奧數(shù)計(jì)算試題答案解析:歸納法

時(shí)間：2021-06-10 08:57:43 試題我要投稿

　　1.用數(shù)學(xué)歸納法證明"當(dāng)n為正偶數(shù)為xn-yn能被x+y整除"第一步應(yīng)驗(yàn)證n=__________時(shí),命題成立;第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫成_____________________.

奧數(shù)計(jì)算試題答案解析:歸納法

　　2. 數(shù)學(xué)歸納法證明3能被14整除的過程中,當(dāng)n=k+1時(shí),3應(yīng)變形為____________________.

　　3. 數(shù)學(xué)歸納法證明 1+3+9+…+3

　　4.求證 n能被9整除.

　　答案：

　　1. x2k-y2k能被x+y整除

　　因?yàn)閚為正偶數(shù),故第一值n=2,第二步假設(shè)n取第k個(gè)正偶數(shù)成立,即n=2k,故應(yīng)假設(shè)成x2k-y2k能被x+y整除.

　　2.25(34k+2+52k+1)+56·32k+2

　　當(dāng)n=k+1時(shí),34(k+1)+2+52(k+1)+1=81·34k+2+25·52k+1=25(34k2+52k+1)+56·33k+2

　　3.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),左=1,右=(31-1)=1,命題成立.

　　(2)假設(shè)n=k時(shí),命題成立,即:1+3+9+…3k-1=(3k-1),則當(dāng)n=k+1時(shí),1+3+9+…+3k-1+3k=(3k-1)+3k=(3k+1-1),即n=k+1命題成立.

　　4.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),13+(1+1)3+(1+2)3=36能被9整除.

　　(2)假設(shè)n=k時(shí)成立即:k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,當(dāng)k=n+1時(shí)

　　(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3= k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+9k+27= k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+k+3)能被9整除

　　由(1),(2)可知原命題成立.

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