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      2. 八年級數(shù)學提公因式法教學設計

        時間:2021-06-14 10:44:47 教學設計 我要投稿

        八年級數(shù)學提公因式法教學設計

          教學設計

        八年級數(shù)學提公因式法教學設計

          提公因式法(一)

          教學目標

          1.使學生了解因式分解的意義,理解因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系.

          2.使學生理解提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式.

          3.通過學生自行探求解題途徑,培養(yǎng)學生觀察、分析和創(chuàng)新能力,深化學生逆向思維能力.

          教學重點及難點

          教學重點:

          因式分解的概念及提公因式法.

          教學難點:

          正確找出多項式各項的公因式及分解因式與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系.

          教學過程設計:

          一、復習提問

          乘法對加法的分配律.

          二、新課

          1.新課引入:用類比的方法引入課題.

          在學習分數(shù)時,我們常常要進行約分與通分,因此常常要把一個數(shù)分解因數(shù)(即分解約數(shù)).例如,把15分解成3×5,把42分解成2×3×7.

          在第七章我們學習了整式的乘法,幾個整式相乘可以化成一個多項式,那么一個多項式如何化成幾個整式乘積的形式呢?這一章就是學習如何把一個多項式化成幾個整式的積的方法.

          2.因式分解的概念:

          請學生每人寫出一個單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的例子,并計算出其結果.(老師按學生所說在黑板寫出幾個.)

          如:m(a+b+c)=ma+mb+mc

          2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

          (a+b)(a-b)=a2-b2

          (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

          (x-5)(2-x)=-x2+7x-10 等等.

          再請學生觀察它們有什么共同的特點?

          特點:左邊,整式×整式;右邊,是多項式.

          可見,整式乘以整式結果是多項式,而多項式也可以變形為相應的整式與整式的乘積,我們就把這種多項式的變形叫做因式分解.

          定義:把一個多項式化為幾個整式的積的形式,叫做把這個多項式因式分解,也叫做把這個多項式分解因式.

          如:因式分解:ma+mb+mc=m(a+b+c).

          整式乘法:m(a+b+c)=ma+mb+mc.

          讓學生說出因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別.

          聯(lián)系:同樣是由幾個相同的整式組成的等式.

          區(qū)別:這幾個相同的整式所在的位置不同,上式是因式分解;下式是整式乘法.兩者是方向相反的恒等變形,二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式,一個是多項式的表現(xiàn)形式,一個是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式.

          例1 下列各式從左到右哪些是因式分解?(投影)

          (1)x2-x=x(x-1) (√)

          (2)a(a-b)=a2-ab (×)

          (3)(a+3)(a-3)=a2-9 (×)

          (4)a2-2a+1=a(a-2)+1 (×)

          (5)x2-4x+4=(x-2)2 (√)

          下面我們學習幾種常見的因式分解方法.

          3.提公因式法:

          我們看多項式:ma+mb+mc

          請學生指出它的特點:各項都含有一個公共的因式m,這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式.

          注意:公因式是各項都含有的公共的因式.

          又如:a是多項式a2-a各項的公因式.

          ab是多項式5a2b-ab2各項的公因式.

          2mn是多項式4m2np-2mn2q各項的公因式.

          根據(jù)乘法的分配律,可得

          m(a+b+c)=ma+mb+mc,

          逆變形,便得到多項式ma+mb+mc的因式分解形式

          ma+mb+mc=m(a+b+c).

          這說明,多項式ma+mb+mc各項都含有的公因式可以提到括號外面,將多項式 ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

          定義:一般地,如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括號外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

          顯然,由定義可知,提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式.讓學生觀察上面的公因式的特點,找出確定公因式的萬法:(1)公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù):(2)字母取各項的相同字母,而且各字母的`指數(shù)取次數(shù)例2 指出下列各多項式中各項的公因式:

          (1)ax+ay+a (a)

          (2)3mx-6mx2 (3mx)

          (3)4a2+10ah (2a)

          (4)x2y+xy2 (xy)

          (5)12xyz-9x2y2 (3xy)

          例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.

          分析:分兩步:第一步,找出公因式;第二步,提公因式.

          先引導學生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2.

          解:8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).

          說明:

          (1)應特別強調(diào)確定公因式的兩個條件以免漏取.

          (2)開始講提公因式法時,最好把公因式單獨寫出.①以顯提醒;③強調(diào)提公因式;③強調(diào)因式分解.

          例4 把3x2-6xy+x 分解因式.

          分析:先引導學生找出公因式x,強調(diào)多項式中x=x·1.

          解:3x2-6xy+x

          =x·3x-x·6y+x·1

          =x(3x-6y+1).

          說明:當多項式的某一項恰好是公因式時,這項應看成它與1的乘積,提公因式后剩下的應是1,1作為項的系數(shù)通�?梢允÷�,但如果單獨成一項時,它在因式分解時不能漏掉,這類題常常有些學生犯下面的錯誤,3x2-6xy+x=x(3x-6y),這一點可讓學生利用恒等變形分析錯誤原因.還應提醒學生注意:提公因式后的因式的項數(shù)應與原多項式的項數(shù)一樣,這樣可以檢查是否漏項.

          課堂練習:(投影)

          把下列各式分解因式:

          (l)2πR+2πr;

          (3)3x3+6x2;

          (4)21a2+7a;

          (5)15a2+25ab2;

          (6)x2y+xy2-xy.

          例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.

          分析:此多項式第一項的系數(shù)是負數(shù),與前面兩例不同,應先把它轉化為前面的情形便可以因式分解了,所以應先提負號轉化,然后再提公因式,提"-"號時,注意添括號法則.

          解:-4m3+16m2-26m

          =-(4m3-16m2+26m)

          =-2m(2m2-8m+13).

          說明:通過此例可以看出應用提公因式法分解因式時,應先觀察第一項系數(shù)的正負,負號時,運用添括號法則提出負號,此時一定要把每一項都變號;然后再提公因式.

          課堂練習:(投影)

          把下列各式分解因式:

          (1)-15ax-20a;

          (2)-25x8+125x16;

          (3)-a3b2+a2b3;

          (4)-x3y3-x2y2-xy;

          (5)-3ma3+6ma2-12ma;

          (三)小結

          1.因式分解的意義及其概念.

          2.因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別.

          3.公因式及提公因式法.

          4.提公因式法因式分解中應注意的問題.

          六、作業(yè)

          教材 P.10中 1、2、3、4.

          七、板書設計

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            八年級數(shù)學提公因式法教學設計

              提公因式法(一)

              教學目標

              1.使學生了解因式分解的意義,理解因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系.

              2.使學生理解提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式.

              3.通過學生自行探求解題途徑,培養(yǎng)學生觀察、分析和創(chuàng)新能力,深化學生逆向思維能力.

              教學重點及難點

              教學重點:

              因式分解的概念及提公因式法.

              教學難點:

              正確找出多項式各項的公因式及分解因式與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系.

              教學過程設計:

              一、復習提問

              乘法對加法的分配律.

              二、新課

              1.新課引入:用類比的方法引入課題.

              在學習分數(shù)時,我們常常要進行約分與通分,因此常常要把一個數(shù)分解因數(shù)(即分解約數(shù)).例如,把15分解成3×5,把42分解成2×3×7.

              在第七章我們學習了整式的乘法,幾個整式相乘可以化成一個多項式,那么一個多項式如何化成幾個整式乘積的形式呢?這一章就是學習如何把一個多項式化成幾個整式的積的方法.

              2.因式分解的概念:

              請學生每人寫出一個單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的例子,并計算出其結果.(老師按學生所說在黑板寫出幾個.)

              如:m(a+b+c)=ma+mb+mc

              2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

              (a+b)(a-b)=a2-b2

              (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

              (x-5)(2-x)=-x2+7x-10 等等.

              再請學生觀察它們有什么共同的特點?

              特點:左邊,整式×整式;右邊,是多項式.

              可見,整式乘以整式結果是多項式,而多項式也可以變形為相應的整式與整式的乘積,我們就把這種多項式的變形叫做因式分解.

              定義:把一個多項式化為幾個整式的積的形式,叫做把這個多項式因式分解,也叫做把這個多項式分解因式.

              如:因式分解:ma+mb+mc=m(a+b+c).

              整式乘法:m(a+b+c)=ma+mb+mc.

              讓學生說出因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別.

              聯(lián)系:同樣是由幾個相同的整式組成的等式.

              區(qū)別:這幾個相同的整式所在的位置不同,上式是因式分解;下式是整式乘法.兩者是方向相反的恒等變形,二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式,一個是多項式的表現(xiàn)形式,一個是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式.

              例1 下列各式從左到右哪些是因式分解?(投影)

              (1)x2-x=x(x-1) (√)

              (2)a(a-b)=a2-ab (×)

              (3)(a+3)(a-3)=a2-9 (×)

              (4)a2-2a+1=a(a-2)+1 (×)

              (5)x2-4x+4=(x-2)2 (√)

              下面我們學習幾種常見的因式分解方法.

              3.提公因式法:

              我們看多項式:ma+mb+mc

              請學生指出它的特點:各項都含有一個公共的因式m,這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式.

              注意:公因式是各項都含有的公共的因式.

              又如:a是多項式a2-a各項的公因式.

              ab是多項式5a2b-ab2各項的公因式.

              2mn是多項式4m2np-2mn2q各項的公因式.

              根據(jù)乘法的分配律,可得

              m(a+b+c)=ma+mb+mc,

              逆變形,便得到多項式ma+mb+mc的因式分解形式

              ma+mb+mc=m(a+b+c).

              這說明,多項式ma+mb+mc各項都含有的公因式可以提到括號外面,將多項式 ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

              定義:一般地,如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括號外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

              顯然,由定義可知,提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式.讓學生觀察上面的公因式的特點,找出確定公因式的萬法:(1)公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù):(2)字母取各項的相同字母,而且各字母的`指數(shù)取次數(shù)例2 指出下列各多項式中各項的公因式:

              (1)ax+ay+a (a)

              (2)3mx-6mx2 (3mx)

              (3)4a2+10ah (2a)

              (4)x2y+xy2 (xy)

              (5)12xyz-9x2y2 (3xy)

              例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.

              分析:分兩步:第一步,找出公因式;第二步,提公因式.

              先引導學生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2.

              解:8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).

              說明:

              (1)應特別強調(diào)確定公因式的兩個條件以免漏取.

              (2)開始講提公因式法時,最好把公因式單獨寫出.①以顯提醒;③強調(diào)提公因式;③強調(diào)因式分解.

              例4 把3x2-6xy+x 分解因式.

              分析:先引導學生找出公因式x,強調(diào)多項式中x=x·1.

              解:3x2-6xy+x

              =x·3x-x·6y+x·1

              =x(3x-6y+1).

              說明:當多項式的某一項恰好是公因式時,這項應看成它與1的乘積,提公因式后剩下的應是1,1作為項的系數(shù)通�?梢允÷�,但如果單獨成一項時,它在因式分解時不能漏掉,這類題常常有些學生犯下面的錯誤,3x2-6xy+x=x(3x-6y),這一點可讓學生利用恒等變形分析錯誤原因.還應提醒學生注意:提公因式后的因式的項數(shù)應與原多項式的項數(shù)一樣,這樣可以檢查是否漏項.

              課堂練習:(投影)

              把下列各式分解因式:

              (l)2πR+2πr;

              (3)3x3+6x2;

              (4)21a2+7a;

              (5)15a2+25ab2;

              (6)x2y+xy2-xy.

              例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.

              分析:此多項式第一項的系數(shù)是負數(shù),與前面兩例不同,應先把它轉化為前面的情形便可以因式分解了,所以應先提負號轉化,然后再提公因式,提"-"號時,注意添括號法則.

              解:-4m3+16m2-26m

              =-(4m3-16m2+26m)

              =-2m(2m2-8m+13).

              說明:通過此例可以看出應用提公因式法分解因式時,應先觀察第一項系數(shù)的正負,負號時,運用添括號法則提出負號,此時一定要把每一項都變號;然后再提公因式.

              課堂練習:(投影)

              把下列各式分解因式:

              (1)-15ax-20a;

              (2)-25x8+125x16;

              (3)-a3b2+a2b3;

              (4)-x3y3-x2y2-xy;

              (5)-3ma3+6ma2-12ma;

              (三)小結

              1.因式分解的意義及其概念.

              2.因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別.

              3.公因式及提公因式法.

              4.提公因式法因式分解中應注意的問題.

              六、作業(yè)

              教材 P.10中 1、2、3、4.

              七、板書設計