高等數(shù)學(xué)教學(xué)反思論文
摘要：高等數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)性學(xué)科，在高校教學(xué)中具有舉足輕重的地位。從基本概念講解和知識(shí)的綜合應(yīng)用兩個(gè)方面介紹了在本科生高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的體會(huì)與思考。
關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);基本概念;綜合應(yīng)用能力
高等數(shù)學(xué)是高校教學(xué)中的一門(mén)重要課程，也是大多數(shù)剛踏入大學(xué)校園的本科生必修的一門(mén)課程。隨著高校規(guī)模的進(jìn)一步擴(kuò)大，學(xué)生的素質(zhì)和水平參差不齊，而高等數(shù)學(xué)又是一門(mén)理論性強(qiáng)、具有嚴(yán)密邏輯思維性的基礎(chǔ)學(xué)科，因此要求每位高等數(shù)學(xué)教師要切實(shí)重視這門(mén)課的教學(xué)。要想學(xué)生真正喜歡上這門(mén)課，并且很好地掌握這門(mén)課，就需要不斷提高教師的教學(xué)質(zhì)量。
高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性強(qiáng)、理論性強(qiáng)、邏輯性強(qiáng)，它的推理、證明、數(shù)據(jù)演算等必須經(jīng)得起推敲，容不得半點(diǎn)虛假。為了避免出現(xiàn)“一聽(tīng)就會(huì)，一做就錯(cuò)”、生搬硬套、遇到實(shí)際問(wèn)題不會(huì)分析的狀況，在高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中要從基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析、推理能力和綜合應(yīng)用能力。
本文就談一下筆者在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的體會(huì)與思考。
一、注重基本概念的講解
數(shù)學(xué)概念是人類(lèi)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)學(xué)關(guān)系的簡(jiǎn)明概括，它是推導(dǎo)定理、公式、法則的出發(fā)點(diǎn)，是建立理論體系的著眼點(diǎn)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容。但是許多學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中不注重課堂教師概念的講解，只偏重于解題。一看到題目，如果題目曾經(jīng)見(jiàn)過(guò)，不管條件如何就開(kāi)始生搬硬套;如果題目沒(méi)有見(jiàn)過(guò)就發(fā)呆愣神，根本不會(huì)分析推理。因此，在課堂教學(xué)中，一定要注重概念的理解，而不是將一個(gè)個(gè)抽象的概念“冰冷冷”地放在那兒，教師應(yīng)該將知識(shí)體系很好地連貫起來(lái)，同時(shí)將所學(xué)內(nèi)容與實(shí)際生活結(jié)合起來(lái)，能夠生動(dòng)形象地組織教學(xué)。
基本概念的引入和數(shù)學(xué)史結(jié)合
在講解基本概念的時(shí)候，穿插一些數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，一方面可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，另一方面也可以加深對(duì)概念的理解。例如，在講解“導(dǎo)數(shù)”概念的時(shí)候，首先引入一些數(shù)學(xué)史的內(nèi)容。
到了17世紀(jì)，有許多問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就是促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái)，大約有四種主要類(lèi)型的問(wèn)題：第一類(lèi)是求即時(shí)速度問(wèn)題;第二類(lèi)是求曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題;第三類(lèi)是求函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題;第四類(lèi)是求曲線(xiàn)長(zhǎng)、曲線(xiàn)圍成的面積、曲面圍成的體積、物體重心的問(wèn)題。這些問(wèn)題在當(dāng)時(shí)得到廣泛的關(guān)注，許多著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家都提出了許多很有建樹(shù)的理論，為微積分的創(chuàng)立作出了貢獻(xiàn)。
17世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作，他們最大的功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線(xiàn)問(wèn)題(微分學(xué)的中心問(wèn)題)，一個(gè)是求積問(wèn)題(積分學(xué)的中心問(wèn)題)。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門(mén)學(xué)科早期也稱(chēng)為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱(chēng)的'來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茲卻側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮。
這一段數(shù)學(xué)史的講解，首先為緊接著引入“導(dǎo)數(shù)”概念時(shí)給出兩個(gè)引例(直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度和曲線(xiàn)的切線(xiàn))做好了鋪墊，也引入導(dǎo)數(shù)概念的出發(fā)點(diǎn)——直觀的無(wú)窮小量，與上一章的極限概念結(jié)合起來(lái)。其次，17世紀(jì)要解決的前三個(gè)問(wèn)題，也就是導(dǎo)數(shù)這一部分重點(diǎn)要解決的問(wèn)題，開(kāi)篇就把該章的主要框架給出。第四個(gè)問(wèn)題為后面積分學(xué)的引入埋下了伏筆。介紹牛頓和萊布尼茲的主要貢獻(xiàn)，為定積分求解公式稱(chēng)為牛頓-萊布尼茨公式給出了合理的解釋。
一段數(shù)學(xué)史的引入既讓學(xué)生了解了微積分的發(fā)展，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也可以更好地銜接課堂內(nèi)容，何樂(lè)而不為呢?2.基本概念和實(shí)際相結(jié)合在講解級(jí)數(shù)這一部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生總覺(jué)得枯燥、抽象，感覺(jué)就是一些運(yùn)算，并沒(méi)有什么實(shí)際的應(yīng)用。
講解時(shí)，首先給出一個(gè)有名的悖論“Achilles(傳說(shuō)中的希臘英雄)追趕烏龜”：設(shè)烏龜在Achilles前面A米處向前爬行，Achilles在后面追趕，當(dāng)Achilles花了a秒時(shí)間跑完A米時(shí)，烏龜已向前爬了B米;
當(dāng)Achilles再花b秒時(shí)間跑完B米時(shí)，烏龜又向前爬了C米，……這樣的過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，因此Achilles永遠(yuǎn)也追不上烏龜。
顯然這一結(jié)論有悖于常理，是絕對(duì)荒謬的，可是如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋清楚呢?這樣一個(gè)悖論可以調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考。在思考的過(guò)程中，引入級(jí)數(shù)的概念。接著講解級(jí)數(shù)的一些基本性質(zhì)，從而再給出一些級(jí)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，例如：一慢性病人需每天服用某種藥物，按醫(yī)囑每天服用0.05mg，設(shè)體內(nèi)的藥物每天有20%通過(guò)各種渠道排泄，問(wèn)長(zhǎng)期服藥后體內(nèi)藥量維持在怎么樣的水平?通過(guò)對(duì)于級(jí)數(shù)的計(jì)算可以得到長(zhǎng)期服藥后體內(nèi)藥量近似為：0.05 10.25m g5454542 3#8 ++`j +`j+gB=而在實(shí)際病例中，醫(yī)生往往根據(jù)病人的病情，考慮體內(nèi)藥量水平的需求，確定病人每天的服藥量。如一慢性病人需長(zhǎng)期服藥，按照病情，體內(nèi)藥量需維持在0.2mg，設(shè)體內(nèi)藥物每天有15%通過(guò)各種渠道排泄掉，問(wèn)該病人每天的服藥劑量應(yīng)該為多少?[2]這樣聲情并茂、理論聯(lián)系實(shí)際的一節(jié)課就可以讓學(xué)生既思考了問(wèn)題，又可以掌握基本知識(shí)，同時(shí)還激發(fā)了學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)的興趣，收到事半功倍的效果。
二、注重知識(shí)的綜合應(yīng)用
高等數(shù)學(xué)現(xiàn)行教材中的很多例題，由于篇幅原因一般只有題目的解答過(guò)程卻沒(méi)有思考過(guò)程，因此愛(ài)問(wèn)問(wèn)題的學(xué)生往往會(huì)問(wèn)，如果是自己解題的話(huà)，怎么會(huì)這樣想呢?這個(gè)疑問(wèn)就是授課教師在講解題目時(shí)重點(diǎn)要解決的。也就是說(shuō)，授課教師不但要把解題的過(guò)程講解清楚，還要從解題思路方面進(jìn)行引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生怎樣運(yùn)用所學(xué)知識(shí)獨(dú)立尋找解題思路，也就是邏輯思維能力的培養(yǎng)。
例如在講中值定理這一節(jié)時(shí)，有例題：設(shè)在區(qū)間I上恒有：f( x )f( x )2x x ,x ,x I1 2 1 221 2-G-!證明此函數(shù)在I上為常數(shù)函數(shù)。
學(xué)生本來(lái)對(duì)證明題就有一種畏難情緒，一見(jiàn)到是抽象函數(shù)的證明題，更是無(wú)從下手，一頭霧水了。這時(shí)教師不能直接講解題過(guò)程，而是要逐步分析、理解，讓學(xué)生給出解題過(guò)程。
首先幫助他們分析題意，引導(dǎo)學(xué)生逐步思考。要想證明一個(gè)函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，由拉格朗日中值定理可知，“如果函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么函數(shù)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)”，因此只要證明“在區(qū)間I上，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)均為零”。
講到此處，給學(xué)生一個(gè)思考的余地，讓他們?cè)囍ミx擇方法，看看如何證明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零。于是學(xué)生在思路的引導(dǎo)下會(huì)進(jìn)一步考慮。很多學(xué)生會(huì)選擇拉格朗日中值定理，將左邊函數(shù)值的差轉(zhuǎn)化為和導(dǎo)數(shù)相關(guān)的量。此時(shí)教師就可以趁勢(shì)鼓勵(lì)他們想著要去轉(zhuǎn)化左邊的式子，非常正確。但是轉(zhuǎn)化的過(guò)程要利用拉格朗日中值定理，那么條件滿(mǎn)足嗎?在拉格朗日中值定理中要求所考慮的函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，對(duì)應(yīng)的開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，定理中的兩個(gè)條件缺一不可，而這個(gè)題目中并沒(méi)有給出函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性。那要怎么處理呢?如果想出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)形式，就可以從導(dǎo)數(shù)的基本定義出發(fā)進(jìn)行分析。導(dǎo)數(shù)是差商的極限，反映的是變化率。
左端只給出了函數(shù)值的差，那么自然想著要和自變量的差結(jié)合，出現(xiàn)差商形式，將所給等式變形為：()()x xf x f x2x x1 21 21 2G---而導(dǎo)數(shù)是一種極限形式，進(jìn)而不等式兩邊取極限，利用夾逼準(zhǔn)則結(jié)合極限的性質(zhì)，所證結(jié)論成立。
通過(guò)逐步分析，問(wèn)題就迎刃而解了。這個(gè)分析題的過(guò)程既有學(xué)生的參與，也有教師的講解，利用條件和基本概念逐步分析就是對(duì)學(xué)生推理思維訓(xùn)練的過(guò)程。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)收獲更大。由這個(gè)題目的分析求解過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)這是一道綜合性較強(qiáng)的題目，需要學(xué)生對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)——拉格朗日中值定理、導(dǎo)數(shù)定義、夾逼準(zhǔn)則以及極限的性質(zhì)必須要熟練掌握，然后才會(huì)融會(huì)貫通。
數(shù)學(xué)的題目千變?nèi)f化，永遠(yuǎn)做不完。這就要求學(xué)生對(duì)基本概念掌握扎實(shí)，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)要理解清楚。在題目的分析過(guò)程中，對(duì)基本概念和知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，逐步培養(yǎng)自己的邏輯分析、綜合思維的能力。那么無(wú)論碰到什么樣的題目類(lèi)型都可以獨(dú)立思考，逐步分析，尋找合適的解題方法。
總而言之，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)是需要一個(gè)過(guò)程的，在這個(gè)過(guò)程中，教師只有不斷提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和教學(xué)能力，才能把高等數(shù)學(xué)這門(mén)課講好，才能逐步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和樂(lè)趣，達(dá)到教與學(xué)的雙贏。
參考文獻(xiàn)：
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