數(shù)學知識點總結

數(shù)學知識點總結

　　總結是在一段時間內(nèi)對學習和工作生活等表現(xiàn)加以總結和概括的一種書面材料，它能夠給人努力工作的動力，不妨坐下來好好寫寫總結吧�？偨Y怎么寫才能發(fā)揮它的作用呢？以下是小編精心整理的數(shù)學知識點總結，歡迎大家分享。

數(shù)學知識點總結1

　　一、直線與圓：

　　1、直線的傾斜角 的范圍是

　　在平面直角坐標系中，對于一條與 軸相交的直線 ，如果把 軸繞著交點按逆時針方向轉到和直線 重合時所轉的最小正角記為， 就叫做直線的傾斜角。當直線 與 軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0;

　　2、斜率：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則斜率k=tanα.

　　過兩點(x1,y1),(x2,y2)的直線的斜率k=( y2-y1)/(x2-x1)，另外切線的斜率用求導的方法。

　　3、直線方程：⑴點斜式：直線過點 斜率為 ，則直線方程為 ,

　�、菩苯厥剑褐本�在 軸上的截距為 和斜率，則直線方程為

　　4、 ， ,① ∥ , ; ② .

　　直線 與直線 的位置關系：

　　(1)平行 A1/A2=B1/B2 注意檢驗(2)垂直 A1A2+B1B2=0

　　5、點 到直線 的距離公式 ;

　　兩條平行線 與 的距離是

　　6、圓的標準方程： .⑵圓的一般方程：

　　注意能將標準方程化為一般方程

　　7、過圓外一點作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與軸垂直的直線.

　　8、直線與圓的位置關系,通常轉化為圓心距與半徑的關系,或者利用垂徑定理,構造直角三角形解決弦長問題.① 相離 ② 相切 ③ 相交

　　9、解決直線與圓的關系問題時,要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質的作用(如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形) 直線與圓相交所得弦長

　　二、圓錐曲線方程：

　　1、橢圓： ①方程 (a>b>0)注意還有一個;②定義: PF1+PF2=2a>2c; ③ e= ④長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c; a2=b2+c2 ;

　　2、雙曲線：①方程 (a,b>0) 注意還有一個;②定義: PF1-PF2=2a<2c; ③e= ;④實軸長為2a，虛軸長為2b，焦距為2c;漸進線 或 c2=a2+b2

　　3、拋物線 ：①方程y2=2px注意還有三個，能區(qū)別開口方向; ②定義:PF=d焦點F( ,0),準線x=- ;③焦半徑 ; 焦點弦=x1+x2+p;

　　4、直線被圓錐曲線截得的弦長公式：

　　5、注意解析幾何與向量結合問題：1、 , . (1) ;(2) .

　　2、數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量abcosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即

　　3、模的計算：a= . 算�？梢韵人阆蛄康钠椒�

　　4、向量的運算過程中完全平方公式等照樣適用：

　　三、直線、平面、簡單幾何體：

　　1、學會三視圖的分析：

　　2、斜二測畫法應注意的地方：

　　(1)在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy。畫直觀圖時，把它畫成對應軸 o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°(或135° ); (2)平行于x軸的線段長不變，平行于y軸的線段長減半.(3)直觀圖中的45度原圖中就是90度，直觀圖中的90度原圖一定不是90度.

　　3、表(側)面積與體積公式：

　�、胖�體：①表面積：S=S側+2S底;②側面積：S側= ;③體積：V=S底h

　　⑵錐體：①表面積：S=S側+S底;②側面積：S側= ;③體積：V= S底h：

　�、桥_體①表面積：S=S側+S上底S下底②側面積：S側=

　�、惹蝮w：①表面積：S= ;②體積：V=

　　4、位置關系的證明(主要方法)：注意立體幾何證明的書寫

　　(1)直線與平面平行：①線線平行線面平行;②面面平行 線面平行。

　　(2)平面與平面平行：①線面平行面面平行。

　　(3)垂直問題：線線垂直 線面垂直 面面垂直。核心是線面垂直：垂直平面內(nèi)的兩條相交直線

　　5、求角：(步驟-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角)

　　⑴異面直線所成角的求法：平移法：平移直線，構造三角形;

　�、浦本�與平面所成的角：直線與射影所成的角

　　四、導數(shù)：

　　1、導數(shù)的定義： 在點 處的導數(shù)記作 .

　　2. 導數(shù)的幾何物理意義：曲線 在點 處切線的斜率

　�、賙=f/(x0)表示過曲線y=f(x)上P(x0,f(x0))切線斜率。V=s/(t) 表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。

　　3.常見函數(shù)的導數(shù)公式: ① ;② ;③ ;

　　4.導數(shù)的四則運算法則：

　　5.導數(shù)的應用：

　　(1)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設函數(shù) 在某個區(qū)間內(nèi)可導,如果 ,那么 為增函數(shù);如果 ,那么為減函數(shù);

　　注意：如果已知 為減函數(shù)求字母取值范圍,那么不等式 恒成立。

　　(2)求極值的步驟：

　�、偾髮�數(shù) ;

　　②求方程 的根;

　�、哿斜恚簷z驗 在方程 根的左右的符號，如果左正右負,那么函數(shù) 在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么函數(shù) 在這個根處取得極小值;

　　(3)求可導函數(shù)最大值與最小值的步驟：

　　?求 的根; ?把根與區(qū)間端點函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值。

　　五、常用邏輯用語：

　　1、四種命題：

　�、旁�命題：若p則q;⑵逆命題：若q則p;⑶否命題：若 p則 q;⑷逆否命題：若 q則 p

　　注：

　　1、原命題與逆否命題等價;逆命題與否命題等價。判斷命題真假時注意轉化。

　　2、注意命題的否定與否命題的區(qū)別：命題否定形式是 ;否命題是 .命題“ 或 ”的否定是“ 且 ”;“ 且 ”的否定是“ 或 ”.

　　3、邏輯聯(lián)結詞：

　�、徘�(and) ：命題形式 p q; p q p q p q p

　　⑵或(or)：命題形式 p q; 真 真 真 真 假

　�、欠�(not)：命題形式 p . 真 假 假 真 假

　　假 真 假 真 真

　　假 假 假 假 真

　　“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”;

　　“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”;

　　“非命題”的真假特點是“一真一假”

　　4、充要條件

　　由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件;由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。

　　5、全稱命題與特稱命題：

　　短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。

　　短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號 表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。

　　全稱命題p： ; 全稱命題p的否定 p：。

　　特稱命題p： ; 特稱命題p的否定 p：

數(shù)學知識點總結2

　�。�1）先看“充分條件和必要條件”

　　當命題“若p則q”為真時，可表示為p=>q，則我們稱p為q的充分條件，q是p的必要條件。這里由p=>q，得出p為q的充分條件是容易理解的。

　　但為什么說q是p的必要條件呢？

　　事實上，與“p=>q”等價的逆否命題是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，則p一定不成立。這就是說，q對于p是必不可少的，因而是必要的。

　�。�2）再看“充要條件”

　　若有p=>q，同時q=>p，則p既是q的充分條件，又是必要條件。簡稱為p是q的充要條件。記作p<=>q

　�。�3）定義與充要條件

　　數(shù)學中，只有A是B的充要條件時，才用A去定義B，因此每個定義中都包含一個充要條件。如“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這一定義就是說，一個四邊形為平行四邊形的充要條件是它的兩組對邊分別平行。

　　顯然，一個定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一個含有充要條件的語句來表示。

　　“充要條件”有時還可以改用“當且僅當”來表示，其中“當”表示“充分”�！皟H當”表示“必要”。

　�。�4）一般地，定義中的條件都是充要條件，判定定理中的條件都是充分條件，性質定理中的“結論”都可作為必要條件。

　　高考數(shù)學集合復習知識點

　　1、集合的概念

　　集合是數(shù)學中最原始的不定義的概念，只能給出，描述性說明：某些制定的且不同的對象集合在一起就稱為一個集合。組成集合的對象叫元素，集合通常用大寫字母A、B、C、…來表示。元素常用小寫字母a、b、c、…來表示。

　　集合是一個確定的整體，因此對集合也可以這樣描述：具有某種屬性的對象的全體組成的一個集合。

　　2、元素與集合的關系元素與集合的關系有屬于和不屬于兩種：元素a屬于集合A，記做a∈A；元素a不屬于集合A，記做a？A。

　　3、集合中元素的特性

　�。�1）確定性：設A是一個給定的集合，x是某一具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。例如A={0，1，3，4}，可知0∈A，6？A。

　　（2）互異性：“集合張的元素必須是互異的”，就是說“對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的”。

　�。�3）無序性：集合與其中元素的排列次序無關，如集合{a，b，c}與集合{c，b，a}是同一個集合。

　　4、集合的分類

　　集合科根據(jù)他含有的元素個數(shù)的多少分為兩類：

　　有限集：含有有限個元素的集合。如“方程3x+1=0”的解組成的集合”，由“2，4，6，8，組成的集合”，它們的元素個數(shù)是可數(shù)的，因此兩個集合是有限集。

　　無限集：含有無限個元素的集合，如“到平面上兩個定點的距離相等于所有點”“所有的三角形”，組成上述集合的元素不可數(shù)的，因此他們是無限集。

　　特別的，我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記錯F，如{x？R|+1=0}。

　　5、特定的集合的表示

　　為了書寫方便，我們規(guī)定常見的數(shù)集用特定的字母表示，下面是幾種常見的數(shù)集表示方法，請牢記。

　�。�1）全體非負整數(shù)的集合通常簡稱非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記做N。

　�。�2）非負整數(shù)集內(nèi)排出0的集合，也稱正整數(shù)集，記做N�；騈+。

　�。�3）全體整數(shù)的集合通常簡稱為整數(shù)集Z。

　�。�4）全體有理數(shù)的集合通常簡稱為有理數(shù)集，記做Q。

　�。�5）全體實數(shù)的集合通常簡稱為實數(shù)集，記做R。

　　不等式的解集：

　�、倌苁共坏仁匠闪⒌奈粗獢�(shù)的值，叫做不等式的解。

　�、谝粋�含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

　　③求不等式解集的過程叫做解不等式。

　　不等式的判定：

　　①常見的不等號有“>”“<”“≤”“≥”及“≠”。分別讀作“大于，小于，小于等于，大于等于，不等于”，其中“≤”又叫作不大于，“≥”叫作不小于；

　�、谠诓坏仁健癮>b”或“a

　�、鄄坏忍柕拈_口所對的數(shù)較大，不等號的尖頭所對的數(shù)較小；

　�、茉诹胁坏仁綍r，一定要注意不等式關系的關鍵字，如：正數(shù)、非負數(shù)、不大于、小于等等。

數(shù)學知識點總結3

　　一、集合有關概念

　　1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

　　2、集合的中元素的三個特性：1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性.

　　3、集合的表示：(1){?}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(2).用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}4

　�。�集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

　　5.關于“屬于”的概念

　　集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作a?A

　　列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

　　描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表

　　示某些對象是否屬于這個集合的方法。6、集合的分類：

　　(1)．有限集含有有限個元素的集合(2)．無限集含有無限個元素的集合

　　(3)．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝=Φ

　　二、集合間的基本關系

　　1.“包含”關系—子集注意：A?B有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集?B或B??A合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?

　　2．“相等”關系:對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

　�、偃魏我粋�集合是它本身的子集。即A?A

　　②如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或BA)

　　③如果A?B,B?C,那么A?C④如果A?B同時B?A那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算

　　1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．

　　記作A∩B(讀作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

　　2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作＂A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

　　3、交集與并集的性質：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,

　　A∪φ=A,A∪B=B∪A.

　　4、全集與補集（1）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即A?S），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作：CSA即CSA={x?x?S且x?A}

　�。�2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，看作一個全集。通常用U來表示。

　�。�3）性質：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U二、函數(shù)的有關概念

　　合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

　　能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

　　2.構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域

　　再注意：（1）由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)

　　3．區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．4．映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A?B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A?B”

　　給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　5.常用的函數(shù)表示法:解析法：圖象法：列表法：

　　6.分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；

　�。�2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．7．函數(shù)單調(diào)性（1）．設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1

　　如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1

　　注意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質；

　�。�2）圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

　　(A)定義法：○1任取x1，x2∈D，且x1

　　8．函數(shù)的奇偶性

　　（1）一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．

　�。�2）．一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．

　　注意：○1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質；函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

　　2由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，○

　　則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關于原點對稱）．（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

　　偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱．

　　總結：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；○2確定f(－x)與f(x)的關系；○3作出相應結論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．9、函數(shù)的解析表達式

　�。�1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

　�。�2）.求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構造時，可用待定系數(shù)法；已知復合函數(shù)f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當已知表達式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)。

　　補充不等式的解法與二次函數(shù)（方程）的性質

數(shù)學知識點總結4

　　把一個合數(shù)用質因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質因數(shù)。 例如把28分解質因數(shù) 28=2×2×7

　　幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因數(shù)，6是它們的最大公因數(shù)。 公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質數(shù)，成互質關系的兩個數(shù)，有下列幾種情況：

　　1和任何自然數(shù)互質。 相鄰的兩個自然數(shù)互質。 兩個不同的質數(shù)互質。

　　當合數(shù)不是質數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質數(shù)互質。 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質，如果幾個數(shù)中任意兩個都互質，就說這幾個數(shù)兩兩互質。

　　如果較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。

　　如果兩個數(shù)是互質數(shù)，它們的最大公因數(shù)就是1。 幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6 、8、10、12、 ??

　　3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18 ?? 其中6、12、18??是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。。

　　如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。

　　如果兩個數(shù)是互質數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

　　幾個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

數(shù)學知識點總結5

　　考點要求：

　　1、幾何體的展開圖、幾何體的三視圖仍是高考的'熱點。

　　2、三視圖和其他的知識點結合在一起命題是新教材中考查學生三視圖及幾何量計算的趨勢。

　　3、重點掌握以三視圖為命題背景，研究空間幾何體的結構特征的題型。

　　4、要熟悉一些典型的幾何體模型，如三棱柱、長（正）方體、三棱錐等幾何體的三視圖。

　　知識結構：

　　1、多面體的結構特征

　�。�1）棱柱有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊平行。

　　正棱柱：側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。反之，正棱柱的底面是正多邊形，側棱垂直于底面，側面是矩形。

　　（2）棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共頂點的三角形。

　　正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐。特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體。反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心。

　�。�3）棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形。

　　2、旋轉體的結構特征

　�。�1）圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉一周得到。

　�。�2）圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉一周得到。

　�。�3）圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線旋轉一周或等腰梯形繞上下底面中心所在直線旋轉半周得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到。

　�。�4）球可以由半圓面繞直徑旋轉一周或圓面繞直徑旋轉半周得到。

　　3、空間幾何體的三視圖

　　空間幾何體的三視圖是用平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖。

　　三視圖的長度特征：“長對正，寬相等，高平齊”，即正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬。若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法。

　　4、空間幾何體的直觀圖

　　空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是：

　　（1）畫幾何體的底面

　　在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸、y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′=45°或135°，已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行于x′軸、y′軸。已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话搿?/p>

　�。�2）畫幾何體的高

　　在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長度不變。

數(shù)學知識點總結6

　�。ㄒ唬�、映射、函數(shù)、反函數(shù)

　　1、對應、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應，而函數(shù)又是一種特殊的映射。

　　2、對于函數(shù)的概念，應注意如下幾點：

　�。�1）掌握構成函數(shù)的三要素，會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)。

　�。�2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關系式，特別是會求分段函數(shù)的解析式。

　　（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的復合函數(shù)，其中g（x）為內(nèi)函數(shù)，f（u）為外函數(shù)。

　　3、求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)的一般步驟：

　�。�1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域；

　　（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；

　�。�3）將x，y對換，得反函數(shù)的習慣表達式y(tǒng)=f—1（x），并注明定義域。

　　注意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起。

　�、谑煜さ膽�用，求f—1（x0）的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數(shù)的過程，從而簡化運算。

　�。ǘ�）、函數(shù)的解析式與定義域

　　1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域一般有三種類型：

　�。�1）有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮；

　　（2）已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：

　　①分式的分母不得為零；

　　②偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

　　③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；

　　④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；

　�、萑�角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數(shù)y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

　　應注意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。

　�。�3）已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。

　　已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域。

　　2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況。

　�。�1）根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關系時，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學的有關知識尋求函數(shù)的解析式。

　�。�2）有時題設給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法。比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設條件，列出方程組，求出a，b即可。

　�。�3）若題設給出復合函數(shù)f[g（x）]的表達式時，可用換元法求函數(shù)f（x）的表達式，這時必須求出g（x）的值域，這相當于求函數(shù)的定義域。

　　（4）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量（如f（—x），等），必須根據(jù)已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達式。

　�。ㄈ�）、函數(shù)的值域與最值

　　1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：

　�。�1）直接法：亦稱觀察法，對于結構較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數(shù)的值域。

　　（2）換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復雜函數(shù)轉化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數(shù)換元，當根式里是二次式時，用三角換元。

　�。�3）反函數(shù)法：利用函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f—1（x）的定義域和值域間的關系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如（a≠0）的函數(shù)值域可采用此法求得。

　　（4）配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法。

　�。�5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數(shù)的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。

　�。�6）判別式法：把y=f（x）變形為關于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。

　　（7）利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當能確定函數(shù)在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域。

　�。�8）數(shù)形結合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結合求函數(shù)的值域。

　　2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

　　求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲�。因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異。

　　如函數(shù)的值域是（0，16]，值是16，無最小值。再如函數(shù)的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數(shù)無值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2�？梢姸�義域對函數(shù)的值域或最值的影響。

　　3、函數(shù)的最值在實際問題中的應用

　　函數(shù)的最值的應用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤”或“面積（體積）（最�。�”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。

　�。ㄋ模�、函數(shù)的奇偶性

　　1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f（x），如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)（或偶函數(shù)）。

　　正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點：（1）定義域在數(shù)軸上關于原點對稱是函數(shù)f（x）為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定義域上的恒等式。（奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質）。

　　2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應用定義的等價形式：

　　注意如下結論的運用：

　�。�1）不論f（x）是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f（|x|）總是偶函數(shù)；

　�。�2）f（x）、g（x）分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1∩D2上，f（x）+g（x）是奇函數(shù)，f（x）·g（x）是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；

　�。�3）奇偶函數(shù)的復合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù)；

　　（4）奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。

　　3、有關奇偶性的幾個性質及結論

　�。�1）一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱。

　�。�2）如要函數(shù)的定義域關于原點對稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

　�。�3）若奇函數(shù)f（x）在x=0處有意義，則f（0）=0成立。

　　（4）若f（x）是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇（偶）函數(shù)在正負對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同（反）的。

　�。�5）若f（x）的定義域關于原點對稱，則F（x）=f（x）+f（—x）是偶函數(shù)，G（x）=f（x）—f（—x）是奇函數(shù)。

　�。�6）奇偶性的推廣

　　函數(shù)y=f（x）對定義域內(nèi)的任一x都有f（a+x）=f（a—x），則y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱，即y=f（a+x）為偶函數(shù)。函數(shù)y=f（x）對定義域內(nèi)的任—x都有f（a+x）=—f（a—x），則y=f（x）的圖象關于點（a，0）成中心對稱圖形，即y=f（a+x）為奇函數(shù)。

　　學好數(shù)學的方法

　　學好數(shù)學第一要養(yǎng)成預習的習慣。這是我多年學習數(shù)學的一個好方法，因為提前把老師要講的知識先學一遍，就知道自己哪里不會，學的時候就有重點。當然，如果完全自學就懂更好了。

　　第二是書后做練習題。預習完不是目的，有時間可以把例題和課后練習題做了，檢查預習情況，如果都會做說明學會了，即使不會還能再聽老師講一遍。

　　第三個步驟是做老師布置的作業(yè)，認真做。做的時候可以把解題過程直接寫在題目旁邊，比如選擇題和填空題，因為解答題有很多空白處可寫。這樣做的好處就是，老師講題時能跟上思路，不容易走神。

　　第四個學好數(shù)學的方法是整理錯題。每次考試結束后，總會有很多錯題，對于這些題目，我們不要以為上課聽懂了就會做了，看花容易繡花難，親手做過了才知道會不會。而且要把錯的題目對照書本去看，重新學習知識。

　　第五個提高數(shù)學成績的方法是查缺補漏。在做了大量習題以后，數(shù)學成績有所提高，但還是存在一些不會做的題目，我們要善于發(fā)現(xiàn)哪些類型的題目還存在盲區(qū)，然后逐一擊破。

　　下一個方法是提高數(shù)學分數(shù)段�？赡軘�(shù)學學了一段時間，成績老是上不去，這是要總結差在哪里？基礎題還是拔高題，然后對自己提出高要求，基礎題目爭取不丟分，然后做一些有難度的題目。

　　第七個數(shù)學提分方法是掌握一些數(shù)學解題思路。數(shù)學很多題目都是有固定的或者是多種解題思想的，大家要善于發(fā)現(xiàn)和總結，比如歸納法、分類討論法等等。

　　第八個學好數(shù)學的方法是“鉆”。當遇到難題百思不得其解時，學霸們的做法通常是思考一兩天，而學酥的做法則是一掃而過，其中的差別已經(jīng)很明顯了，這也是成績差異的原因所在。

　　要想提高數(shù)學分數(shù)，最明智的做法是，考試遇到不會的題目先放過去，做完其他題目再回過頭來重新做難題。但不能連著放過去好幾道題目，那就有問題了。

　　最后一個提分方法就是合理安排答題時間，規(guī)定做選擇題和大題各多長時間，然后按照既定時間去做，這樣才能最有效的提高數(shù)學分數(shù)。

　　數(shù)學集合知識點

　　1、集合的含義

　　2、集合的中元素的三個特性：

　�。�1）元素的確定性如：世界上最高的山

　�。�2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y}

　�。�3）元素的無序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個集合

　　3、集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

　�。�1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

　�。�2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　注意：常用數(shù)集及其記法：

　　非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

　　正整數(shù)集N_或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

　　1）列舉法：{a，b，c……}

　　2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大

　　括號內(nèi)表示集合的方法。{x∈R|x—3>2}，{x|x—3>2}

　　3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4）Venn圖：

　　4、集合的分類：

　�。�1）有限集含有有限個元素的集合

　　（2）無限集含有無限個元素的集合

　�。�3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝

數(shù)學知識點總結7

　　一、角的定義

　　“靜態(tài)”概念：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。

　　“動態(tài)”概念：角可以看作是一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。

　　如果一個角的兩邊成一條直線，那么這個角叫做平角;平角的一半叫直角;大于直角小于平角的角叫做鈍角;大于0小于直角的角叫做銳角。

　　二、角的換算：1周角=2平角=4直角=360°;

　　1平角=2直角=180°;

　　1直角=90°;

　　1度=60分=3600秒(即：1°=60′=3600″);

　　1分=60秒(即：1′=60″).

　　三、余角、補角的概念和性質：

　　概念：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角。

　　如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角。

　　說明：互補、互余是指兩個角的數(shù)量關系，沒有位置關系。

　　性質：同角(或等角)的余角相等;

　　同角(或等角)的補角相等。

　　四、角的比較方法：

　　角的大小比較，有兩種方法：

　　(1)度量法(利用量角器);

　　(2)疊合法(利用圓規(guī)和直尺)。

　　五、角平分線：從一個角的頂點引出的一條射線。把這個角分成相等的兩部分，這條射線叫做這個角的平分線。

　　常見考法

　　(1)考查與時鐘有關的問題;(2)角的計算與度量。

　　誤區(qū)提醒

　　角的度、分、秒單位的換算是60進制，而不是10進制，換算時易受10進制影響而出錯。

　　【典型例題】(20xx云南曲靖)從3時到6時，鐘表的時針旋轉角的度數(shù)是( )

　　【答案】3時到6時，時針旋轉的是一個周角的1/4，故是90度 ，本題選C.

數(shù)學知識點總結8

　　高考數(shù)學重要知識點整理

　　一、求動點的軌跡方程的基本步驟

　�、苯�立適當?shù)淖鴺讼担�設出動點M的坐標;

　�、矊懗鳇cM的集合;

　�、沉谐龇匠�=0;

　　⒋化簡方程為最簡形式;

　�、禉z驗。

　　二、求動點的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關點法、參數(shù)法和交軌法等。

　�、敝弊g法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

　�、捕�義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

　�、诚嚓P點法：用動點Q的坐標x，y表示相關點P的坐標x0、y0，然后代入點P的坐標(x0，y0)所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法。

　�、磪�數(shù)法：當動點坐標x、y之間的直接關系難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

　　⒌交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

　　6.直譯法：求動點軌跡方程的一般步驟

　�、俳ㄏ怠�—建立適當?shù)淖鴺讼?

　�、谠O點——設軌跡上的任一點P(x，y);

　�、哿惺健�—列出動點p所滿足的關系式;

　　④代換——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關于X，Y的方程式，并化簡;

　�、葑C明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。

　　人教版高三年級高考數(shù)學必考知識點

　　①正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正棱錐的斜高).

　�、谡�棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.

　　⑶特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：

　�、倮忮F的側棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.

　　②棱錐的側棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.

　�、劾忮F的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

　�、芾忮F的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

　�、萑�棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.

　　⑥三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.

　�、呙總�四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑;

　�、嗝總�四面體都有內(nèi)切球，球心

　　是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.

　　[注]：

　　i.各個側面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.(×)(各個側面的等腰三角形不知是否全等)

　　ii.若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直.

　　簡證：AB⊥CD，AC⊥BD

　　BC⊥AD.令得，已知則.

　　iii.空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結各邊的中點的四邊形一定是矩形.

　　iv.若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結各邊的中點的四邊是一定是正方形.

　　簡證：取AC中點，則平面90°易知EFGH為平行四邊形

　　EFGH為長方形.若對角線等，則為正方形.

　　高三數(shù)學高考復習知識點

　　數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏。有關數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學歸納法綜合在一起。

　　探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊含著豐富的數(shù)學思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學方法。

　　近幾年來，高考關于數(shù)列方面的命題主要有以下三個方面;

　　(1)數(shù)列本身的有關知識，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質、通項公式及求和公式。

　　(2)數(shù)列與其它知識的結合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結合。

　　(3)數(shù)列的應用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎題為主，解答題大都以基礎題和中檔題為主，只有個別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。

　　1.在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質、通項公式、前n項和公式的基礎上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學和實際生活中的有關問題;

　　2.在解決綜合題和探索性問題實踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的認識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡，提高分析問題和解決問題的能力，

　　進一步培養(yǎng)學生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學思想方法分析問題與解決問題的能力。

數(shù)學知識點總結9

　　集合的有關概念

　　1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素

　　注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

　�、诩�合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。

　�、奂�合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件

　　2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

　　3)集合的分類：有限集，無限集，空集。

　　4)常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N

　　子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念

　　1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB);

　　2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或，且)

　　3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

　　4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

　　5)補集：CUA={x|xA但x∈U}

　　注意：A，若A≠?，則?A;

　　若且，則A=B(等集)

　　集合與元素

　　掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區(qū)別;(2)與的區(qū)別;(3)與的區(qū)別。

　　子集的幾個等價關系

　�、貯∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

　�、蹵∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

　　交、并集運算的性質

　　①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;

　�、跜u(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

　　有限子集的個數(shù)：

　　設集合A的元素個數(shù)是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。

　　練習題：

　　已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，則M,N,P滿足關系()

　　A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

　　分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

　　解答一：對于集合M：{x|x=,m∈Z};對于集合N：{x|x=,n∈Z}

　　對于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以MN=P，故選B。

數(shù)學知識點總結10

　　正數(shù)和負數(shù)

　　⒈、正數(shù)和負數(shù)的概念

　　負數(shù)：比0小的數(shù)正數(shù)：比0大的數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)

　　注意：①字母a可以表示任意數(shù)，當a表示正數(shù)時，—a是負數(shù)；當a表示負數(shù)時，—a是正數(shù)；當a表示0時，—a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負號的數(shù)是負數(shù)，這種說法是錯誤的，例如+a，—a就不能做出簡單判斷）

　　②正數(shù)有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號是正號。

　　2、具有相反意義的量

　　若正數(shù)表示某種意義的量，則負數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：

　　零上8℃表示為：+8℃；零下8℃表示為：—8℃

　　3、0表示的意義

　�。�1）0表示“沒有”，如教室里有0個人，就是說教室里沒有人；

　�。�2）0是正數(shù)和負數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。如：

　　（3）0表示一個確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準，比如以海平面為基準，則0米就表示海平面。

　　有理數(shù)

　　1、有理數(shù)的概念

　�。�1）正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）

　　（2）正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)

　�。�3）正整數(shù)，0，負整數(shù)，正分數(shù)，負分數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。

　　理解：只有能化成分數(shù)的數(shù)才是有理數(shù)。①π是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)形式，不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分數(shù)，都是有理數(shù)。③整數(shù)也能化成分數(shù)，也是有理數(shù)

　　注意：引入負數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴大了，像—2，—4，—6，—8也是偶數(shù)，—1，—3，—5也是奇數(shù)。

數(shù)學知識點總結11

　　1、學會三視圖的分析：

　　2、斜二測畫法應注意的地方：

　�。�1）在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy。畫直觀圖時，把它畫成對應軸o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°（或135°）；（2）平行于x軸的線段長不變，平行于y軸的線段長減半。（3）直觀圖中的45度原圖中就是90度，直觀圖中的90度原圖一定不是90度。

　　3、表（側）面積與體積公式：

　�、胖�體：①表面積：S=S側+2S底；②側面積：S側=；③體積：V=S底h

　　⑵錐體：①表面積：S=S側+S底；②側面積：S側=；③體積：V=S底h：

　�、桥_體①表面積：S=S側+S上底S下底②側面積：S側=

　�、惹蝮w：①表面積：S=；②體積：V=

　　4、位置關系的證明（主要方法）：注意立體幾何證明的書寫

　�。�1）直線與平面平行：①線線平行線面平行；②面面平行線面平行。

　�。�2）平面與平面平行：①線面平行面面平行。

　　（3）垂直問題：線線垂直線面垂直面面垂直。核心是線面垂直：垂直平面內(nèi)的兩條相交直線

　　5、求角：（步驟———————Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）

　　⑴異面直線所成角的求法：平移法：平移直線，構造三角形；

　　⑵直線與平面所成的角：直線與射影所成的角

數(shù)學知識點總結12

　　知識點一橢圓的定義

　　平面內(nèi)到兩個定點的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的集合叫做橢圓。兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。

　　根據(jù)橢圓的定義可知：橢圓上的點M滿足集合，，且都為常數(shù)。

　　當即時，集合P為橢圓。

　　當即時，集合P為線段。

　　當即時，集合P為空集。

　　知識點二橢圓的標準方程

　　(1)，焦點在軸上時，焦點為，焦點。

　　(2)，焦點在軸上時，焦點為，焦點。

　　知識點三橢圓方程的一般式

　　這種形式的方程在課本中雖然沒有明確給出，但在應用中有時比較方便，在此提供出來，作為參考：

　　(其中為同號且不為零的常數(shù)，)，它包含焦點在軸或軸上兩種情形。方程可變形為。

　　當時，橢圓的焦點在軸上;當時，橢圓的焦點在軸上。

　　一般式，通常也設為，應特別注意均大于0，標準方程為。

　　知識點四橢圓標準方程的求法

　　1.定義法

　　橢圓標準方程可由定義直接求得，這是求橢圓方程中很重要的方法之一,當問題是以實際問題給出時，一定要注意使實際問題有意義，因此要恰當?shù)乇硎緳E圓的范圍。

　　例1、在△ABC中，A、B、C所對三邊分別為，且B(-1,0)C(1,0)，求滿足，且成等差數(shù)列時，頂點A的曲線方程。

　　變式練習1.在△ABC中，點B(-6,0)、C(0,8)，且成等差數(shù)列。

　　(1)求證：頂點A在一個橢圓上運動。

　　(2)指出這個橢圓的焦點坐標以及焦距。

　　2.待定系數(shù)法

　　首先確定標準方程的類型，并將其用有關參數(shù)表示出來，然后結合問題的條件，建立參數(shù)滿足的等式，求得的值，再代入所設方程，即一定性，二定量，最后寫方程。

　　例2、已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點P(3,0)，=3b，求橢圓的標準方程。

　　例3、已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，求橢圓方程。

　　變式練習2.求適合下列條件的橢圓的方程;

　　(1)兩個焦點分別是(-3,0)，(3,0)且經(jīng)過點(5,0).

　　(2)兩焦點在坐標軸上，兩焦點的中點為坐標原點，焦距為8，橢圓上一點到兩焦點的距離之和為12.

　　3.已知橢圓經(jīng)過點和點，求橢圓的標準方程。

　　4.求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點的橢圓標準方程。

　　知識點五共焦點的橢圓方程的求解

　　一般地，與橢圓共焦點的橢圓可設其方程為。

　　例4、過點(-3,2)且與有相同焦點的橢圓的方程為()

　　A.B.C.D.

　　變式練習5.求經(jīng)過點(2，-3)且橢圓有共同焦點的橢圓方程。

　　知識點六與橢圓有關的軌跡問題的求解方法

　　與橢圓有關的軌跡方程的求解是一種很重要的題型，教材中的例題就是利用代入求球軌。跡，其基本思路是設出軌跡上一點和已知曲線上一點，建立其關系，再代入。

　　例5、已知圓，從這個圓上任意一點向軸作垂線段,點在上，并且,求點的軌跡。

　　知識點七與弦的中點有關問題的求解方法

　　直線與橢圓相交于兩點、,稱線段為橢圓的相交弦。與這個弦中點有點的軌跡問題是一類綜合性很強的題目，因此解此類問題必須選擇一個合理的方法，如“設而不求”法，其主要特點是巧代線段的斜率。其方程具體是：設直線與橢圓相交于兩點，坐標分別為、，線段的中點為，則有

　�、偈�-②式，得，即

　　∴

　　通常將此方程用于求弦中點的軌跡方程。

　　例6.已知：橢圓，求：

　　(1)以P(2，-1)為中點的弦所在直線的方程;

　　(2)斜率為2的相交弦中點的軌跡方程;

　　(3)過Q(8,2)的直線被橢圓截得的弦中點的軌跡方程。

　　第二部分：鞏固練習

　　1.設為橢圓的焦點，P為橢圓上一點，則的周長是()

　　A.16B.8C.D.無法確定

　　2.橢圓的兩個焦點之間的距離為()

　　A.12B.4C.3D.2

　　3.橢圓的一個焦點是(0,2)，那么等于()

　　A.-1B.1C.D.-

　　4.已知橢圓的焦點是，P是橢圓上的一個動點，如果延長到,使得,那么動點的軌跡是()

　　A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線

　　5.已知橢圓的焦點在軸上，則的取值范圍是__________.

　　6.橢圓的焦點坐標是___________.

　　7.橢圓的焦距為2，則正數(shù)的值____________.

　　數(shù)學學習方法

　　1、建立數(shù)學糾錯本。做作業(yè)或復習時做錯了題，一旦搞明白，決不放過，建立一本錯誤登記本，以降低重復性錯誤，不怕第一次不會，不怕第一次出錯，就怕下一次還犯同樣的錯誤把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、

　　防錯。達到：平時作業(yè)、課外做題及考試中，對出錯的數(shù)學題建立錯題集很有必要。

　　2、記憶數(shù)學規(guī)律和數(shù)學小結論。

　　3、經(jīng)常進行一題多解，一題多變，從多側面、多角度思考問題，挖掘問題的實質。

　　4、經(jīng)常在做題后進行一定的“反思”，思考一下本題所用的基礎知識，數(shù)學思想方法是什么，為什么要這樣想，本題的分析方法與解法，在解其它問題時，是否也用到過。無論是作業(yè)還是測驗，都應把準確性放在第一位，通法放在第一位。

　　5、理解和弄懂所學的數(shù)學知識，知其然并知其所以然。學習不僅要理解和記住概念、定理、公式、法則等，而且還要想一想它們是如何得來的，與前面的知識是怎樣聯(lián)系著的，表達中省略了什么，關鍵在哪里，對知識是否有新的認識，有否想到其他的解法等等。這樣細加分析、考慮后，就會對內(nèi)容增添某些注解，補充一些新的解法或產(chǎn)生新的認識等。

　　6、把學過內(nèi)容貫串起來，加以融會貫通，提煉出它的精神實質，抓住重點、線索和基本思想方法，組織整理成精煉的內(nèi)容。這時由于知識出現(xiàn)高度概括，就更能促進知識的遷移，也更有利于進一步學習。

　　怎么樣才能打好數(shù)學基礎

　　第一，重視數(shù)學公式。有很多同學數(shù)學學不好就是因為對概念和公式不夠重視，具體的表現(xiàn)為對數(shù)學概念的理解只是停留在表明，不去挖掘引申的含義，對數(shù)學概念的特殊情況不明白。還有對數(shù)學概念和公式有的學生只是死記硬背，學生缺乏對概念的理解。

　　還有一部分同學不重視對數(shù)學公式的記憶。其實記憶是理解的基礎。我們設想如果你不能將數(shù)學公式爛熟于心，那么又怎么能夠在數(shù)學題目中熟練的應用呢?

　　第二，就是總結那些相似的數(shù)學題目。當我們養(yǎng)成了總結歸納的習慣，那么的學生就會知道自己在解決數(shù)學題目的時候哪些是自己比較擅長的，哪些是自己還不足的。

　　同時善于總結也會明白自己掌握哪些數(shù)學的解題方法，只有這樣你才能夠真正掌握了數(shù)學的解題技巧。其實，做到總結和歸納是學會數(shù)學的關鍵，如果學生不會做到這一點那么久而久之，不會的數(shù)學題目還是不會。

數(shù)學知識點總結13

　　乘法與因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)

　　a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

　　a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

　　三角不等式 |a+b||a|+|b|

　　|a-b||a|+|b|

　　|a|=ab

　　|a-b||a|-|b| -|a||a|

　　一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a

　　-b-(b2-4ac)/2a

　　根與系數(shù)的關系 X1+X2=-b/a

　　X1*X2=c/a 注：韋達定理

　　判別式

　　b2-4ac=0 注：方程有兩個相等的實根

　　b2-4ac0 注：方程有兩個不等的實根

　　b2-4ac0 注：方程沒有實根，有共軛復數(shù)根

　　某些數(shù)列前n項和

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n-1)=n2

　　2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82++n2=n(n+1)(2n+1)/6

　　13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4

　　1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

　　正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　注：其中 R 表示三角形的外接圓半徑

　　余弦定理 b2=a2+c2-2accosB

　　注：角B是邊a和邊c的夾角

數(shù)學知識點總結14

　　由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=?時也滿足B?A。解含有參數(shù)的集合問題時，要特別注意當參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時所給的集合可能是空集這種情況。

　　忽視集合元素的三性致誤

　　集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特別是帶有字母參數(shù)的集合，實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。

　　混淆命題的否定與否命題

　　命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個不同的概念，命題p的否定是否定命題所作的判斷，而“否命題”是對“若p，則q”形式的命題而言，既要否定條件也要否定結論。

　　充分條件、必要條件顛倒致誤

　　對于兩個條件A，B，如果A?B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件;如果B?A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件;如果A?B，則A，B互為充分必要條件。解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時一定要根據(jù)充分條件和必要條件的概念作出準確的判斷。

　　“或”“且”“非”理解不準致誤

　　命題p∨q真?p真或q真，命題p∨q假?p假且q假(概括為一真即真);命題p∧q真?p真且q真，命題p∧q假?p假或q假(概括為一假即假);綈p真?p假，綈p假?p真(概括為一真一假)。求參數(shù)取值范圍的題目，也可以把“或”“且”“非”與集合的“并”“交”“補”對應起來進行理解，通過集合的運算求解。

　　函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不準致誤

　　在研究函數(shù)問題時要時時刻刻想到“函數(shù)的圖像”，學會從函數(shù)圖像上去分析問題、尋找解決問題的方法。對于函數(shù)的幾個不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾個區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可。

　　判斷函數(shù)奇偶性忽略定義域致誤

　　判斷函數(shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個函數(shù)的定義域關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。

　　函數(shù)零點定理使用不當致誤

　　如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)的曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，但f(a)f(b)>0時，不能否定函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)有零點。函數(shù)的零點有“變號零點”和“不變號零點”，對于“不變號零點”函數(shù)的零點定理是“無能為力”的，在解決函數(shù)的零點問題時要注意這個問題。

　　三角函數(shù)的單調(diào)性判斷致誤

　　對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性，當ω>0時，由于內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞增的，所以該函數(shù)的單調(diào)性和y=sin x的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)y=sin x的單調(diào)區(qū)間解決;但當ω<0時，內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞減的，此時該函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)y=sinx的單調(diào)性相反，就不能再按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)性解決，一般是根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性將內(nèi)層函數(shù)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再加以解決。對于帶有絕對值的三角函數(shù)應該根據(jù)圖像，從直觀上進行判斷。

　　忽視零向量致誤

　　零向量是向量中最特殊的向量，規(guī)定零向量的長度為0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線。它在向量中的位置正如實數(shù)中0的位置一樣，但有了它容易引起一些混淆，稍微考慮不到就會出錯，考生應給予足夠的重視。

　　向量夾角范圍不清致誤

　　解題時要全面考慮問題。數(shù)學試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時把這些因素考慮到，是解題成功的關鍵，如當a·b<0時，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意θ=π的情況。

　　an與Sn關系不清致誤

　　在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項an與其前n項和Sn之間存在下列關系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2。這個關系對任意數(shù)列都是成立的，但要注意的是這個關系式是分段的，在n=1和n≥2時這個關系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經(jīng)常出錯的一個地方，在使用這個關系式時要牢牢記住其“分段”的特點。

　　對數(shù)列的定義、性質理解錯誤

　　等差數(shù)列的前n項和在公差不為零時是關于n的常數(shù)項為零的二次函數(shù);一般地，有結論“若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”;在等差數(shù)列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈Nx)是等差數(shù)列。

　　數(shù)列中的最值錯誤

　　數(shù)列問題中其通項公式、前n項和公式都是關于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀點認識和理解數(shù)列問題。數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系是高考的命題重點，解題時要注意把n=1和n≥2分開討論，再看能不能統(tǒng)一。在關于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸的遠近而定。

　　錯位相減求和項處理不當致誤

　　錯位相減求和法的適用條件：數(shù)列是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積所組成的，求其前n項和�；�本方法是設這個和式為Sn，在這個和式兩端同時乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，這兩個和式錯一位相減，就把問題轉化為以求一個等比數(shù)列的前n項和或前n-1項和為主的求和問題.這里最容易出現(xiàn)問題的就是錯位相減后對剩余項的處理。

　　不等式性質應用不當致誤

　　在使用不等式的基本性質進行推理論證時一定要準確，特別是不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)式、兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件，如果忽視了不等式性質成立的前提條件就會出現(xiàn)錯誤。

　　忽視基本不等式應用條件致誤

　　利用基本不等式a+b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時，務必注意a，b為正數(shù)(或a，b非負)，ab或a+b其中之一應是定值，特別要注意等號成立的條件。對形如y=ax+bx(a，b>0)的函數(shù)，在應用基本不等式求函數(shù)最值時，一定要注意ax，bx的'符號，必要時要進行分類討論，另外要注意自變量x的取值范圍，在此范圍內(nèi)等號能否取到。

數(shù)學知識點總結15

　　一、指數(shù)函數(shù)

　　(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算

　　1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_.

　　當是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù).此時，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(shù)(radicalexponent)，叫做被開方數(shù)(radicand).

　　當是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。

　　注意：當是奇數(shù)時，當是偶數(shù)時，

　　2.分數(shù)指數(shù)冪

　　正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

　　0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義

　　指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.

　　3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質

　　(二)指數(shù)函數(shù)及其性質

　　1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R.

　　注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1.

　　2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質

　　【第三章：第三章函數(shù)的應用】

　　1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

　　2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即：

　　方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.

　　3、函數(shù)零點的求法：

　　求函數(shù)的零點：

　　(1)(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;

　　(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點.

　　4、二次函數(shù)的零點：

　　二次函數(shù).

　　1)△>0，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點.　　2)△=0，方程有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

　　3)△<0，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點.

　　3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型

　　【課 型】新授課

　　【教學目標】

　　結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義, 理解它們的增長差異性.

　　【教學重點、難點】

　　1. 教學重點 將實際問題轉化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.

　　2.教學難點 選擇合適的數(shù)學模型分析解決實際問題.

　　【學法與教學用具】

　　1. 學法：學生通過閱讀教材，動手畫圖，自主學習、思考，并相互討論，進行探索.

　　2.教學用具：多媒體.

　　【教學過程】

　　(一)引入實例，創(chuàng)設情景.

　　教師引導學生閱讀例1，分析其中的數(shù)量關系，思考應當選擇怎樣的函數(shù)模型來描述;由學生自己根據(jù)數(shù)量關系，歸納概括出相應的函數(shù)模型，寫出每個方案的函數(shù)解析式，教師在數(shù)量關系的分析、函數(shù)模型的選擇上作指導.

　　(二)互動交流，探求新知.

　　1. 觀察數(shù)據(jù)，體會模型.

　　教師引導學生觀察例1表格中三種方案的數(shù)量變化情況，體會三種函數(shù)的增長差異，說出自己的發(fā)現(xiàn)，并進行交流.

　　2. 作出圖象，描述特點.

　　教師引導學生借助計算器作出三個方案的函數(shù)圖象，分析三種方案的不同變化趨勢，并進行描述，為方案選擇提供依據(jù).

　　(三)實例運用，鞏固提高.

　　1. 教師引導學生分析影響方案選擇的因素，使學生認識到要做出正確選擇除了考慮每天的收益，還要考慮一段時間內(nèi)的總收益.學生通過自主活動，分析整理數(shù)據(jù)，并根據(jù)其中的信息做出推理判斷，獲得累計收益并給出本例的完整解答，然后全班進行交流.

　　2. 教師引導學生分析例2中三種函數(shù)的不同增長情況對于獎勵模型的影響，使學生明確問題的實質就是比較三個函數(shù)的增長情況，進一步體會三種基本函數(shù)模型在實際中廣泛應用，體會它們的增長差異.

　　3.教師引導學生分析得出：要對每一個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元，以及獎勵比例是否超過25%進行分析，才能做出正確選擇，學會對數(shù)據(jù)的特點與作用進行分析、判斷。

　　4.教師引導學生利用解析式，結合圖象，對例2的三個模型的增長情況進行分析比較，寫出完整的解答過程.進一步認識三個函數(shù)模型的增長差異，并掌握解答的規(guī)范要求.

　　5.教師引導學生通過以上具體函數(shù)進行比較分析，探究冪函數(shù)(>0)、指數(shù)函數(shù)(>1)、對數(shù)函數(shù)(>1)在區(qū)間(0，+∞)上的增長差異，并從函數(shù)的性質上進行研究、論證，同學之間進行交流總結，形成結論性報告.教師對學生的結論進行評析，借助信息技術手段進行驗證演示.

　　6. 課堂練習

　　教材P98練習1、2，并由學生演示，進行講評。

　　(四)歸納總結，提升認識.

　　教師通過計算機作圖進行總結，使學生認識直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的含義及其差異，認識數(shù)學與現(xiàn)實生活、與其他學科的密切聯(lián)系，從而體會數(shù)學的實用價值和內(nèi)在變化規(guī)律.

　　(五)布置作業(yè)

　　教材P107練習第2題

　　收集一些社會生活中普遍使用的遞增的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例，對它們的增長速度進行比較，了解函數(shù)模型的廣泛應用，并思考。有時同一個實際問題可以建立多個函數(shù)模型，在具體應用函數(shù)模型時，應該怎樣選用合理的函數(shù)模型.

　　3.2.2 函數(shù)模型的應用實例(Ⅰ)

　　【課 型】新授課

　　【教學目標】

　　能夠找出簡單實際問題中的函數(shù)關系式，初步體會應用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實際問題.

　　【教學重點與難點】

　　1.教學重點：運用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決一些實際問題.

　　2. 教學難點：將實際問題轉變?yōu)閿?shù)學模型.

　　【學法與教學用具】

　　1. 學法：學生自主閱讀教材，采用嘗試、討論方式進行探究.

　　2. 教學用具：多媒體

　　【教學過程】

　　(一)創(chuàng)設情景，揭示課題

　　引例：大約在一千五百年前，大數(shù)學家孫子在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣的一道題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何?”這四句的意思就是：有若干只有幾只雞和兔?你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎?你有什么更好的方法?老師介紹孫子的大膽解法：他假設砍去每只雞和兔一半的腳，則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”.這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數(shù)量與它們頭的數(shù)量之差，就是兔子數(shù)，即：47-35=12;雞數(shù)就是：35-12=23.

　　比例激發(fā)學生學習興趣，增強其求知欲望.

　　可引導學生運用方程的思想解答“雞兔同籠”問題.

　　(二)結合實例，探求新知

　　例1. 某列火車眾北京西站開往石家莊，全程277km，火車出發(fā)10min開出13km后，以120km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關系式，并求火車離開北京2h內(nèi)行駛的路程.

　　探索：

　　1)本例所涉及的變量有哪些?它們的取值范圍怎樣;

　　2)所涉及的變量的關系如何?

　　3)寫出本例的解答過程.

　　老師提示：路程S和自變量t的取值范圍(即函數(shù)的定義域)，注意t的實際意義.

　　學生獨立思考，完成解答，并相互討論、交流、評析.

　　例2.某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價20元，茶杯每只定價5元，該商店制定了兩種優(yōu)惠辦法：

　　1)本例所涉及的變量之間的關系可用何種函數(shù)模型來描述?

　　2)本例涉及到幾個函數(shù)模型?

　　3)如何理解“更省錢?”;

　　4)寫出具體的解答過程.

　　在學生自主思考，相互討論完成本例題解答之后，老師小結：通過以上兩例，數(shù)學模型是用數(shù)學語言模擬現(xiàn)實的一種模型，它把實際問題中某些事物的主要特征和關系抽象出來，并用數(shù)學語言來表達，這一過程稱為建模，是解應用題的關鍵。數(shù)學模型可采用各種形式，如方程(組)，函數(shù)解析式，圖形與網(wǎng)絡等.

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