(yàn)分布的統(tǒng)計(jì)推斷。后驗(yàn)分布是貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的出發(fā)點(diǎn)與關(guān)鍵所在， 對(duì)于一般參數(shù)先驗(yàn)分布而言，其后驗(yàn)分布相當(dāng)復(fù)雜，很難納入目前已知的統(tǒng)計(jì)分布類別之中，因此常用基于計(jì)算機(jī)的方法來計(jì)算或近似參數(shù)后驗(yàn)分布特征。
四、貝葉斯統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用
貝葉斯方法作為一個(gè)新的學(xué)派，在實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用，提出了很多有效的方法。這些方法的發(fā)展都是從簡單到復(fù)雜，估計(jì)的精確度也在不斷提高，估計(jì)方法更偏向人的思維模式，易于被大家接受。從國內(nèi)外的文獻(xiàn)資料來看，貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷理論幾乎可以作為每一個(gè)學(xué)科的研究工具之一，它既可以用于臨床試驗(yàn)、醫(yī)學(xué)檢查、質(zhì)量控制、軟件質(zhì)量評(píng)估、緩慢周轉(zhuǎn)物品的存儲(chǔ)問題、核電站可靠性評(píng)價(jià)，又可應(yīng)用于水文事件頻率的估計(jì)、犯罪學(xué)不完全記數(shù)的估計(jì)以及保險(xiǎn)精算；近年來貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論在宏觀經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中取得了巨大的成功，從模型的穩(wěn)定性和預(yù)測(cè)精度兩個(gè)方面來看，貝葉斯預(yù)測(cè)模型優(yōu)于非貝葉斯模型，因此貝葉斯方法獲得越來越多專家學(xué)者的認(rèn)同。
與國外相比較，貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論在我國的應(yīng)用與發(fā)展尚屬起步階段，但近年來我國學(xué)者逐步認(rèn)識(shí)到該理論的重要性，并對(duì)此開展了一系列的研究，因此， 我們相信貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論在我國能得到迅速發(fā)展，并很快跟上世界主流。
參考文獻(xiàn)：
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