微積分課件完整版

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　　微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。

　　詞目釋義

　　從17世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代。整個(gè)17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支的還是牛頓。

　�。�1）運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問(wèn)題

　　求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反過(guò)來(lái)，已知物體的加速度表為以時(shí)間為變量的函數(shù)公式，求速度和距離。這類問(wèn)題是研究運(yùn)動(dòng)時(shí)直接出現(xiàn)的，困難在于，所研究的速度和加速度是每時(shí)每刻都在變化的。比如，計(jì)算物體在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，就不能像計(jì)算平均速度那樣，用移動(dòng)的距離去除運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，因?yàn)樵诮o定的瞬間，物體移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間是

　　是無(wú)意義的。但是，根據(jù)物理，每個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在它運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必有速度，這也是無(wú)疑的。已知速度公式求移動(dòng)距離的問(wèn)題，也遇到同樣的困難。因?yàn)樗俣让繒r(shí)每刻都在變化，所以不能用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間乘任意時(shí)刻的速度，來(lái)得到物體移動(dòng)的距離。

　�。�2）求曲線的切線問(wèn)題

　　這個(gè)問(wèn)題本身是純幾何的，而且對(duì)于科學(xué)應(yīng)用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光學(xué)是十七世紀(jì)的一門較重要的科學(xué)研究，透鏡的設(shè)計(jì)者要研究光線通過(guò)透鏡的通道，必須知道光線入射透鏡的角度以便應(yīng)用反射定律，這里重要的是光線與曲線的法線間的夾角，而法線是垂直于切線的，所以總是就在于求出法線或切線；另一個(gè)涉及到曲線的切線的科學(xué)問(wèn)題出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng)的研究中，求運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任一點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)方向，即軌跡的切線方向。

　�。�3）求長(zhǎng)度、面積、體積、與重心問(wèn)題等

　　這些問(wèn)題包括，求曲線的長(zhǎng)度（如行星在已知時(shí)期移動(dòng)的距離），曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體

　　的重心，一個(gè)相當(dāng)大的物體（如行星）作用于另一物體上的引力。實(shí)際上，關(guān)于計(jì)算橢圓的長(zhǎng)度的問(wèn)題，就難住數(shù)學(xué)家們，以致有一段時(shí)期數(shù)學(xué)家們對(duì)這個(gè)問(wèn)題的進(jìn)一步工作失敗了，直到下一世紀(jì)才得到新的結(jié)果。又如求面積問(wèn)題，早在古希臘時(shí)期人們就用窮竭法求出了一些面積和體積，如求拋物線在區(qū)間

　　上與

　　軸和直線

　　所圍成的面積

　　，他們就采用了窮竭法。當(dāng)分割的份數(shù)越來(lái)越多時(shí)，所求得的結(jié)果就越來(lái)越接近所求的面積的精確值。但是，應(yīng)用窮竭法，必須添上許多技藝，并且缺乏一般性，常常得不到數(shù)字解。當(dāng)阿基米德的工作在歐洲聞名時(shí)，求長(zhǎng)度、面積、體積和重心的興趣復(fù)活了。窮竭法先是逐漸地被修改，后來(lái)由于微積分的創(chuàng)立而根本地修改了。

　�。�4）求最大值和最小值問(wèn)題（二次函數(shù)，屬于微積分的一類）

　　例如炮彈在炮筒里射出，它運(yùn)行的水平距離，即射程，依賴于炮筒對(duì)地面的傾斜角，即發(fā)射角。一個(gè)“實(shí)際”的問(wèn)題是：求能夠射出最大射程的發(fā)射角。十七世紀(jì)初期，Galileo斷定（在真空中）發(fā)射角是

　　時(shí)達(dá)到最大射程；他還得出炮彈從各個(gè)不同角度發(fā)射后所達(dá)到的不同的最大高度。研究行星的運(yùn)動(dòng)也涉及到最大值和最小值的問(wèn)題。

　　基本內(nèi)容

　　數(shù)學(xué)分析

　　研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。

　　從廣義上說(shuō)，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來(lái)，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。

　　微積分

　　微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。

　　微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。

　　積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等

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