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        概率論知識總結(jié)

        學(xué)習(xí)總結(jié) 時(shí)間:2018-03-27 我要投稿
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          概率是生活中經(jīng)常會用到的知識,在考試中也經(jīng)常會遇到,下面概率論知識總結(jié)是小編想跟大家分享的,歡迎大家瀏覽。

          概率論知識總結(jié)

          第一章 概率論的基本概念

          1. 隨機(jī)試驗(yàn)

          確定性現(xiàn)象:在自然界中一定發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。

          隨機(jī)現(xiàn)象: 在個(gè)別實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)不確定性,在大量實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,這種現(xiàn)象稱

          為隨機(jī)現(xiàn)象。

          隨機(jī)試驗(yàn):為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律而做的的實(shí)驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn)。

          隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn):1)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;

          2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能

          結(jié)果;

          3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會先出現(xiàn);

          2. 樣本空間、隨機(jī)事件

          樣本空間:我們將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間,記為S。 樣本點(diǎn):構(gòu)成樣本空間的元素,即E中的每個(gè)結(jié)果,稱為樣本點(diǎn)。

          事件之間的基本關(guān)系:包含、相等、和事件(并)、積事件(交)、差事件(A-B:包含A

          不包含B)、互斥事件(交集是空集,并集不一定是全集)、對立

          事件(交集是空集,并集是全集,稱為對立事件)。

          事件之間的運(yùn)算律:交換律、結(jié)合律、分配率、摩根定理(通過韋恩圖理解這些定理)

          3. 頻率與概率

          頻數(shù):事件A發(fā)生的次數(shù)

          頻率:頻數(shù)/總數(shù)

          概率:當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n逐漸增大,頻率值就會趨于某一穩(wěn)定值,這個(gè)值就是概率。 概率的特點(diǎn):1)非負(fù)性。2)規(guī)范性。3)可列可加性。

          概率性質(zhì):1)P(空集)=0,2)有限可加性,3)加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)

          -P(AB)

          4. 古典概型

          學(xué)會利用排列組合的知識求解一些簡單問題的概率(彩票問題,超幾何分布,分配問題,

          插空問題,捆綁問題等等)

          5. 條件概率

          定義:A事件發(fā)生條件下B發(fā)生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A)

          乘法公式:P(AB)=P(B|A)P(A)

          全概率公式與貝葉斯公式

          6. 獨(dú)立性檢驗(yàn)

          設(shè) A、B是兩事件,如果滿足等式

          P(AB)=P(A)P(B)

          則稱事件A、B相互獨(dú)立,簡稱A、B獨(dú)立。

          第二章.隨機(jī)變量及其分布

          1. 隨機(jī)變量

          定義:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}. X=X(e)是定義在樣本空間S上的單值函數(shù),稱

          X=X(e)為隨機(jī)變量。

          2. 離散型隨機(jī)變量及其分布律

          三大離散型隨機(jī)變量的分布

          1)(0——1)分布。E(X)=p, D(X )=p(1-p)

          2)伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p)

          3) 泊松分布 P(X=k)= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,……)

          E(X)=?,D(X)= ?

          注意:當(dāng)二項(xiàng)分布中n 很大時(shí),可以近似看成泊松分布,即np= ?

          3. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)

          定義:設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,x是任意的實(shí)數(shù),函數(shù)

          F(x)=P(X≤x),x屬于R 稱為X的分布函數(shù)

          分布函數(shù)的性質(zhì):

          1) F(x)是一個(gè)不減函數(shù)

          2) 0≤F(x)≤1

          離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的求法(由分布律求解分布函數(shù))

          連續(xù)性隨機(jī)變量的分布函數(shù)的求法(由分布函數(shù)的圖像求解分布函數(shù),由概率密度求

          解分布函數(shù))

          4. 連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度

          連續(xù)性隨機(jī)變量的分布函數(shù)等于其概率密度函數(shù)在負(fù)無窮到x的變上限廣義積分 相反密度函數(shù)等與對應(yīng)區(qū)間上分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

          密度函數(shù)的性質(zhì):1)f(x)≥0

          2) 密度函數(shù)在負(fù)無窮到正無窮上的廣義積分等于1

          三大連續(xù)性隨機(jī)變量的分布: 1)均與分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12

          2)指數(shù)分布 E(X)=θ D(X)=θ^2

          3)正態(tài)分布一般式(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)

          5. 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

          1)已知隨機(jī)變量X的 分布函數(shù)求解Y=g(X)的分布函數(shù)

          2)已知隨機(jī)變量X的 密度函數(shù)求解Y=g(X)的密度函數(shù)

          第三章 多維隨機(jī)變量及其分布(主要討論二維隨機(jī)變量的分布)

          1.二維隨機(jī)變量

          定義 設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,對于任意實(shí)數(shù)x, y,二元函數(shù)

          F(x, Y)=P[(X≤x)交(Y≤y)] 稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)或稱為隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)

          離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)和密度函數(shù)

          連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)和密度函數(shù)

          重點(diǎn)掌握利用二重積分求解分布函數(shù)的方法

          2.邊緣分布

          離散型隨機(jī)變量的邊緣概率

          連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度

          3.相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

          如果X,Y相互獨(dú)立,那么X,Y的聯(lián)合概率密度等于各自邊緣的乘積

          5. 兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的分布

          關(guān)鍵掌握利用卷積公式求解Z=X+Y的概率密度

          第四章.隨機(jī)變量的數(shù)字特征

          1.數(shù)學(xué)期望

          離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求法

          六大分布的數(shù)學(xué)期望

          2.方差

          連續(xù)性隨機(jī)變量的方差

          D(X)=E(X^2)-[E (X )]^2

          方差的基本性質(zhì):

          1) 設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0

          2) 設(shè)X隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有

          D(CX)=C^2D(X)

          3) 設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則有

          D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 特別地,若X,Y不相關(guān),則有D(X+Y)=D(X)+ D(Y) 切比雪夫不等式的簡單應(yīng)用

          3. 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

          協(xié)方差:Cov(X ,Y )= E{(X-E(X))(Y-E(Y))}

          相關(guān)系數(shù):m=Cov(x,y)/√D(X) √D(Y)

          當(dāng)相關(guān)系數(shù)等于0時(shí),X,Y 不相關(guān),Cov(X ,Y )等于0 不相關(guān)不一定獨(dú)立,但獨(dú)立一定不相關(guān)

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