高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)

必修一

一、集合

一、集合有關(guān)概念

1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個(gè)特性：

（1）元素的確定性如：世界上最高的山

（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

（3）元素的無(wú)序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

• 注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N

正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R

1. 列舉法：{a,b,c……}
2. 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3. 語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4. Venn圖:

4、集合的分類(lèi)：

有限集 含有有限個(gè)元素的集合

無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合

空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x²=－5｝

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2．“相等”關(guān)系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)

實(shí)例：設(shè) A={x|x²-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

即：① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且A≠ B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB 同時(shí) BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

• 有n個(gè)元素的集合，含有2ⁿ個(gè)子集，2^n-1個(gè)真子集

二、函數(shù)

1、函數(shù)定義域、值域求法綜合

2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問(wèn)題的解題策略

3、恒成立問(wèn)題的求解策略

4、反函數(shù)的幾種題型及方法

5、二次函數(shù)根的問(wèn)題——一題多解

&指數(shù)函數(shù)y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b屬于Q)

(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b屬于Q)

(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b屬于Q)

指數(shù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)規(guī)律：

1、函數(shù)y=a^x與y=a^-x關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

2、函數(shù)y=a^x與y=-a^x關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

3、函數(shù)y=a^x與y=-a^-x關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

冪函數(shù)y=x^a(a屬于R)

1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中為常數(shù)

2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納。

（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；

（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；

（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)。在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸。

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；

（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)．

（1）△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（2）△＝０，方程有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．

（3）△＜０，方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)。

三、平面向量

已知兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是向量OA、OB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對(duì)于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。
|a＋b|≤|a|＋|b|。
向量的加法滿(mǎn)足所有的加法運(yùn)算定律。
數(shù)乘運(yùn)算
實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ > 0時(shí)，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ < 0時(shí)，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時(shí)，λa = 0。
設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。
向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)線性運(yùn)算。
向量的數(shù)量積
已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。
a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。
兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。

四、三角函數(shù)

1、善于用“1“巧解題

2、三角問(wèn)題的非三角化解題策略

3、三角函數(shù)有界性求最值解題方法

4、三角函數(shù)向量綜合題例析

5、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

函 數(shù) 性 質(zhì)
圖象
定義域
值域
最值	當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，．	當(dāng)時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，．	既無(wú)最大值也無(wú)最小值
周期性
奇偶性	奇函數(shù)	偶函數(shù)	奇函數(shù)
單調(diào)性	在 上是增函數(shù)；在 上是減函數(shù)．	在上是增函數(shù)；在 上是減函數(shù)．	在 上是增函數(shù)．
對(duì)稱(chēng)性	對(duì)稱(chēng)中心 對(duì)稱(chēng)軸	對(duì)稱(chēng)中心 對(duì)稱(chēng)軸	對(duì)稱(chēng)中心 無(wú)對(duì)稱(chēng)軸

必修四

角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱(chēng)為第幾象限角．

第一象限角的集合為

第二象限角的集合為

第三象限角的集合為

第四象限角的集合為

終邊在軸上的角的集合為

終邊在軸上的角的集合為

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為

3、與角終邊相同的角的集合為

4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再?gòu)?img loading="lazy" src="data:image/x-wmf;base64,183GmgAAAAAAAEABYAEFCQAAAAA0XgEACQAAAyEBAAACAHwAAAAAAAUAAAACAQEAAAAFAAAAAQL///8ABQAAAC4BGQAAAAUAAAALAgAAAAAFAAAADAJgAUABEwAAACYGDwAcAP////8AAE4AEAAAAMD///8mAAAAAAEAAIYBAAALAAAAJgYPAAwATWF0aFR5cGUAADAABQAAAAkCAAAAAgUAAAAUAgABTAAcAAAA+wKA/gAAAAAAAJABAQAAAAACABBUaW1lcyBOZXcgUm9tYW4A2J/xd+Gf8XcgIPN3NBBmhwQAAAAtAQAACQAAADIKAAAAAAEAAAB4eQADfAAAACYGDwDuAE1hdGhUeXBlVVXiAAUBAAUCRFNNVDUAABNXaW5BbGxCYXNpY0NvZGVQYWdlcwARBVRpbWVzIE5ldyBSb21hbgARA1N5bWJvbAARBUNvdXJpZXIgTmV3ABEETVQgRXh0cmEAE1dpbkFsbENvZGVQYWdlcwARBsvOzOUAEgAIIS9Fj0QvQVD0EA9HX0FQ8h8eQVD0FQ9BAPRF9CX0j0JfQQD0EA9DX0EA9I9F9CpfSPSPQQD0EA9A9I9Bf0j0EA9BKl9EX0X0X0X0X0EPDAEAAQABAgICAgACAAEBAQADAAEABAAFAAoBAAIAg3gAAAALAAAAJgYPAAwA/////wEAAAAAAAAAHAAAAPsCEAAHAAAAAAC8AgAAAIYBAgIiU3lzdGVtAAA0EGaHAAAKACEAigEAAAAA/////+TjEgAEAAAALQEBAAQAAADwAQAAAwAAAAAA" />軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來(lái)是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為終邊所落在的區(qū)域．

5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做弧度．

口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．

(以上k∈Z)其他三角函數(shù)知識(shí)：
同角三角函數(shù)基本關(guān)系
⒈同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式商的關(guān)系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方關(guān)系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
兩角和差公式
⒉兩角和與差的三角函數(shù)公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————
1－tanα tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα tanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式）
1－cosα
sin^2(α/2)＝—————
2
1＋cosα
cos^2(α/2)＝—————
2
1－cosα
tan^2(α/2)＝—————
1＋cosα
萬(wàn)能公式
⒌萬(wàn)能公式
2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α/2)
1－tan^2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan^2(α/2)
和差化積公式
⒎三角函數(shù)的和差化積公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----cos—---
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----sin—----
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----cos—-----
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----sin—-----
2 2

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