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競賽題平方數(shù)解法與推廣的分析論文
競賽題平方數(shù)解法與推廣的分析論文
一、選題依據(jù)（背景與意義、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢）
在某種程度上，數(shù)學(xué)的整個(gè)對(duì)象就是在原來似乎混沌占統(tǒng)治地位的地方創(chuàng)造秩序，從無序和混沌之中抽取出結(jié)構(gòu)和不變量。所以，把無序的數(shù)字轉(zhuǎn)化為有序的模型，這才是數(shù)學(xué)家乃至所有數(shù)學(xué)愛好者所追求的。
平方數(shù)，也叫完全平方數(shù)或正方形數(shù)，是可以寫成整數(shù)的二次方的數(shù)。它是一種很“完美”的數(shù)，有關(guān)于它有許多很有序的規(guī)律，至今為止，已經(jīng)有很多的數(shù)學(xué)愛好者樂此不疲地去研究它，而且也得出了不少有趣而且有用的結(jié)論。至今為止，平方數(shù)的一些基本的性質(zhì)。例如，性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。等等。
還有很多著名的數(shù)學(xué)家長久以來樂此不疲地研究平方數(shù)，也把它的有關(guān)知識(shí)作為一種工具用于證明、計(jì)算其他定理、命題。例如，意大利著名的數(shù)學(xué)家Lagrange，他在整數(shù)論上也有有關(guān)平方數(shù)的Lagrange定理：任何一個(gè)正整數(shù)都可寫成四個(gè)平方數(shù)之和。并且在證明中他運(yùn)用了歐拉恒等式：若則
此類例子還有很多，在此不一一列舉了。
本論文是對(duì)一道有關(guān)平方數(shù)的競賽題的解法與推廣，我的目標(biāo)是從無序的題目中找出有序的、有規(guī)律的結(jié)果，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的規(guī)律美。過程主要是猜想——計(jì)算機(jī)輔助驗(yàn)證——數(shù)學(xué)方法證明。
猜想在一般的觀念里，似乎是具有一定的偶然性，但實(shí)際上，猜想要靠長期積累下來的對(duì)數(shù)學(xué)的直覺和經(jīng)驗(yàn)形成一種敏銳的洞察力和技巧。這是一個(gè)長期的過程。
數(shù)學(xué)題不一定單純地做出答案就行了，很多情況下還可以更深入地研究，挖掘出它的背景，進(jìn)行再推廣、再發(fā)散。很多看似簡單的數(shù)學(xué)題其背后的內(nèi)容卻是十分豐富的，需要有心人去探討研究，這樣才能真正深刻的理解。有些計(jì)算量相當(dāng)大的數(shù)學(xué)題應(yīng)用筆算和一般的計(jì)算器已經(jīng)不能滿足需求，這時(shí)我們要借助計(jì)算機(jī)，利用程序設(shè)計(jì)來解�，F(xiàn)在我就要解一道有關(guān)于平方數(shù)的競賽題，由于計(jì)算量相當(dāng)?shù)拇�，筆算和一般的計(jì)算器已經(jīng)不能滿足需求，所以我通過在VisualBasic6.0環(huán)境下對(duì)算法進(jìn)行分析和驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)論的正確性。
那些最初表現(xiàn)為令人懷疑的東西，只有經(jīng)過某種思維過程后，再通過起批準(zhǔn)和保證作用的證明，才能最終表現(xiàn)為無可置疑的真理。證明通過揭示事物的核心而增強(qiáng)理解，是數(shù)學(xué)的力量。
二、研究目標(biāo)與主要內(nèi)容（含論文提綱）
研究目標(biāo)：本論文主要研究型如平方數(shù)的結(jié)構(gòu)，我們知道，，，，等關(guān)于的結(jié)果是無序的，而對(duì)于，先關(guān)于n代入幾個(gè)數(shù)，例如，，，，……，由此猜想：，并且這個(gè)結(jié)果可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，所以是有序的。再進(jìn)一步可得，關(guān)于的輸出結(jié)果也是有序的。在競賽數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)平方數(shù)的一些問題，因此系統(tǒng)研究型如平方數(shù)，當(dāng)取什么值時(shí)，其結(jié)果是有序的，既有理論價(jià)值又有應(yīng)用價(jià)值。
論文提綱：首先，尋找可能的取值。當(dāng)n取比較小的值時(shí)，可以采用筆算的方法來計(jì)算結(jié)果、找尋規(guī)律，但當(dāng)n取比較大的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)計(jì)算量相當(dāng)大，用筆算和一般的計(jì)算器已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需求，這時(shí)就會(huì)想到借助計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算，利用程序設(shè)計(jì)來解。我采用的是VisualBasic（簡稱VB）這種常見的程序設(shè)計(jì)語言。一種語言就是一種思想。經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)當(dāng)取任意正整數(shù)，而時(shí)，都可以產(chǎn)生有序的結(jié)果。
找規(guī)律：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，……
由此可猜想得出：的一個(gè)有序的結(jié)果。同樣道理，、也可得出有序的結(jié)果，也可發(fā)現(xiàn)、、、、的結(jié)果沒有一定的規(guī)律可尋。猜想在一般的觀念里，似乎是具有一定的偶然性，但實(shí)際上，猜想要靠長期積累下來的對(duì)數(shù)學(xué)的直覺和經(jīng)驗(yàn)形成一種敏銳的洞察力和技巧。這是一個(gè)長期的過程。
然后，利用計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算驗(yàn)證預(yù)期結(jié)果對(duì)某些初值的正確性。
最后，利用數(shù)學(xué)方法給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C，而我所采用的論證方法是簡單易懂的數(shù)學(xué)歸納法。
三、擬采取的研究方法、研究手段及技術(shù)路線、實(shí)驗(yàn)方案等
利用文獻(xiàn)研究法與理論研究法，通過圖書館、書店、網(wǎng)絡(luò)等途徑對(duì)平方數(shù)相關(guān)各方面的資料進(jìn)行查閱、研究、歸納、總結(jié)。理論與實(shí)踐研究法相結(jié)合。先是通過對(duì)一些簡單的n值進(jìn)行觀察，再用筆算和計(jì)算器進(jìn)行初步計(jì)算，根據(jù)已得的結(jié)果，推廣到極大的n值，進(jìn)行理論上的猜想，然后運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助（VisualBasic）這種常見的程序設(shè)計(jì)語言計(jì)算驗(yàn)證，最后證明猜想的結(jié)果。
四、研究的整體方案與工作進(jìn)度安排（內(nèi)容、步驟、時(shí)間）
進(jìn)度安排：
序號(hào)時(shí)間內(nèi)容
112.1-2.14明確選題并完成文獻(xiàn)綜述和外文資料翻譯
22.14-2.28完成開題報(bào)告并舉行開題報(bào)告會(huì)
33.1-3.20完成計(jì)算、實(shí)驗(yàn)和繪圖，并完成論文的引言部分
43.20-3.30完成論文的初稿
53.30-4.20指導(dǎo)教師閱讀審看并修改，完成終稿
64.20-4.30論文答辯，學(xué)生材料上交教務(wù)科
75.1-5.15教務(wù)科材料匯總整理上
五、研究的預(yù)期目標(biāo)及主要特點(diǎn)
預(yù)期目標(biāo)：在某種程度上，數(shù)學(xué)的整個(gè)對(duì)象就是在原來似乎混沌占統(tǒng)治地位的地方創(chuàng)造秩序，從無序和混沌之中抽取出結(jié)構(gòu)和不變量。所以，把無序的數(shù)字轉(zhuǎn)化為有序的模型，這才是數(shù)學(xué)家乃至所有數(shù)學(xué)愛好者所追求的。本論文就是研究一種平方數(shù)，從一種無序的結(jié)果轉(zhuǎn)化為有序的、有規(guī)律的結(jié)果。
主要特點(diǎn)：進(jìn)行大膽的猜想，運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算幫助驗(yàn)證結(jié)果，得出的結(jié)論很有規(guī)律性。
六、指導(dǎo)教師意見：
指導(dǎo)教師簽名：
年月日
七、教研室或系審核意見：
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