專題一：利用不等式性質(zhì)，判斷其它不等式是否成立
1、a、b∈R,則下列命題中的真命題是( C )
A、若a>b，則|a|>|b| B、若a>b，則1/a<1/b
C、若a>b，則a3>b3 D、若a>b，則a/b>1
2、已知a<0.-1
A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a
C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a
3、當(dāng)0
A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b
C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b
4、若loga3>logb3>0，則a、b的關(guān)系是( B )
A、0a>1
C、0
5、若a>b>0，則下列不等式①1/a<1/b;②a2>b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是( A )
A、①②③④ B、①②③ C、①② D、③④
(二)比較大小
1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，則( A )
A、ab C、ab<1 D、ab>2
2、a、b為不等的正數(shù)，n∈N，則(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符號(hào)是( C )
A、恒正 B、恒負(fù)
C、與a、b的大小有關(guān) D、與n是奇數(shù)或偶數(shù)有關(guān)
3、設(shè)1lg2x>lg(lgx)
4、設(shè)a>0,a≠1,比較logat/2與loga(t+1)/2的大小。
分析：要比較大小的式子較多，為避免盲目性，可先取特殊值估測(cè)各式大小關(guān)系，然后用比較法(作差)即可。
(三)利用不等式性質(zhì)判斷P是Q的充分條件和必要條件
1、設(shè)x、y∈R,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關(guān)系
�、琶}甲：x>0且y>0， 命題乙：x+y>0且xy>0 充要條件
�、泼}甲：x>2且y>2， 命題乙：x+y>4且xy>4 充分不必要條件
2、已知四個(gè)命題，其中a、b∈R
�、賏2
3、"a+b>2c"的一個(gè)充分條件是( C )
A、a>c或b>c B、a>c或bc且b>c D、a>c且b
(四)范圍問題
1、設(shè)60
2、若二次函數(shù)y=f(x)的圖象過原點(diǎn)，且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(2)的范圍。
(五)均值不等式變形問題
1、當(dāng)a、b∈R時(shí),下列不等式不正確的是( D )
A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab
C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)
2、x、y∈(0,+∞)，則下列不等式中等號(hào)不成立的是( A )
C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2
3、已知a>0,b>0,a+b=1，則(1/a21)(1/b21)的最小值為( D )
A、6 B、7 C、8 D、9
4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求證：1/a+1/b+1/c≥9
5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證：
(六)求函數(shù)最值
1、若x>4,函數(shù)
5、大、-6
2、設(shè)x、y∈R, x+y=5，則3x+3y的最小值是( )D
A、10 B、 C、 D、
3、下列各式中最小值等于2的是( )D
A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2-x
4、已知實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。
5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。
(七)實(shí)際問題
1、98(高考)如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2cm的無蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為am，高度為bm，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60m2，問當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A、B孔的面積忽略不計(jì))。
解一：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，
由題意y=k/ab，其中k為比例系數(shù)(k>0)
據(jù)題設(shè)2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)
由a>0,b>0可得0
令t=2+a，則a=t-2從而當(dāng)且僅當(dāng)t=64/t，即t=8,a=6時(shí)等號(hào)成立。∴y=k/ab≥k/18
當(dāng)a=6時(shí),b=3，
綜上所述，當(dāng)a=6m,b=3m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
解二：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，由題意y=k/ab，其中k為比例系數(shù)(k>0)
要求y的最小值，即要求ab的最大值。
據(jù)題設(shè)2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30
即a=6,b=3時(shí)，ab有最大值，從而y取最小值。
綜上所述，當(dāng)a=6m,b=3m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
2、某工廠有舊墻一面長(zhǎng)14米,現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126 米2的廠房，工程條件是：①建1米新墻的費(fèi)用為a元;②修1米舊墻的費(fèi)用為a/4元;③拆去1米舊墻用所得材料建1米新墻的費(fèi)用為a/2元.經(jīng)過討論有兩種方案：⑴利用舊墻的一段x(x<14)米為矩形廠房的一面邊長(zhǎng);⑵矩形廠房的一面長(zhǎng)為x(x≥14).問如何利用舊墻，即x為多少米時(shí)，建墻費(fèi)用最省?⑴⑵兩種方案哪種方案最好?
解：設(shè)總費(fèi)用為y元，利用舊墻的一面矩形邊長(zhǎng)為x米，則另一邊長(zhǎng)為126/x米。
⑴若利用舊墻的一段x米(x<14)為矩形的一面邊長(zhǎng)，則修舊墻的費(fèi)用為x?a/4元，剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費(fèi)用為(14-x)?a/2元，其余的建新墻的費(fèi)用為(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費(fèi)用 當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)等號(hào)成立，∴x=12時(shí)ymin=7a(6-1)=35a。
⑵若利用舊墻的一段x米(x≥14)為矩形的一面邊長(zhǎng)，則修舊墻的費(fèi)用為x?a/4元，建新墻的費(fèi)用為(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費(fèi)用
設(shè)f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，則f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1)
=(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14，+∞)上遞增，∴f(x)≥f(14)
∴x=14時(shí)ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a
綜上所述，采用方案⑴，即利用舊墻12米為矩形的一面邊長(zhǎng)，建墻費(fèi)用最省。
(八)比較法證明不等式
1、已知a、b、m、n∈R+,證明：am+n+bm+n≥ambn+anbm
變：已知a、b∈R+,證明：a3/b+b3/a≥a2+b2
2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)
(九)綜合法證明不等式
1、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：
2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3
3、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，且abc=1,求證：
4、已知a、b∈R+，a+b=1,求證：
(十)分析法證明不等式
1、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c
2、已知函數(shù)f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求證：
3、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足y+x2=0,0
(十一)反證法、放縮法、構(gòu)造法、判別式法、換元法等證明不等式
1、設(shè)f(x)=x2+ax+b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于1/2。
2、若x2+y2≤1,求證|x2+2xy-y2|≤.
3、已知a>b>c,求證：
4、已知a、b、c∈R+，且a+b>c求證：.
5、已知a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等號(hào)何時(shí)成立。
分析：整理成關(guān)于a的二次函數(shù)f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2
∵Δ=(c+3b)2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0
∴f(a)≥0
6、已知：x2-2xy + y2 + x + y + 1=0，求證：1/3≤y/x≤3
7、在直角三角形ABC中，角C為直角，n≥2且n∈N，求證：cn≥an + bn
(十二)解不等式
1、解不等式：
2、解關(guān)于x的不等式：