數(shù)學(xué)一年級期中試題精選
在學(xué)習(xí)幾何知識時，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過如下兩個結(jié)論：
(1)連結(jié)兩點的所有線中，直線段是最短的;
(2)直線外的一個定點與直線上的各點的連線以垂線為最短.
利用這兩個結(jié)論可以解決許多實際生活中求最短路線的問題.
例1甲、乙兩村之間隔一條河，如圖13—1.現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處?
分析：設(shè)甲、乙兩村分別用點a、b表示.要在河上架橋，關(guān)鍵是要選取一個最佳建橋的位置，使得從甲村出發(fā)經(jīng)過橋到乙村的路程最短.即從甲村到甲村河邊的橋頭的距離加上橋長(相當(dāng)于河的寬度)，再加上乙村到乙村河邊的橋頭的距離盡可能短，這是一個求最短折線的問題.直接找出這條折線很困難，能否可以把它轉(zhuǎn)化為直線問題呢?由于河的寬度不變，不論橋修在哪里，橋都是必經(jīng)之路，且橋長相當(dāng)于河寬，是一個定值，所以可以預(yù)先把這段距離扣除，只要使兩鎮(zhèn)到河邊橋頭的距離最短就可以了.
所謂預(yù)先將橋長扣除，就是假設(shè)先走完橋長，即先把橋平移到甲村，先過了橋，到c點，如圖13—2，找出c到b的最短路線，實際上求最短折線問題轉(zhuǎn)化為直線問題.
解：如圖13—2.過a點作河岸的垂線，在垂線上截取ac的長等于河寬.連bc交與乙村的河岸于f點，作ef垂直于河的另一岸于e點，則ef為架橋的位置，也就是ae+ef+fb是兩村的最短路線.
例2如圖13—3，a、b兩個學(xué)校都在公路的同側(cè).想在這兩校的附近的公路上建一個汽車站，要求車站到兩個學(xué)校的距離之和最小，應(yīng)該把車站建在哪里?
分析：車站建在哪里，使得a到車站與b到車站的距離之和最小，仍然是求最短折線問題，同例1一樣關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成直線問題就好辦了.采用軸對稱(直線對稱)作法.
解：作點b關(guān)于公路(將公路看作是一條直線)的對稱點b′，如圖13—4，即過b點作公路(直線)的垂線交直線于o，并延長bo到b′，使bo=ob′.連結(jié)ab′交直線于點e，連be，則車站應(yīng)建在e處，并且折線aeb為最短.
為什么這條折線是最短的呢?分兩步說明：
(1)因為b與b′關(guān)于直線對稱，根據(jù)對稱點的性質(zhì)知，對稱軸上的點到兩個對稱點的距離相等，有be=b′e，所以
ab′=ae+eb′=ae+eb
(2)設(shè)e′是直線上不同于e的任意一點，如圖13—5，連結(jié)ae′、e′b、e′b′，可得
ae′+e′b=ae′+e′b′>ab′(兩點之間線段最短)
上式說明，如果在e點以外的任意一點建車站，所行的路程都大于折線aeb.
所以折線aeb最短.
例3如圖13—6，河流ef與公路fd所夾的角是一個銳角，某公司a在銳角efd內(nèi).現(xiàn)在要在河邊建一個碼頭，在公路邊修建一個倉庫，工人們從公司出發(fā)，先到河邊的碼頭卸貨，再把貨物轉(zhuǎn)運到公路邊的倉庫里去，然后返回到a處，問倉庫、碼頭各應(yīng)建在何處，使工人們所行的路程最短.
分析：工人們從a出發(fā)先到河邊碼頭，再到公路的倉庫，然后回到a處，恰好走一個三角形，現(xiàn)在要求三角形的另外兩個頂點分別建在河岸與公路的什么位置能使這個三角形的三邊之和為最小，利用軸對稱原理作圖.
解：過a分別作河岸、公路的對稱點a′、a″，如圖13—7，連結(jié)a′a″，交河岸于m，交公路于n，則三角形amn各邊之和等于直線a′a″的長度，所以倉庫建在n處，碼頭建在m處，使工人們所行的路程最短.
例4如圖13—8是一個長、寬、高分別為4分米、2分米、1分米的長方體紙盒.一只螞蟻要從a點出發(fā)在紙盒表面上爬到b點運送食物，求螞蟻行走的最短路程.
分析：因為是在長方體的表面爬行，求的是立體圖形上的最短路線問題，往往可以轉(zhuǎn)化為平面上的最短路線問題.將螞蟻爬行經(jīng)過的兩個面展開在同一平面上，如圖13—9，在展開圖中，ab間的最短路線是連結(jié)這兩點的直線段，但要注意，螞蟻可沿幾條路線到達b點，需對它們進行比較.
解：螞蟻從a點出發(fā)，到b點，有三條路線可以選擇：
(1)從a點出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進入前側(cè)面到達b點，將這兩個平面展開在同一平面上，這時a、b間的最短路線就是連線ab，如圖13—9(1)，ab是直角三角形abc的斜邊，根據(jù)勾股定理，ab2=ac2+bc2=(1+2)2+42=25
(2)從a點出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進入前側(cè)面到達b點，將這兩個面展開在同一平面上，如圖13—9(2)，同理
ab2=22+(1+4)2=29
(3)從a點出發(fā)，經(jīng)過上底面，然后進入右側(cè)面到達b點，將這兩個面展開在同一平面上，如圖13—9(3)，得
ab2=(2+4)2+12=37
比較這三條路線，25最小，所以螞蟻按圖13—9(1)爬行的路線最短，最短路程為5分米.
例5如圖13—10，在圓柱形的木桶外，有一個小甲蟲要從桶外的a點爬到桶內(nèi)的b點.已知a點到桶口c點的距離為14厘米，b點到桶口d點的距離是10厘米，而c、d兩點之間的弧長是7厘米.如果小甲蟲爬行的是最短路線，應(yīng)該怎么走?路程是多少?
分析：先設(shè)想將木桶的圓柱展開成矩形平面，如圖13—11，由于b點在桶內(nèi)，不便于作圖，利用軸對稱原理，作點b關(guān)于直線cd的對稱點b′，這就可以用b′代替b，從而找出最短路線.
解：如圖13—11，將圓柱體側(cè)面展成平面圖形.作點b關(guān)于直線cd的對稱點b′，連結(jié)ab′，ab′是a、b′兩點間的最短距離，與桶口邊交于o點，則ob′=ob，ab′=ao+ob，那么a、b之間的最短距離就是ao+ob，所以小甲蟲在桶外爬到o點后，再向桶內(nèi)的b點爬去，這就是小甲蟲爬行的最短路線.
延長ac到e，使ce=b′d，因為△aeb′是直角三角形，ab′是斜邊，eb′=cd=7厘米，ae=14+10=24(厘米)，根據(jù)勾股定理：
ab′2=ae2+eb′2=242+72=625
所以ab′=25(厘米)
即小甲蟲爬行的最短路程是25厘米.
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