高三理科數(shù)學(xué)算法初步復(fù)習(xí)教案
高三理科數(shù)學(xué)算法初步復(fù)習(xí)教案
高考導(dǎo)航
考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望
1.了解算法的含義，了解算法的思想.
2.理解程序框圖的三 種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).
3.理解幾種基本算法語(yǔ)句輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句的含義.
4.了解幾個(gè)古代的算法案例，能用輾轉(zhuǎn)相除法及更相減損術(shù)求最大公約數(shù);用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值;了解進(jìn)位制，會(huì)進(jìn)行不同進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化. 本章重點(diǎn)：1.算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)即順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu);2.輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句(兩種形式)的結(jié)構(gòu)、作用與功能及各種語(yǔ)句的格式要求.
本章難點(diǎn)：1.用自然語(yǔ)言表示算法和運(yùn)用程序框圖表示算法;2.用算法的基本思想編寫(xiě)程序解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.弄清三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的區(qū)別，把握程序語(yǔ)言中所包含的一些基本語(yǔ)句結(jié)構(gòu) . 算法初步作為數(shù)學(xué)新增部分，在高考中一定會(huì)體現(xiàn)出它的重要性和實(shí)用性.
高考中將重點(diǎn)考查對(duì)變量賦值的理解和掌握、對(duì)條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)的靈活運(yùn)用，學(xué)會(huì)根據(jù)要求畫(huà)出程序框圖;預(yù)計(jì)高考中，將考查程序框圖、循環(huán)結(jié)構(gòu)和算法思想，并結(jié)合函數(shù)與數(shù)列考查邏輯思維能力.因此算法知識(shí)與其他知識(shí)的結(jié)合將是高考的重點(diǎn)，這也恰恰體現(xiàn)了算法的普遍性、工具性，當(dāng)然難度不會(huì)太大，重在考查算法的概念及其思想.
1.以選擇題、填空題為主，重點(diǎn)考查算法的含義、程序框圖、基本算法語(yǔ)句以及算法案例等內(nèi)容.
2.解答題中可要求學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算的程序并畫(huà)出程序框圖，能很好地考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
11.1 算法的含義與程序框圖
典例精析
題型一 算法的含義
【例1】已知球的表面積是16，要求球的體積，寫(xiě)出解決該問(wèn)題的一個(gè)算法.
【解析】算法如下：
第一步，s=16.
第二步，計(jì)算R=s4.
第三步，計(jì)算V=4R33.
第四步，輸出V.
【點(diǎn)撥】給出一個(gè)問(wèn)題，設(shè)計(jì)算法應(yīng)該注意：
(1)認(rèn)真分析問(wèn)題，聯(lián)系解決此問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法，此問(wèn)題涉及到的各種情況;
(2)將此問(wèn)題分成若干個(gè)步驟;
(3)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)句將各步表述出來(lái).
【變式訓(xùn)練1】設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算 135791113的算法.圖中給出程序的一部分，則在橫線①上不能填入的數(shù)是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】當(dāng)I13成立時(shí)，只能運(yùn)算
1357911.故選A.
題型二 程序框圖
【例2】圖一是某縣參加2010年高考的學(xué)生身高條形統(tǒng)計(jì)圖，從左到右的各條形表示的學(xué)生人數(shù)依次記為A1，A2，，A10(如A2表示身高(單位：cm)在[150,155)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)).圖二是統(tǒng)計(jì)圖一中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個(gè)算法流程圖.現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的學(xué)生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫(xiě)的條件是()
A.i6? B.i7? C.i8? D.i9?
圖一
【解析】根據(jù)題意可知，i的初始值為4，輸出結(jié)果應(yīng)該是A4+A5+A6+A7，因此判斷框中應(yīng)填寫(xiě)i8?，選C.
【點(diǎn)撥】本題的命題角度較為新穎，信息量較大，以條形統(tǒng)計(jì)圖為知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鋪墊，介紹了算法流程圖中各個(gè)數(shù)據(jù)的引入來(lái)源，其考查點(diǎn)集中于循環(huán)結(jié)構(gòu)的終止條件的判斷，考查了學(xué)生合理地進(jìn)行推理與迅速作出判斷的解題能力，解本題的過(guò)程中不少考生誤選A，實(shí)質(zhì)上本題中的數(shù)據(jù)并不大，考生完全可以直接從頭開(kāi)始限次按流程 圖循環(huán)觀察，依次寫(xiě)出每次循環(huán)后的變量的賦值，即可得解.
【變式訓(xùn)練2】(2009遼寧)某店一個(gè)月的收入和支出，總共記錄了 N個(gè)數(shù)據(jù)a1，a2，，aN.其中收入記為正數(shù)，支出記為負(fù)數(shù)，該店用如圖所示的程序框圖計(jì)算月總收入S和月凈盈利V，那么在 圖中空白的判斷框和處理框中，應(yīng)分別填入下列四個(gè)選項(xiàng)中的()
A.A0?，V=S-T
B.A0?，V=S-T
C.A0?，V=S+T
D.A0?，V=S+T
【解析】選C.
題型三 算法的條件結(jié)構(gòu)
【例3】某快遞公司規(guī)定甲、乙兩地之間物品的托運(yùn)費(fèi)用根據(jù)下列方法計(jì)算：
f=
其中f(單位：元)為托運(yùn)費(fèi)，為托運(yùn)物品的重量(單位：千克)，試寫(xiě)出一個(gè)計(jì)算費(fèi)用f的算法，并畫(huà)出相應(yīng)的程序框圖.
【解析】算法如下：
第一步，輸入物品重量.
第二步，如果50，那么f=0.53，
否則，f=500.53+(-50)0.85.
第三步，輸出托運(yùn)費(fèi)f.
程序框圖如圖所示.
【點(diǎn)撥】求分段函數(shù)值的算法應(yīng)用到條件結(jié)構(gòu)，因此在程序框圖的畫(huà)法中需要引入判斷框，要根據(jù)題目的要求引入判斷框的個(gè)數(shù)，而判斷框內(nèi)的條件不同，對(duì)應(yīng)的框圖中的內(nèi)容或操作就相應(yīng)地進(jìn)行變化.
【變式訓(xùn)練3】(2010天津)閱讀如圖的程序框圖，若輸出s的值為-7，則判斷框內(nèi)可填寫(xiě)()
A.i3?
B.i4?
C.i5?
D.i6?
【解析】i=1，s=2-1=1;
i=3，s=1-3=-2;
i=5，s=-2-5=-7.所以選D.
題型四 算法的循環(huán)結(jié)構(gòu)
【例4】設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算10個(gè)數(shù)的平均數(shù)的算法，并畫(huà)出程序框圖.
【解析】算法步驟如下：
第一步，令S=0.
第二步，令I(lǐng)=1.
第三步，輸入一個(gè)數(shù)G.
第四步，令S=S+G.
第五步，令I(lǐng)=I+1.
第六步，若I10，轉(zhuǎn)到第七步，
若I10，轉(zhuǎn)到第三步.
第七步，令A(yù)=S/10.
第八步，輸出A.
據(jù)上述算法步驟，程序框圖如圖.
【點(diǎn)撥】(1)引入變量S作為累加變量，引入I為計(jì)數(shù)變量，對(duì)于這種多個(gè)數(shù)據(jù)的處理問(wèn)題，可通過(guò)循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)達(dá)到;(2)計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，同時(shí)它的取值還用于判斷循環(huán)是否終止，累加變量用于輸出結(jié)果.
【變式訓(xùn)練4】設(shè)計(jì)一個(gè)求12310的程序框圖.
【解析】程序框圖如下面的圖一或圖二.
圖一 圖二
總結(jié)提高
1.給出一個(gè)問(wèn)題，設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)注意：
(1)認(rèn)真分析問(wèn)題，聯(lián)系解決此問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法;
(2)綜合考慮此類(lèi)問(wèn)題中可能涉及的各種情況;
(3)借助有關(guān)的變量或參數(shù)對(duì)算法加以表述;
(4)將解決問(wèn)題的過(guò)程劃分為若干個(gè)步驟;
(5)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將各個(gè)步驟表示出來(lái).
2.循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式，即當(dāng)型和直到型，這兩種形式的循環(huán)結(jié)構(gòu)在執(zhí)行流程上有所不同，當(dāng)型循環(huán)是當(dāng)條件滿(mǎn)足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，不滿(mǎn)足時(shí)退出循環(huán)體;而直到型循環(huán)則是當(dāng)條件不滿(mǎn)足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，滿(mǎn)足時(shí)退出循環(huán)體.所以判斷框內(nèi)的條件，是由兩種循環(huán)語(yǔ)句確定的，不得隨便更改.
3.條件結(jié)構(gòu)主要用在一些需要依據(jù)條件進(jìn)行判斷的算法中.如分段函數(shù)的求值，數(shù)據(jù)的大小關(guān)系等問(wèn)題的算法設(shè)計(jì).
11.2 基本算法語(yǔ)句
典例精析
題型一 輸入、輸出與賦值語(yǔ)句的應(yīng)用
【例1】閱讀程序框圖(如下圖)，若輸入m=4，n=6，則輸出a= ，i= .
【解析】a=12，i=3.
【點(diǎn)撥】賦值語(yǔ)句是一種重要的基本語(yǔ)句，也是程序必不可少的重要組成部分，使用賦值語(yǔ)句，要注意其格式要求.
【變式訓(xùn)練1】(2010陜西)如圖是求樣本x1，x2，，x10的平均數(shù) 的程序框圖，則圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容為()
A.S=S+xn B.S= S+xnn C.S=S+n D.S=S+ 1n
【解析】因?yàn)榇瞬綖榍蠛�，顯然為S=S+xn，故選A.
題型二 循環(huán)語(yǔ)句的應(yīng)用
【例2】設(shè)計(jì)算法求112+123+134++199100的值.要求畫(huà)出程序框圖，寫(xiě)出用基本語(yǔ)句編寫(xiě)的程序.
【解析】這是一個(gè)累加求和問(wèn)題，共99項(xiàng)相加，可設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)數(shù)變量，一個(gè)累加變量，用循環(huán)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這一算 法.程序框圖如下圖所示：
程序如下：
s=0
k=1
DO
s=s+1/(k* (k+1))
k=k+1
LOOP UNTIL k99
PRINT s
END
【點(diǎn)撥】(1)在用WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句編寫(xiě)程序解決問(wèn)題時(shí)，一定要注意格式和條件的表述方法，WHILE語(yǔ)句是當(dāng)條件滿(mǎn)足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，UNTIL語(yǔ)句是當(dāng)條件不滿(mǎn)足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體.
(2)在解決一些需要反復(fù)執(zhí)行的運(yùn)算任務(wù)，如累加求 和、累乘求積等問(wèn)題中應(yīng)注意考慮利用循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn).
(3)在循環(huán)語(yǔ)句中，也可以嵌套條件語(yǔ)句，甚至是循環(huán)語(yǔ)句，此時(shí)需要注意嵌套的這些語(yǔ)句，保證語(yǔ)句的完整性，否則就會(huì)造成程序無(wú)法執(zhí)行.
【變式訓(xùn)練2】下圖是輸出某個(gè)有限數(shù)列各項(xiàng)的程序框圖，則該框圖所輸出的最后一個(gè)數(shù)據(jù)是.
【解析】由程序框圖可知，當(dāng)N=1時(shí)，A=1;N=2時(shí)，A=13;N=3時(shí)，A=15，，即輸出各個(gè)A值的分母是以1為首項(xiàng)以2為公差的等差數(shù)列，故當(dāng)N=50時(shí)，A=11+(50-1)2=199，即為框圖最后輸出的一個(gè)數(shù)據(jù).故填199.
題型三 算法語(yǔ)句的實(shí)際應(yīng)用
【例3】某電信部門(mén)規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時(shí)，如果通話時(shí)間3分鐘以?xún)?nèi)，收取通話費(fèi)0.2元，如果通話時(shí)間超過(guò)3分鐘，則超過(guò)部分以每分鐘0.1元收取通話費(fèi)(通話不足1分鐘時(shí)按1分鐘計(jì)算).試設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算通話費(fèi)用的算法，要求寫(xiě)出算法，編寫(xiě)程序.
【解析】我們用c(單位：元)表示通話費(fèi)，t(單位：分鐘)表示通話時(shí)間，
則依題意有
算法步驟如下：
第一步，輸入通話時(shí)間t.
第二步，如果t3，那么c=0.2;否則c=0.2+0.1[t-2].
第三步，輸出通話費(fèi)用c.
程序如下：
INPUT t
IF t3 THEN
c=0.2
ELSE
c=0.2+0.1*INT(t-2)
END IF
PRINT c
END
【點(diǎn)撥】在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要正確理解其中的算法思想，根據(jù)題目寫(xiě)出其關(guān)系式，再寫(xiě)出相應(yīng)的算法步驟，畫(huà)出程序框圖，最后準(zhǔn)確地編寫(xiě)出程序，同時(shí)要注意結(jié)合題意加深對(duì)算法的理解.
【變式訓(xùn)練3】(2010江蘇)下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出S的值是.
【解析】n=1時(shí)，S=3;n=2時(shí)，S=3+4=7;n=3時(shí)，S=7+8=15;n=4時(shí)，S=15+24=31;n=5時(shí)，S=31+25=63.因?yàn)?333，所以輸出的S值為63.
總結(jié)提高
1.輸入、輸出語(yǔ)句可以設(shè)計(jì)提示信息，加引號(hào)表示出來(lái)，與變量之間用分號(hào)隔開(kāi).
2.賦值語(yǔ)句的賦值號(hào)左邊只能是變量而不能是表達(dá)式;賦值號(hào)左右兩邊不能對(duì)換，不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù)式計(jì)算，利用賦值語(yǔ)句可以實(shí) 現(xiàn)兩個(gè)變量值的互換，方法是引進(jìn)第三個(gè)變量，用三個(gè)賦值語(yǔ)句完成.
3.在某些算法中，根據(jù)需要，在條件語(yǔ)句的THEN分支或ELSE分支中又可以包含條件語(yǔ)句.遇到這樣的問(wèn)題，要分清內(nèi)外條件結(jié)構(gòu)，保證結(jié)構(gòu)的完整性.
4.分清WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句的格式，在解決一些需要反復(fù)執(zhí)行的運(yùn)算任務(wù)，如累加求和，累乘求積等問(wèn)題中應(yīng)主要考慮利用循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)，但也要結(jié)合其他語(yǔ)句如條件語(yǔ)句.
5.編程的一般步驟：
(1)算法分析;(2)畫(huà)出程序框圖;(3)寫(xiě)出程序.
11.3 算法案例
典例精析
題型一 求最大公約數(shù)
【例1】(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1 764的最大公約數(shù);
(2)用更相減損術(shù)求440與556的最大公約數(shù).
【解析】(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1 764的最大公約數(shù)：
1 764=8402+84，
840=8410+0.
所以840與1 764的最大公約數(shù)是84.
(2)用更相減損術(shù)求440與556的最大公約數(shù)：
556-440=116，
440-116=324，
324-116=208，
208-116=92，
116-92=24，
92-24=68，
68-24=44，
44-24=20，
24-20=4，
20-4=16，
16-4=12，
12-4=8，
8-4=4.
所以440與556的最大公約數(shù)是4.
【點(diǎn)撥】(1)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)是求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法，輾轉(zhuǎn)相除法用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，直到大數(shù)被小數(shù)除盡結(jié) 束運(yùn)算，較小的數(shù)就是最大公約數(shù);更相減損術(shù)是用兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，直到所得的差和較小數(shù)相等為止，這個(gè)較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).一般情況下，輾轉(zhuǎn)相除法步驟較少，而更相減損術(shù)步驟較多，但運(yùn)算簡(jiǎn)易，解題時(shí)要靈活運(yùn)用.
(2)兩個(gè)以上的數(shù)求最大公約數(shù)，先求其中兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再用所得的公約數(shù)與其他各數(shù)求最大公約數(shù)即可.
【變式訓(xùn)練1】求147,343,133的最大公約數(shù).
【解析】先求147與343的最大公約數(shù).
343-147=196，
196-147=49，
147-49=98，
98-49=49，
所以147與343的最大公約數(shù)為49.
再求49與133的最大公約數(shù).
133-49=84，
84-49=35，
49-35=14，
35-14=21，
21-14=7，
14-7=7.
所以147,343,133的最大公約數(shù)為7.
題型二 秦九韶算法的應(yīng)用
【例2】用秦九韶算 法寫(xiě)出求多項(xiàng)式f(x)=1+x+0.5x2+0.016 67x3+0.041 67x4+0.008 33x5在x=-0.2時(shí)的值的過(guò)程.
【解析】先把函數(shù)整理成f(x)=((((0.008 33x+0.041 67)x+0.166 67)x+0.5)x+1)x+1，
按照從內(nèi)向外的順序依次進(jìn)行.
x=-0.2，
a5=0.008 33， v0=a5=0.008 33;
a4=0.041 67， v1=v0x+a4=0.04;
a3=0.016 67， v2=v1x+a3=0.008 67;
a2=0.5， v3=v2x+a2=0.498 27;
a1=1， v4=v3x+a1=0.900 35;
a0=1， v5=v4x+a0=0.819 93;
所以f(-0.2)=0.819 93.
【點(diǎn)撥】秦九韶算法是多項(xiàng)式求值的最優(yōu)算法，特點(diǎn)是：
(1)將高次多項(xiàng)式的求值化為一次多項(xiàng)式求值;
(2)減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率;
(3)步驟重復(fù)實(shí)施，能用計(jì)算機(jī)操作.
【變式訓(xùn)練2】用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1當(dāng)x=2時(shí)的值為.
【解析】1 397.
題型三 進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)換
【例3】(1)將101 111 011(2)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù);
(2)將53(8)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的數(shù).
【解析】(1)101 111 011(2)=128+027+126+125+124+123+022+121+1=379.
(2)53(8)=581+3=43.
所以53(8)=101 011(2).
【點(diǎn)撥】將k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，關(guān)鍵是先寫(xiě)成冪的積的形式再求和，將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為k進(jìn)制數(shù)，用除k取余法，余數(shù)的書(shū)寫(xiě)是由下往上，順序不能顛倒，k進(jìn)制化為m進(jìn)制(k，m10)，可以用十進(jìn)制過(guò)渡.
【變式訓(xùn)練3】把十進(jìn)制數(shù)89化為三進(jìn)制數(shù).
【解析】具體的計(jì)算方法如下：
89=329+2，
29=39+2，
9=33+0，
3=31+0，
1=30+1，
所以89(10)=10 022(3).
總結(jié)提高
1.輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)都是用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法.其算法不同，但二者的原理卻是相似的，主要區(qū)別是一個(gè)是除法運(yùn)算，一個(gè)是減法運(yùn)算，實(shí)質(zhì)都是一個(gè)遞推的過(guò)程.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式的值，關(guān)鍵是正確的將多項(xiàng)式改寫(xiě)，然后由內(nèi)向外，依次計(jì)算求解.
2.將k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的算法和將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制數(shù)的算法操作性很強(qiáng)，要掌握算法步驟，并熟練轉(zhuǎn)化;要熟練應(yīng)用除基數(shù)，倒取余，一直除到商為0.
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