問題變式:結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一的論文
摘要：數(shù)學(xué)問題變式可分為水平變式和垂直變式，問題變式本身展示了結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一。
關(guān)鍵詞：問題變式；結(jié)構(gòu)；功能；認(rèn)知
本文以數(shù)學(xué)問題變式為例，論述問題變式中結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一。
近幾十年來，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，問題受到了很好的注意。但很多研究更多地關(guān)注單個問題，數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系，并未加以應(yīng)有的關(guān)注。事實上，學(xué)生往往不是解一道題，而是解幾道題，學(xué)生可能從題題之間不變的關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)意義，進而把問題分類，使題目類型化。變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教師十分熟悉的教學(xué)思想、教學(xué)理念，這方面有很多實踐，可理論研究還很弱。為什么該教學(xué)方法有用？變式教學(xué)的合理之處是什么？本文嘗試以此為“透鏡”，通過題題之間的結(jié)構(gòu)，透視數(shù)學(xué)問題變式的功能。
最近，以Marton為首的歐洲學(xué)派的變式學(xué)習(xí)理論研究，逐步在香港教育界扎根并開花結(jié)果。Marton變式學(xué)習(xí)理論認(rèn)為經(jīng)歷事物的方式就是學(xué)習(xí)（Marton & Booth，1997）。把“變的部分”和“不變的部分”加以區(qū)別，人們所經(jīng)歷的過程，稱為變式學(xué)習(xí)。
一、數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題變式
變式，可以說是中國內(nèi)地“本土化”的實用教學(xué)經(jīng)驗。為了通俗地介紹變式題，筆者先從讀小學(xué)時的一個小故事談起。一位小學(xué)教師出了一道題：的是多少？當(dāng)時大家都不會做。于是這位教師就說：“以后解題，凡看見××××的多少，用除法�？匆姟痢痢痢潦嵌嗌�，用乘法。所以這道題用乘法�！庇谑俏視鲞@類題了，卻根本不懂什么意思。后來，這位數(shù)學(xué)教師繼續(xù)上課，他用一串啟發(fā)性的由淺入深的題組（下表），令我豁然開朗。這就是問題變式。
題目：的倍是多少？
我們一般把將源問題加以變化的這些新問題，稱為變式題。將源問題加以變化，稱為問題變式。
二、數(shù)學(xué)問題變式的結(jié)構(gòu)
�。ㄒ唬﹩栴}的兩重特征
每個數(shù)學(xué)問題可分解為表面形式特征和深層數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征。表面形式特征是指問題呈現(xiàn)的表述方式的淺層特征；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征指涉及問題本質(zhì)的概念、關(guān)系與原則等的深層特征。
例如，25個學(xué)生一起去劃船。大船每條可以坐6人，租金10元；小船每條只可以坐4人，租金8元。應(yīng)該怎樣租船才付最少的租金呢？要租多少條大船？多少條小船？租金又是多少呢？這個問題的表面特征是問題情境的陳述：一系列數(shù)字。這些數(shù)字，經(jīng)過調(diào)換，可以變化，但是對問題的本質(zhì)影響不大。至于這一題目的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征則是：題目中涉及人數(shù)、大小船數(shù)、空位數(shù)和錢數(shù)共四個變量，學(xué)生需要綜合思考四個變量之間的變化依賴關(guān)系。
問題的表面特征和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征彼此相異，又互相補充。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征必須通過表面形式特征來體現(xiàn)，表面形式特征可以反映數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征。但是，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征反映問題“質(zhì)”的方面，處于核心地位。
�。ǘ﹩栴}變式的兩類結(jié)構(gòu)：水平變式和垂直變式
這里，我們提出一種新的分類。新問題相對源問題來說，學(xué)生能區(qū)分問題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，不帶來認(rèn)知負(fù)荷的變化，為水平變式；學(xué)生不能區(qū)分問題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，帶來認(rèn)知負(fù)荷的變化，為垂直變式。這里我們把“問題解決過程中，記憶容量和信息加工的負(fù)荷，統(tǒng)稱為認(rèn)知負(fù)荷（cognition load）。
這樣，可按問題結(jié)構(gòu)的變化分成不同的層次（垂直變式），在同一結(jié)構(gòu)層次中，可以分成問題表面形式特征不同的變化（水平變式）。一般來說，題目的認(rèn)知負(fù)荷要在學(xué)生可理解的范圍即最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。
例如，源問題是：2的1倍是多少？變式題1是：2的2倍是多少？
相對源問題，變式題1的水平變式部分是：2的幾倍是多少？1倍變?yōu)?倍是變化的新部分，若新部分不帶來認(rèn)知負(fù)荷的變化，為水平變式，否則是垂直變式。
還可以有變式題2：的2倍是多少？
相對變式題1，變式題2的水平變式部分是：幾的2倍是多少？2變?yōu)槭亲兓男虏糠郑黾恿朔謹(jǐn)?shù)概念或小數(shù)的概念以及約分的技能的認(rèn)知負(fù)荷。若學(xué)生能區(qū)分問題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，不帶來認(rèn)知負(fù)荷的變化，為水平變式，否則是垂直變式。這種區(qū)分，以學(xué)生的感知為標(biāo)準(zhǔn)。
教學(xué)的關(guān)鍵是化“難”為“易”，化“垂直變式”為學(xué)生容易理解的“水平變式”，化“大變”為學(xué)生容易區(qū)分的“小變”，化“質(zhì)變”為“量變”，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要技能。
值得一提的是，水平變式和垂直變式的劃分是相對認(rèn)知水平而言的。例如，上述問題變式對小學(xué)生而言，可能有認(rèn)知負(fù)荷，那么是垂直變式，而對中學(xué)生而言，可能沒有認(rèn)知負(fù)荷，是水平變式。兩類結(jié)構(gòu)的區(qū)分主要以有無認(rèn)知負(fù)荷為標(biāo)準(zhǔn)。
水平變式是問題表面重復(fù)部分，垂直變式是問題表面變化部分，增加了認(rèn)知負(fù)荷，二者圍繞數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)“中心軸”發(fā)展，三者（水平部分，垂直部分，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)“中心軸”）形成了螺旋式發(fā)展問題空間。變式教學(xué)的精髓就是把認(rèn)知負(fù)荷大的問題，分解為認(rèn)知負(fù)荷小的問題，把垂直變式化為螺旋，循序漸進，分解水平變式。（這即是中國數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)策略“大化小，小化了，分而治之，分散難點”的做法。）
問題變式的優(yōu)勢在于“漸”。變式題不同于記憶型題目和高層思維型開放題，而是在記憶型題目和高層思維型開放題兩個“極端”之間保持“平衡”，漸漸地增加認(rèn)知負(fù)荷，更注意題與題之間的變化，由水平變式到垂直變式，逐步區(qū)分表面形式特征并提取數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的元素，逐步區(qū)分題目中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的元素，發(fā)現(xiàn)“變中的不變”，同時培養(yǎng)“以不變應(yīng)萬變”的能力，從量變到質(zhì)變，漸漸領(lǐng)悟，把握數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律（如下頁圖）。
圖1 問題變式結(jié)構(gòu)示意圖
（三）問題變式的意義
表面形式有差異的水平變式仍然有重要的價值。Marton變式學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，經(jīng)驗不斷重復(fù)才能形成意義。重復(fù)是手段，擴展重復(fù)形成意識。第一次經(jīng)歷與第二次經(jīng)歷是互相彌補的。第一次關(guān)注理論描述效度。當(dāng)?shù)诙谓?jīng)歷時，第一次所經(jīng)歷的方面被放大。第二次的經(jīng)歷“豐富”并“加深”第一次經(jīng)歷的各個方面。經(jīng)歷者與經(jīng)驗的關(guān)系只有第二次才能看到。第一次是第二次的基礎(chǔ)，每次焦點不同，強調(diào)的方面也不同。學(xué)習(xí)經(jīng)驗的兩個維度是直接維度（內(nèi)容）和間接維度（方法）。學(xué)習(xí)是經(jīng)驗的“回歸”方式，重復(fù)是手段，重復(fù)的意義在于保持某些方面變而其他方面不變，強調(diào)內(nèi)容不變的某些方面，使其他在邊緣的東西，慢慢淡化，突出主要因素，慢慢形成結(jié)構(gòu)。
水平變式題雖然只是解題技能的簡單重復(fù)，但量變是質(zhì)變的基礎(chǔ)，學(xué)生通過表面形式特征的重復(fù)，才能慢慢形成問題的.圖式，進而成為問題解決的基礎(chǔ)。
當(dāng)然，沒有垂直變式題，只有水平變式是不行的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)停留于淺層的學(xué)習(xí)是經(jīng)驗的淺層“回歸”方式，不會實現(xiàn)深層意義的“回歸”和深層結(jié)構(gòu)的“回歸”。按照Sfard（1991）數(shù)學(xué)概念的二重性分析，沒有垂直變式題，只有水平變式，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能到達內(nèi)化和濃縮化階段，僅停留于過程性理解，難以生成概念性理解，難以生成抽象化和高層數(shù)學(xué)理解。
三、數(shù)學(xué)問題變式的功能：“概念與過程”
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往要經(jīng)歷“過程”達成，然后轉(zhuǎn)化為“概念”（對象）的認(rèn)知過程（Sfard,1991；鮑建生，等，2003）。從這個意義上，問題變式也不可避免地扮演過程的操作性和概念的結(jié)構(gòu)性兩重角色，鮑建生等（2003）把變式分為“概念性變式與過程性變式”正基于這種考慮。
教學(xué)上，問題變式不要無的放矢，為變而變，變式題設(shè)計總是圍繞數(shù)學(xué)概念的元素和關(guān)系，分別設(shè)計區(qū)別該元素的題組，圍繞“期望達成的概念和程序”而設(shè)計“問題變式題組”。變式問題，包含雙重目的：概念與過程，即建構(gòu)概念和技能與發(fā)展思維過程，也就是兼顧“內(nèi)容和過程”，兼顧數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)到高層次思維能力。
例如，我們通過這樣的題目：“2個蘋果，2個人分，每個人分多少個”“4個蘋果，2個人分，每個人分多少個”“6個蘋果，2個人分，每個人分多少個”，學(xué)習(xí)除法概念和除法運算程序。
而通過題組：“1個蘋果，2個人分，每個人分多少個”“1個蘋果，3個人分，每個人分多少個”“2個蘋果，3個人分，每個人分多少個”，同時學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念和除法運算程序。
而兩者結(jié)合，題組：“個蘋果，2個人分，每個人分多少個”“個蘋果，2個人分，每個人分多少個”“個蘋果，2個人分，每個人分多少個”，則圍繞分?jǐn)?shù)除法的概念和分?jǐn)?shù)除法的運算程序，設(shè)計新的變式題組。而對于分?jǐn)?shù)除法的概念和運算程序建立，是以“除法概念”和“分?jǐn)?shù)概念”及“除法運算”和“分?jǐn)?shù)運算”為基礎(chǔ)的。
事實上，這組題目顯示了發(fā)展概念和培養(yǎng)過程的相輔相成，具有概念與過程雙重性。
因此，問題變式的發(fā)展，是為了概念發(fā)展的螺旋式改變而設(shè)計，通過“結(jié)構(gòu)”問題產(chǎn)生認(rèn)知“功能”，達成教學(xué)“目標(biāo)”。發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念和過程的關(guān)系如下圖所示。
圖2 問題變式的雙重目的：概念與過程關(guān)系圖示
四、問題變式：結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一
在學(xué)習(xí)者眼中，變式題包含的概念（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）是源題目的重復(fù)，是再認(rèn)（重復(fù)性）題目，認(rèn)知的功能是“鞏固”，否則，垂直變式不能區(qū)分題目包含的數(shù)學(xué)概念和關(guān)系（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)），即增加了新的認(rèn)知元素，必須區(qū)分題目的認(rèn)知負(fù)荷。在學(xué)習(xí)者眼中，是發(fā)展性題目，認(rèn)知的功能扮演“發(fā)展”的角色。問題變式本身展示了結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一。我們以一個例子加以說明。
源問題：x2+5x+6
變式題組一：
變式子問題1：x2+6x+8
變式子問題2：y2+5y+6
變式子問題3：x2+10x+16
變式題組二：
a,b取何值時可使下列各式因式分解
變式子問題1：x2+ax+6
變式子問題2：x2+5x+b
變式子問題3：x2+ax+b
變式子問題4：x3+ax+b
變式子問題5：xn+ax+b
根據(jù)一般初二學(xué)生的認(rèn)知水平，變式題組一為水平變式題，變式題組二為垂直變式題①。學(xué)生的認(rèn)知過程可以作以下的描述。
1.源問題提供了問題解決的正確圖式。其中包括與學(xué)習(xí)有關(guān)的關(guān)鍵成分：規(guī)則功能、適用條件，以及在具體情境中的操作過程。學(xué)生從源問題x2+5x+6獲得十字相乘法的規(guī)則和圖式認(rèn)識。
2.對于可以用十字相乘法的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，引出一系列的水平變式“子問題”。經(jīng)過表面相似問題的解決，學(xué)習(xí)者就可能會形成一種心理定勢，建立起十字相乘法的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，突破源問題數(shù)字和字母的限制。
3.接著，通過垂直變式題x2+ax+6，發(fā)展原來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建立新數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。對于新問題x2+ax+6，學(xué)生開始反思x2+5x+6=(x+2)(x+3)中x2+5x+6系數(shù)5和6與2和3的關(guān)系，逐步擺脫例題表面內(nèi)容（系數(shù)5和6）的制約，由表層結(jié)構(gòu)特征過渡到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，突破系數(shù)的限制，認(rèn)識到等號左側(cè)一次項系數(shù)與等號右側(cè)一次項系數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系即a=2+3。
4.同理，通過垂直變式題x2+5x+b會努力地對問題表面特征（系數(shù)5和6）的變化進行自我解釋，逐步擺脫例題表面內(nèi)容（系數(shù)5和6）的制約，突破系數(shù)的限制，認(rèn)識到等號左側(cè)常數(shù)項與等號右側(cè)常數(shù)項的一一對應(yīng)關(guān)系即b=2×3［化為x2+5x+b=(x+2)(x+3)］。
5.發(fā)展高層次的結(jié)構(gòu)：韋達定理，隨即乘勝追擊，推廣到于三次、四次方程，進一步n次方程的情形。
問題變式的核心是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)。它逐步增加認(rèn)知負(fù)荷，逐步驅(qū)動高層的數(shù)學(xué)思維，逐步由表層類比（數(shù)字和字母的變化）向結(jié)構(gòu)類比（因式分解的一般規(guī)則）轉(zhuǎn)化。它增加了深層策略，把原來的程序知識轉(zhuǎn)化為策略知識，由表層學(xué)習(xí)向結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化，逐步增加輸出深層結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)結(jié)果，逐步增加對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深層體會，逐步增加對深層數(shù)學(xué)價值的體會，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由起點（例題）到終點（垂直變式題）深層經(jīng)歷。
五、問題變式的問題解決過程理論小結(jié)
綜上所述，變式本身是對問題結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)。水平變式題建立覆蓋所有正例并排除所有反例的一般描述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，垂直變式是條件認(rèn)知的較深層次的加工，它抽取問題表面特征以外的結(jié)構(gòu)特征，不會受阻于問題的表面特征，構(gòu)成題目的“結(jié)構(gòu)骨架”。學(xué)習(xí)者由水平變式題到垂直變式題的解答，建立題目的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，逐步由表層區(qū)分過渡到結(jié)構(gòu)區(qū)分。水平變式是垂直變式的基礎(chǔ)，垂直變式是水平變式的必然發(fā)展，二者互相依存，互為補充。
欲從水平變式“過渡到”垂直變式，關(guān)鍵要把握認(rèn)知負(fù)荷的問題，認(rèn)知負(fù)荷太大或太小，不會從水平變式“過渡到”垂直變式，好的課程設(shè)計要使題目的難度在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，變化題目的表面形式特征，同時控制不變的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，最終讓學(xué)生掌握“變中的不變”，培養(yǎng)“以不變應(yīng)萬變”的本領(lǐng)。在不斷“區(qū)分”中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“思維”，促進“表層學(xué)習(xí)向深層學(xué)習(xí)”方式的培養(yǎng)。課程論和方法論是不可分割的一個整體，從“結(jié)構(gòu)”到“建構(gòu)”，形成整體“結(jié)構(gòu)”，才會產(chǎn)生整體“功能”。當(dāng)然，變式的“度”至關(guān)重要，變的“度”太小，成了題海戰(zhàn)術(shù)，變的“度”太大，又跳到另一個極端，學(xué)生不能掌控，產(chǎn)生失敗感，同樣不能產(chǎn)生高層次思維，不能產(chǎn)生認(rèn)知“功能”。
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