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《邏輯學(xué)十五講》讀書(shū)筆記
本講主要討論的是謂詞邏輯的最基本內(nèi)容，它分為四個(gè)部分來(lái)講解。一是個(gè)體詞、量詞、謂詞和公式，二是自然語(yǔ)言中量化命題的符號(hào)化，三是模型和賦值普遍有效式，四是非普遍有效性的解釋方法。
謂詞邏輯與詞項(xiàng)邏輯有些相似，它也要將一個(gè)簡(jiǎn)單命題拆分成各個(gè)部分，不同的是它將命題拆分成個(gè)體詞、謂詞、量詞和聯(lián)結(jié)詞而不是像詞項(xiàng)邏輯一樣拆分成主項(xiàng)謂項(xiàng)等。個(gè)體詞又包括個(gè)體變項(xiàng)和個(gè)體常項(xiàng)。變項(xiàng)是某個(gè)范圍內(nèi)不確定的項(xiàng)，常項(xiàng)同理就是某個(gè)范圍內(nèi)確定的項(xiàng)。量詞我們高中接觸過(guò)，一般指全稱量詞和存在量詞兩種，量詞也有一定的管轄范圍，稱為轄域。如何尋找它的轄域也簡(jiǎn)單，如果量詞后無(wú)括號(hào)，則量詞后最短的公式就是它的轄域，如果量詞后有括號(hào)，則處于該括號(hào)內(nèi)的公式構(gòu)成該量詞的轄域。作者認(rèn)為有必要區(qū)分一個(gè)公式中所出現(xiàn)的變項(xiàng)和一個(gè)變項(xiàng)在一個(gè)公式中的出現(xiàn)，一個(gè)變項(xiàng)的某一次出現(xiàn)在一個(gè)量詞中稱為“約束出現(xiàn)”，否則叫做“自由出現(xiàn)”，一個(gè)個(gè)體變項(xiàng)可以既是約束變項(xiàng)又是自由變項(xiàng)。一個(gè)至少含有一個(gè)自由變項(xiàng)的公式叫開(kāi)公式，不含任何自由變項(xiàng)的公式叫閉公式。
從書(shū)中以上講解，我們也能知道，自然語(yǔ)言任何復(fù)雜度的性質(zhì)命題和關(guān)系命題可以符號(hào)化，變?yōu)橹^詞邏輯中的公式。首先談直言命題的符號(hào)化，謂詞邏輯把直言命題形式上的主詞和謂詞都變?yōu)橹^詞，然后再尋找邏輯主詞。存在六種直言命題的符號(hào)化，定域是全域。全稱的直言命題應(yīng)符號(hào)化成為一個(gè)全稱的蘊(yùn)含式，特稱的直言命題應(yīng)該符號(hào)化為存在合取式，單稱的直言命題應(yīng)符號(hào)化為原子公式。當(dāng)定域?yàn)槟硞�(gè)特定論域，則謂詞邏輯公式要簡(jiǎn)單許多，但一般不做說(shuō)明時(shí)我們都視為全域。關(guān)系命題時(shí)斷定對(duì)象之間有某種關(guān)系的命題，它至少包含兩個(gè)要素，個(gè)體詞和關(guān)系謂詞，個(gè)體詞就是兩個(gè)關(guān)系對(duì)象，有些關(guān)系命題帶有量詞，量詞就是指某些關(guān)系對(duì)象的范圍和數(shù)量，比如“有些”和“所有”。關(guān)系推理也可以符號(hào)化，把一個(gè)推理符號(hào)化就是分別把推理的前提和結(jié)論符號(hào)化，所謂關(guān)系推理就是以命題關(guān)系作前提和結(jié)論的推理，謂詞邏輯的符號(hào)表達(dá)能力是足夠強(qiáng)，不僅能夠表達(dá)所有的性質(zhì)命題，而且能夠表達(dá)所有的關(guān)系命題，再以性質(zhì)命題和關(guān)系命題結(jié)合推理。前面的謂詞邏輯的公式和符號(hào)，模型和賦值就是對(duì)符號(hào)和公式進(jìn)行解釋。非普遍有效式的解釋方法，去證明一個(gè)公式具有普遍性是非常難的，相反去證明它是不普遍的就輕松很多，因?yàn)槟阒灰页鲆粋�(gè)例子它不滿足即可證明，這與謂詞邏輯的解釋相關(guān)，稱解釋方法，也稱模型方法。實(shí)際上是要求該公式找一個(gè)反模型，再對(duì)比真假。
在第六講中，提到了量化命題，-是謂詞邏輯的基本內(nèi)容，即把命題或推理分析為個(gè)體詞、謂詞、量詞和聯(lián)結(jié)詞等部分，以便能夠刻畫(huà)關(guān)系命題及其推理，以及量詞里面含聯(lián)結(jié)詞結(jié)構(gòu)的命題及其推理。個(gè)體詞包括個(gè)體變項(xiàng)和個(gè)體常項(xiàng)，個(gè)體變項(xiàng)表示某個(gè)特定的范圍內(nèi)的某個(gè)不確定的對(duì)象，個(gè)體常項(xiàng)表示某個(gè)特定范圍內(nèi)的某個(gè)確定的對(duì)象，這里的某個(gè)特地的范圍是“論域”。謂詞經(jīng)過(guò)解釋之后，表示論域中個(gè)體的性質(zhì)和個(gè)體之間的關(guān)系，一元謂詞符號(hào)是一個(gè)謂詞符號(hào)后跟有一個(gè)個(gè)體詞，如果跟有兩個(gè)個(gè)體詞，就是一個(gè)二元謂詞符號(hào)，以此類推，有n個(gè)個(gè)體詞的謂詞符號(hào)，就是n元謂詞符號(hào)。
量詞包括全稱量詞和存在量詞，加上了前面所說(shuō)的原子公式，就能成立本講的題目提及的“量化公式”，全稱量詞是包括全部的，對(duì)于所有，需要全部都成立，那么這個(gè)命題才是正確的;而存在量詞是一部分的，某一些，只需要有一個(gè)符合符合條件即可。量詞有其管轄的范圍，叫做“轄域”。在實(shí)際生活中，為了方便且通俗易懂，可以將復(fù)雜的文字轉(zhuǎn)化為符號(hào)，一個(gè)簡(jiǎn)單的符號(hào)可以代表多個(gè)文字組成才能表達(dá)的意思，可以說(shuō)他的發(fā)明是很實(shí)用了。直言命題的符號(hào)化的成立也是需要條件的，包括以下幾點(diǎn)：全稱的直言命題的符號(hào)化應(yīng)該是一個(gè)全稱蘊(yùn)含式，特稱的直言命題的符號(hào)化是存在直取式，單稱的直言命題應(yīng)該符號(hào)化為原子公式，在我看來(lái)，就是說(shuō)全稱命題應(yīng)該轉(zhuǎn)化成全集，特稱命題轉(zhuǎn)化為特殊的集合，單稱命題轉(zhuǎn)化為一個(gè)，從其表面的意思來(lái)看，就是對(duì)象之間具有某種關(guān)系的命題，包括個(gè)體詞和關(guān)系謂詞。關(guān)系推理的符號(hào)化，即將推理的前提和結(jié)論符號(hào)化，雖說(shuō)這樣子復(fù)雜了一點(diǎn)，但是著實(shí)增強(qiáng)了學(xué)者的邏輯推理能力、語(yǔ)言文字表達(dá)的轉(zhuǎn)化能力以及抽象的邏輯能力。二元關(guān)系是指兩個(gè)對(duì)象之間的邏輯性質(zhì)，即關(guān)系的自返性、對(duì)稱性和傳遞性。
謂詞邏輯的意義和真假是通過(guò)模型和賦值來(lái)實(shí)現(xiàn)的，說(shuō)實(shí)話讀到這里，我是看不怎么懂的，一大堆的字母符號(hào)，和看起來(lái)差不多的文字，著實(shí)讓我頭暈。一個(gè)模型包括以下因素：個(gè)體域D、個(gè)體常項(xiàng)在個(gè)體域D中的值以及謂詞符號(hào)在個(gè)體域中D的解釋。當(dāng)謂詞邏輯的一個(gè)閉公式只含有這些成分，當(dāng)給定模型后，閉公式的意義就能確定。當(dāng)一個(gè)公式含有自由變項(xiàng)，即本身是開(kāi)公式時(shí)，他的意義和真假就尚且不能確定。謂詞邏輯的普遍有效式有一般到個(gè)別的推理、個(gè)別到存在的推理、矛盾律、排中律在謂詞邏輯的表現(xiàn)形式，全稱量詞和存在量詞的相互定義，全稱量詞對(duì)于蘊(yùn)涵和合取的分配律，存在量詞對(duì)析取的分配律。不得不說(shuō)，邏輯學(xué)真的是博大精深，不求甚解是不能深知的。
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