不定積分的方法總結(jié)
不定積分在高等數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，不管是在教師資格考試還是教師招聘考試中都有出題，另外不定積分的學(xué)習(xí)為以后學(xué)習(xí)定積分計(jì)算打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，所以對于這方面的內(nèi)容，下面是小編精心收集的不定積分的方法總結(jié)，希望能對你有所幫助。
不定積分的方法總結(jié)
教學(xué)過程：
在實(shí)際問題的解決過程中，我們不僅要用到求導(dǎo)數(shù)和微分，還要用到與求導(dǎo)數(shù)和微分相反的計(jì)算即積分運(yùn)算.也就是由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求原函數(shù),它是積分學(xué)的基本問題之一-----求不定積分.
一、原函數(shù)
�。保�1：已知物體運(yùn)動方程s s(t)，則其速度是物體位移s對時間t的導(dǎo)數(shù).反過來,已知物體的速度v是時間t的.函數(shù)v v(t),求物體的運(yùn)動方程s s(t),使它的導(dǎo)數(shù)s (t)等于v v(t),這就是求導(dǎo)函數(shù)的逆運(yùn)算問題.引例2:已知某產(chǎn)品的產(chǎn)量P是時間t的函數(shù)P P(t),則該產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是產(chǎn)量P對時間t的導(dǎo)數(shù)P (t).反之,若已知某產(chǎn)量的變化率是時間t的函數(shù)P (t),求該產(chǎn)品產(chǎn)量函數(shù)P(t),也是一個求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算的問題.
2.【定義5.1】（原函數(shù)）設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)．若存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，對 x I均有F (x) f(x)ordF(x) f(x)dx,則稱F(x)為f(x)在I上的一個原函數(shù).
例如：由(sinx) cosx知sinx是cosx的一個原函數(shù)；又(sinx 5) cosx,(sinx c) cosx（c是常數(shù)），所以sinx 5,sinx c也都是函數(shù)cosx的一個原函數(shù).
再如：由(2x3) 6x2知2x是6x的一個原函數(shù)；32
(2x3 c) 6x2，所以2x3 c（c是常數(shù)）也是6x2的一個原函數(shù)．
注意：沒有指明區(qū)間時，應(yīng)默認(rèn)為區(qū)間就是函數(shù)定義域．
二、不定積分
1．原函數(shù)性質(zhì)
觀察上述例子知：函數(shù)的原函數(shù)不唯一，且有性質(zhì)
(1)若f(x) C(I),則f(x)存在I上的原函數(shù)F(x).
(2)若F(x)為f(x)在I上的一個原函數(shù)，則F(x) C都是f(x)的原函數(shù),其中C為任意常數(shù).
(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則
F(x) G(x) C.
證明： F(x) G(x)
F (x) G (x) f(x) f(x) 0.
C R, s.t.F(x) G(x) C.
(4)設(shè)F(x)為f(x)在I上的原函數(shù),則f(x)在I上全體原函數(shù)為F(x) C（其中C為任意常數(shù)）.2.【定義5.2】函數(shù)f(x)在I上的全體原函數(shù)稱為f(x)在I上的不定積分,記作 C R,s.t. f(x)dx.
即若F(x)為f(x)在I上的一個原函數(shù),則有 f(x)dx F(x) C,C為任意常數(shù).
說明：(1) ---積分號；(2)f(x)---被積函數(shù)；
(3)f(x)dx----被積表達(dá)式.(4)x----積分變量.
3.結(jié)論：
�、龠B續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．
�、趂(x)若有原函數(shù),則有一簇原函數(shù).它們彼此只相差一個常數(shù).
提問：初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是否有原函數(shù)？例：edx,sinxdx， x2 2sinx xdx）
�。ㄒ欢ㄓ性瘮�(shù)，但原函數(shù)不一定還是初等函數(shù).）例1求（1）3xdx；（2）x5dx. 2
解（1）∵(x) 3x，∴32233xdx x C.
x6 x6
55（2） C. x, xdx 6 6
例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x
1 1 x2dx arctanx C.
1提問： dx arccotx C對嗎？1 x2
1例3求 dx.x
11解: (lnx) , dx lnx C.xx
例4:某商品邊際成本為100 2x,則總成本函數(shù)為C(x) (100 2x)dx 100x x2 C.
3．導(dǎo)數(shù)與不定積分的關(guān)系
f (x)dx f(x) C.
(1)* df(x) f(x) C.(1)
df(x)dx f(x). dx
(2)*d f(x)dx f(x)dx.(2)
可見：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.
提問:如何驗(yàn)證積分的結(jié)果是正確的?(積分的導(dǎo)數(shù)是被積函數(shù)時正確)
二、不定積分的幾何意義
如圖： f(x)dx F(x) C，
函數(shù)f(x)的不定積分表示
斜率為f(x)的原函數(shù)對應(yīng)的
一簇積分曲線.在同一點(diǎn)x0處
積分曲線簇的切線平行.
此曲線蔟可由F(x)沿y軸上下平行移動而得到．積分曲線：函數(shù)f(x)原函數(shù)y F(x)的圖形稱為f(x)
的積分曲線.
不定積分的幾何意義：f(x)的不定積分是一簇積分曲線F(x) C.且在同一點(diǎn)x0處積分曲線簇的切線互相平行.
例5設(shè)曲線通過點(diǎn)P(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線為y f(x),依題意知
x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,
2于是f(x) x C,
由f(1) 2 C 1,
所求曲線方程為y x 1.
提問：如何驗(yàn)證積分的結(jié)果是正確的？（結(jié)果求導(dǎo)必須是被積函數(shù)）
小結(jié)：
�。保瓼(x)為f(x)在I上的原函數(shù),則f(x)在I上全體原函數(shù)F(x) c為f(x)的不定積分，即2
f(x)dx F(x) c
�。玻⒁猱�(dāng)積分號消失時常數(shù)ｃ產(chǎn)生．
�。常煊浄e分公式，注意將被積函數(shù)恒等變形后用公式計(jì)算不定積分．
課后記：存在的問題不能正確理解幾何意義；計(jì)算錯誤較多，找不對原函數(shù)，寫掉積分常數(shù)C.
【提問】判斷下列結(jié)論是否正確
（不正確說明理由）
(1)3dx 3x C.(2)xdx
(3)
515x C6 C.
(4) 1
x2 1x C.(5) 1
x lnx C.
(6) 5xdx 5xln5 C.
(7) 2exdx ex C.
(8) 2sinxdx cosx C.(9) 1
1 x2dx arctanx c arccotx C.
(10) sec2xdx tanx C.
(11) csc2xdx cotx C.
(12) arcsinx C arccosx C.
(13) secxtanxdx secx C.
(12) cscxcotxdx cscx C.
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