第一章 數(shù)和數(shù)的運算
考點1 數(shù)的認識
整數(shù)的知識結(jié)構圖
一.整數(shù)和自然數(shù)
數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的0，1，2，3，4叫做自然數(shù)。0是最小的自然數(shù)。一個物體也沒有用0表示。沒有最大的自然數(shù)。自然數(shù)的個數(shù)是無限的。1是自然數(shù)的單位。自然數(shù)是整數(shù)的一部分，在小學里，學習的整數(shù)都是自然數(shù)。
二.十進制計數(shù)法
一（個）、十、百、千、萬都叫計數(shù)單位。其中‘‘一’’是計數(shù)單位的基本單位。10個一是十，10個十是一百，，10個1百億是一千億，，相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是十。這種計數(shù)的方法叫做十進制計數(shù)法。
三.整數(shù)的讀法
讀數(shù)時，要從高位讀起，一級一級往下讀，屬于億級和萬級的要讀出級名，每級末尾的0都不讀，其他數(shù)位一個0或連續(xù)幾個0都只能讀一個0。
四.整數(shù)的寫法
寫數(shù)時，都是從高位起，一級一級往下寫，哪個數(shù)位上一個單位也沒有就在那一位上寫0。
五.整數(shù)的改寫
為了讀寫方便，常把一個比較大的多位數(shù)，寫成用‘‘萬’’或‘‘億’做單位的數(shù)；有時也可以根據(jù)需要省略這個數(shù)某一位后面的尾數(shù)，寫成近似數(shù)。省略一般根據(jù)‘‘四舍五入’’法。
六.整數(shù)大小的比較
比較整數(shù)的大小時，先看位數(shù)，位數(shù)多的數(shù)就大；位數(shù)相同，從高位看起，相同數(shù)位上的數(shù)大的那個數(shù)就大。
整數(shù)部分
小數(shù)部分
… 億級 萬級 個級
數(shù)位
… 千億位 百億位 十億位 億位 千萬位 百萬位 十萬位 萬位 千位 百位 十位 個位 十分位 百分位 千分位 …
計數(shù)單位
… 千億 百億 十億 億 千萬 百萬 十萬 萬 千 百 十 個 十分之一 百分之一 千分之一 …
小數(shù)的知識結(jié)構圖
一.小數(shù)的意義
把整數(shù)‘‘1’’平均分成10份.100份.1000份，這樣的一份或幾份分別是十分之幾.百分之幾.千分之幾，可以用小數(shù)表示。小數(shù)點右邊第一位叫十分位，計數(shù)單位是十分之一（0.1），第二位叫百分位，計數(shù)單位是百分之一（0.01）。小數(shù)部分的計數(shù)單位是十分之一，沒有最小的計數(shù)單位。
二.小數(shù)的讀法
讀小數(shù)時，小數(shù)的整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法來讀，小數(shù)點讀做‘‘點’’，小數(shù)部分順序讀出每個數(shù)位上的數(shù)字。
三.小數(shù)的寫法
寫小數(shù)時，小數(shù)的整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每個數(shù)位上的數(shù)字。
四.小數(shù)大小的比較
比較小數(shù)的大小先看它們的整數(shù)部分，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大；整數(shù)部分相同，十
分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大。。。。。。
五.純小數(shù).帶小數(shù).循環(huán)小數(shù)
整數(shù)部分是0的小數(shù)叫做純小數(shù)，純小數(shù)比1小。整數(shù)部分是0的自然數(shù)（0除外）的小數(shù)叫做帶小數(shù)，帶小數(shù)比1大。一個小數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，有一個或幾個數(shù)字依次不斷地重復出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。依次不斷重復出現(xiàn)的數(shù)字叫循環(huán)節(jié)。循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的叫做純循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的叫做混循環(huán)小數(shù)。
分數(shù)和百分數(shù)的認識
一.分數(shù)的意義
把單位‘‘1’’平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。表示其中一份的數(shù)就是分數(shù)單位。
二.分數(shù)和除法的關系
分數(shù)是一種數(shù)，除法是一種運算，它們是兩個不同的概念，但是它們之間又有著密切的聯(lián)系。
B分之A = A / B （B不等0 ） ）0 BB ( BB /b A
三. 分數(shù)的分類
四.分數(shù)大小的比較
分母相同的，分子大的分數(shù)較大。
分子相同的，分母小的分數(shù)較大。
分子.分母都不相同的，一般先通分再比較。
五.百分數(shù)的意義
表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù)。百分數(shù)又叫做百分率或百分比。
六.分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的互化
給寫成分母是10,100,1000，……的分數(shù)后再約分
用分子除以分母
去 小 先 寫
百 數(shù) 寫 成
分 點 成 分
號 向 小 數(shù)
小 右 數(shù) 形
數(shù) 移 再 式
點 動 寫 再
向 兩 成 約
左 位 百 分
移 上 分
動 百 數(shù)
兩 分
位 號
七.折扣.稅率與利率
成數(shù)：幾成就是十分之幾，農(nóng)業(yè)上常用的名詞。
折扣：幾折就是十分之幾，商業(yè)上常用的名詞。
稅率：應納稅額與各種收入（銷售額.營業(yè)額.應納稅所得額）的比率。
利率：利息占本金的百分率。（利率由銀行規(guī)定，有按年計算的，也有按月計算的）
利息的計算公式：利息=本金×利率×時間。
考點2 數(shù)的整數(shù)和分數(shù)、小數(shù)的基本性質(zhì)
一．數(shù)的整除
1.數(shù)的整除
（1）整除和除盡
整數(shù)a除以整數(shù)b（b不為0），除得商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說數(shù)a能被數(shù)b整除，或數(shù)b能整除數(shù)a。
數(shù)a除以數(shù)b（b不為0），除得的商是整數(shù)或是有限小數(shù)，這就叫做除盡。如果商是無限小數(shù)，就叫除不盡。
整除和除盡的關系可以用圖來表示：
整除是除盡的一種特殊形式，能整除的算式一定能除盡，但能除盡的算式不一定能整除。
（2）、約數(shù)和倍數(shù)
數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。
約數(shù) 一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。 約數(shù)和倍數(shù)都表示一個數(shù)和另一個數(shù)之間的關系，它們是互相依存的
倍數(shù) 一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。
“倍數(shù)”和“倍”的概念不同，“倍數(shù)”存在的前提是“整除”，“倍”則表示的是兩個數(shù)相除的商，可以是整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等。
（3）.某些整數(shù)的整除特征
能被2整除的數(shù)的特征：個位上的數(shù)字是0,2,4,6,8.
能被5整除的數(shù)的特征：個位上的數(shù)字是0或5.
能被3整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除.
能被9整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除.
能被4,25整除的數(shù)的特征：末兩位能被4或25整除.
能被8,125整除的數(shù)的特征：末三位能被8或125整除.
（4）.奇數(shù)和偶數(shù)
能被2整除的數(shù)是偶數(shù)。
不能被2整除的數(shù)是奇數(shù)。
奇數(shù)和偶數(shù)的運算性質(zhì)
偶數(shù)+（或減去）偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)+（或減去）奇數(shù)=偶數(shù)
偶數(shù)+（或減去）奇數(shù)=奇數(shù) 奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)
偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)
偶數(shù)的平方能被4整除，奇數(shù)的平方被4除余1.
（5）.質(zhì)數(shù)與合數(shù)
一個數(shù)只有一和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)就叫做質(zhì)數(shù)（也叫素數(shù)）。
一個數(shù)除了一和它本身，還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)就叫做合數(shù)。
1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。
（6）．質(zhì)因數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)
每個合數(shù)都可以寫成幾個指數(shù)相乘的形式，這幾個質(zhì)數(shù)就叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。
把一個合數(shù)用幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。
（7）.公約數(shù)和最大公約數(shù)
幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。
公約數(shù)只有1的兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。
求最大公約數(shù)的方法：
a． 用分解質(zhì)因數(shù)的方法，把公有的質(zhì)因數(shù)相乘。
b． 用短除法的形式求兩個數(shù)的最大公約數(shù)
c． 特殊情況如果兩個數(shù)互質(zhì)，它們的最大公約數(shù)是1。如果兩個數(shù)中較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。
（8）.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)
幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的一個叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
求最小公倍數(shù)的方法：
a． 用分解質(zhì)因數(shù)的方法，把這兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)相乘。
b． 用短除法的形式求。
c． 特殊情況下：如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。如果兩個數(shù)中較大的數(shù)是較小的數(shù)的倍數(shù)，那么較大的數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
2．分數(shù)和小數(shù)的基本性質(zhì)
（1）分數(shù)的基本性質(zhì)
分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。
應用分數(shù)的基本性質(zhì)可以通分、約分。
（2）小數(shù)的基本性質(zhì)
小數(shù)的末尾添上0或者去掉0，小數(shù)的大小不變。
小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小變化。
小數(shù)點向右移動一位，原來的數(shù)就擴大10倍；小數(shù)點向右移動兩位，原來的數(shù)就擴大100倍；小數(shù)點向右移動三位，原來的數(shù)就擴大1000倍…。
小數(shù)點向左移動一位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點向左移動兩位，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點向左移動三位，原來的數(shù)就縮小1000倍…。
考點3
一．四則運算的意義
1.加、減、乘、除四種運算統(tǒng)稱四則運算。
2.加法的意義：把兩個（或幾個）數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法
3.減法的意義：已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，叫做減法。減法中，已知的兩個加數(shù)的和叫做被減數(shù)，其中的一個加數(shù)叫做減數(shù)，求出另一個加數(shù)叫做差。
4.乘法的意義：一個數(shù)乘以另一個數(shù)，是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算，或是求這個數(shù)的幾倍是多少。
5.一個數(shù)乘一小數(shù)就是求這個數(shù)的幾分之幾、百分之幾….是多少。
6.一個數(shù)乘以分數(shù)就是求這個數(shù)的幾分之幾是多少。
7.除法的意義：已知兩個因數(shù)的積與其中的一個因數(shù)求另一個因數(shù)的運算叫做除法。在除法中，已知兩個因數(shù)的積叫做被除數(shù)，其中的一個因數(shù)叫做除數(shù)，求出來的另一個因數(shù)叫做商。
二．四則運算的法則
整數(shù) 小數(shù) 分數(shù)
加法 1. 相同的數(shù)位對齊
2. 從個位加起
3. 哪一個數(shù)位上的數(shù)相加滿幾十，就向前一位進幾
1. 相同的數(shù)位對齊（小數(shù)點對齊）
2. 再按整數(shù)加減法的法則計算
3. 得數(shù)里的小數(shù)點要和加數(shù)、被減數(shù)、減數(shù)的小數(shù)點對齊
1. 同分母分數(shù)相加減，分母不變，分子相加
2. 異分母分數(shù)相加減。先同分，然后計算
3. 結(jié)果能約分的要約分
減法 1. 同數(shù)位對齊
2. 從個位減起
3. 哪一數(shù)位上的數(shù)不夠減，就從前一位借幾當幾十
同單位相加減，單位不變，單位的個數(shù)相加減
整數(shù) 小數(shù) 分數(shù)
乘法 1. 從個位開始，先用乘數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘被除數(shù)
2. 用乘數(shù)上哪一位的數(shù)去乘，乘的得數(shù)的積的末位就和哪一位對齊
3. 再把幾次乘的得數(shù)加起來 1. 按照整數(shù)乘法法則先求出積
2. 看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊數(shù)幾位點上小數(shù)點 1. 分數(shù)乘以分數(shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母
2. 有整數(shù)的把整數(shù)看做分母是1的假分數(shù)
3. 有帶分數(shù)的，通常先把帶分數(shù)化成假分數(shù)
除法 除法是整數(shù)的除法：從被除數(shù)的高位起，除數(shù)是幾位數(shù)，就先看被除數(shù)的前幾位，如果不夠除，就要多看一位。除到哪一位就要把商寫在那一位的上面。商的小數(shù)點和被除數(shù)的小數(shù)點對齊 除數(shù)是小數(shù)的除法：先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)。除數(shù)的小數(shù)點向右移動幾位，被除數(shù)的小數(shù)點也向右移動相同的位數(shù)（位數(shù)不夠的補“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法進行計算 甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)
三．四則運算各部分的關系
1.加減法各部分之間的關系：
2.加數(shù)+加數(shù)=和 一加數(shù)=和-另一個加數(shù)
3.被減數(shù)-減數(shù)=差 減數(shù)=被減數(shù)-差
被減數(shù)=差+減數(shù)
4.因數(shù)×因數(shù)=積 一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)
5.被除數(shù)÷除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)÷商
被除數(shù)=除數(shù)×商
6.運用加減法、乘除法互為逆運算的關系，可以對加、減、乘、除進行驗算和求式子中的未知數(shù)。
四．有關1和0的運算
1. 一個數(shù)與0相加，還得這個數(shù)。
2. 一個數(shù)減去0，還得這個數(shù)。
3. 兩個相同的數(shù)相減，差是0。
4. 0同任何數(shù)相乘，積都是0.
5. 任何數(shù)同1相乘，還得這個數(shù)。
6. 0除以不等于0的數(shù)，商是0.
7. 一個數(shù)除以1，商還是這個數(shù)。
8. 1除以不等于0的數(shù)，商都是除數(shù)的倒數(shù)。
9. 被除數(shù)和除數(shù)相等（都不是0），商是一
10. 0不能做除數(shù)
五.運算定律和運算性質(zhì)
1. 運算定律
名稱 內(nèi)容 字母表示 用數(shù)舉例
加法交換律 兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變
a+b=b+a
25+14=14+25
加法結(jié)合律 三個數(shù)相加，先把前面兩個數(shù)相加，再同第三個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，再同第一個數(shù)相加，它們的和不變
a+b+c=a+(b+c)
20+14+36=20+(14+36)
乘法交換律 兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，它們的積不變
a×b=b×a
10×12=12×10
乘法結(jié)合律 三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再同第三個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，再同第一個數(shù)相乘，它們的積不變
a×b×c=a×(b×c)
12×25×4=12×(25×4)
乘法分配律 兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù)相乘，再把兩個積相加，結(jié)果不變
（a+b）×c=a×c+a×b
“(12+15) ×4=12×4+15×4
2.運算性質(zhì)
名稱 內(nèi)容 字母表示 用數(shù)舉例
減法的性質(zhì) 一個數(shù)連續(xù)減去幾個數(shù)等于一個數(shù)減去這幾個數(shù)的和 a-b-c=a-(b+c) 250-18-25=250-(18+52)
除法的性質(zhì) 一個數(shù)連續(xù)除去幾個數(shù)（0除外）等于一個數(shù)除以這幾個數(shù)的積 a÷b÷c=a÷(b×c) 1800÷4÷25=1800÷(4×25)
六.和、差、積、商的變化規(guī)律
1. 如果一個加數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，另一個加數(shù)不變，那么它們的和也增加或減少相同的數(shù)。
2. 如果一個加數(shù)增加一個數(shù)，另一個加數(shù)減少相同的數(shù)，那么它們的和不變。
3. 如果被減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，另一個減數(shù)不變，那么差也增加（或減少）同一個數(shù)。
4. 如果被減數(shù)不變，減數(shù)增加（或減少）同一個數(shù)，那么差反而減少（或增加）同一個數(shù)。
5. 如果被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個數(shù)，那么它們的差不變。
6. 如果一個因數(shù)擴大（或縮�。┤舾杀叮硪粋�因數(shù)不變，那么它們的積也擴大（或縮�。┫嗤谋稊�(shù)。
7. 如果一個因數(shù)擴大若干倍，同時另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，那么它們的積不變。
8. 如果被除數(shù)擴大（或縮�。┤舾杀�，除數(shù)不變，那么它們的商也擴大（或縮�。┫嗤谋稊�(shù)。
9. 如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴大（或縮�。┤舾杀�，那么它們的商反而縮小（或擴大）相同的倍數(shù)。
10. 如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大（或縮�。┤舾杀叮敲此鼈兊纳滩蛔�。
七.四則運算的順序
1. 四則運算分為二級。加減法叫做第一級運算，乘除法叫做第二級運算。
2. 運算的順序：在一個沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，要從左往右依次計算；如果含有兩級運算，要先算第二級運算，再算第一級運算。在有括號的算式里，要先算括號里的，再算括號外的。
3. 計算時，要認真審題，選擇合理的計算方法。
運算知識分類整理：
1． 運算種類：加法、減法、乘法、除法。
2． 運算形式：口算、筆算、估算、用計算器計算。
3． 運算法則：在一個沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，要從左往右依次計算；如果含有兩級運算，要先算第二級運算，再算第一級運算。在有括號的算式里，要先算括號里的，再算括號外的。
4． 運算定律：加法交換律和結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律和分配律。