大學線代知識點總結

大學線代知識點總結

　　線性代數是數學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。以下是“大學線代知識點總結”希望能夠幫助的到您！

　　01、余子式與代數余子式 a11a12a13（1）設三階行列式D＝a21a22a23，則

　　a31a32a33①元素a11，a12，a13的余子式分別為：M11＝

　　a22a23a32a33，M12＝

　　a21a23a31a33，M13＝

　　a22a23a32a33a21a22a31a32

　　對M11的解釋：劃掉第1行、第1列，剩下的就是一個二階行列式行列式即元素a11的余子式M11。其他元素的余子式以此類推。

　�、谠�素a11，a12，a13的代數余子式分別為：A11＝(－1)1＋1M11 ，A12＝(－1)1＋2M12 ， A13＝(－1)1＋3M13 . 對Aij的解釋（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j M ij . （N階行列式以此類推）

　�。�2）填空題求余子式和代數余子式時，最好寫原式。比如說，作業P1第1題：

　　M31＝

　　0403，A31＝(-1)3+1

　　0403

　�。�3）例題：課本P8、課本P21-27、作業P1第1題、作業P1第3題

　　02、主對角線 一個n階方陣的主對角線，是所有第k行第k列元素的全體，k=1, 2, 3? n，即從左上到右下 的一條斜線。與之相對應的稱為副對角線或次對角線，即從右上到左下的一條斜線。

　　03、轉置行列式

　　即元素aij與元素aji的位置對調（i表示第i行，j表示第j列），比如說，a12與a21的位置對調、a35與a53的位置對調。

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　　04、行列式的性質 詳見課本P5-8（性質1.1.1~ 1.1.7） 其中，性質1.1.7可以歸納為這個：

　　? A ，i＝k，ai1Ak1＋ai2Ak2＋ ? ＋ainAkn＝ ? （i表示第i行，k表示第k列）

　　? 0 ，i?k熟練掌握行列式的性質，可以迅速的簡化行列式，方便計算。 例題：作業P1第2題

　　05、計算行列式 （1）計算二階行列式

　　a11a12a21a22a11a12a21a22：

　�、俜椒ǎㄊ走x）：

　　a11a12a21a22＝a11a22－a12a21（即，左上角×右下角－右上角×左下角）

　　②方法：＝a11A11＋a12A12＝a11a22－a12a21

　　例題：課本P14

　　a11a12a13（2）計算三階行列式a21a22a23：

　　a31a32a33a11a12a13a21a22a23＝a11A11＋a12A12＋a13A13＝a11(－1)1＋1M11 ＋a12(－1)1＋2M12 ＋a13(－1)1＋3M13 a31a32a33N階行列式的計算以此類推。通常先利用行列式的性質對行列式進行轉化，0元素較多時方便計算.（r是row，即行。c是column，即列）

　　例題：課本P5、課本P9、課本P14、作業P1第4題、作業P2第3小題

　�。�3）n階上三角行列式（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）：

　　D＝a11a22?ann（主對角線上元素的乘積） 例題：課本P10、作業P3第4小題

　　有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應加到第一行”轉化成上三角行列式 例題：課本P11

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　　（4）范德蒙行列式：詳見課本P12-13

　�。�5）有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應加到第一行”提取出“公因式”，得到

　　元素全為1的一行，方便化簡行列式。 例題：作業P2第1小題、作業P2第2小題

　　06、矩陣中未寫出的元素 課本P48下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為0

　　07、幾類特殊的方陣 詳見課本P30-32

　�。�1）上（下）三角矩陣：類似上（下）三角行列式 （2）對角矩陣：除了主對角線上的元素外，其他元素都為0 （3）數量矩陣：主對角線上的元素都相同 （4）零矩陣：所有元素都為0，記作O

　�。�5）單位矩陣：主對角線上的元素都為1，其他元素全為0，記作E或En （其行列式的.值為1）

　　08、矩陣的運算規則 （1）矩陣的加法（同型的矩陣才能相加減，同型，即矩陣A的行數與矩陣B的行數相同；

　　矩陣A的列數與矩陣B的列數也相同）： ①課本P32“A＋B”、“A－B” ②加法交換律：A＋B＝B＋A

　�、奂臃ńY合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C （2）矩陣的乘法（基本規則詳見課本P34陰影）：

　�、贁蹬c矩陣的乘法： I.課本P33“kA”

　　II.kA＝knA（因為kA只等于用數k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式） ②同階矩陣相乘（高中理科數學選修矩陣基礎）：

　　?a11a12??b11b12??a11b11?a12b21a11b12?a12b22???a21a22??×??b21b22??＝??a21b11?a22b21a21b12?a22b22?? ???????AB?描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計算得到的矩陣為??CD??，則

　　??

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　　A的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

　　即A＝a11×b11＋a12×b21

　　B的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第2列的每個元素，并將它們相加。

　　即B＝a11×b12＋a12×b22

　　C的值為：①中第2行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

　　即C＝a21×b11＋a22×b21

　　D的值為：①中第2行的每個元素分別乘以②中第2列的每個元素，并將它們相加。

　　即D＝a21×b12＋a22×b22.

　　?a11a12a13??b11b12b13??a11b11?a12b21?a13b31a11b12?a12b22?a13b32a11b13?a12b23?a13b33???????a21a22a23b21b22b23a21b11?a22b21?a23b31a21b12?a22b22?a23b32a21b13?a22b23?a23b33×＝?????? ?a31a32a33??b31b32b33??a31b11?a32b21?a33b31a31b12?a32b22?a33b32a31b13?a32b23?a33b33????????A?描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計算得到的矩陣為?D?G?BEHC??F?，則 I??A的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

　　即A＝a11×b11＋a12×b21＋a13×b31

　　B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法與A類似。

　�、蹟党私Y合律：k（lA）＝（kl）A ，（kA）B＝A（kB）＝k（AB） ④數乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA ，k（A＋B）＝kA＋kB ⑤乘法結合律：（AB）C＝A（BC）

　�、蕹朔ǚ峙渎桑篈（B＋C）＝AB＋AC ，（A＋B）C＝AC＋BC ⑦需注意的：

　　I.課本P34例題兩個不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣 II.課本P34例題數乘的消去律、交換律不成立

　　III.一般來講，（AB）k ≠ A k B k，因為矩陣乘法不滿足交換律

　　IV.課本P40習題第2題：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2 ，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2 . 當AB＝BA時，以上三個等式均成立 （3）矩陣的轉置運算規律：

　�、� (AT )T＝A ② (A±B)T＝A T±B T ③ (kA)T＝kAT ④ (AB)T＝B TAT

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