霍奇猜想
霍奇猜想是代數(shù)幾何的一個(gè)重大的懸而未決的問題。由威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇提出，它是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓?fù)浜退啥x子簇的多項(xiàng)式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜想，屬于世界十大數(shù)學(xué)難題之一。
龐加萊猜想
龐加萊猜想是法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊提出的一個(gè)猜想，其中三維的情形被俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼于2003年左右證明。2006年，數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。后來，這個(gè)猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。提出這個(gè)猜想后，龐加萊一度認(rèn)為自己已經(jīng)證明了它。
黎曼假說概述
有些數(shù)具有特殊的屬性，它們不能被表示為兩個(gè)較小的數(shù)字的乘積，如2，3，5，7，等等。這樣的數(shù)稱為素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)），在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它們發(fā)揮了重要的作用。所有的自然數(shù)中的素?cái)?shù)的分布并不遵循任何規(guī)律。然而，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（1826年—1866年）觀察到，素?cái)?shù)的頻率與一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)密切相關(guān)。
楊米爾斯的存在性和質(zhì)量缺口
楊米爾斯的存在性和質(zhì)量缺口是世界十大數(shù)學(xué)難題之一，問題起源于物理學(xué)中的楊·米爾斯理論。該問題的正式表述是：證明對(duì)任何緊的、單的規(guī)范群，四維歐幾里得空間中的楊米爾斯方程組有一個(gè)預(yù)言存在質(zhì)量缺口的解。該問題的解決將闡明物理學(xué)家尚未完全理解的自然界的基本方面。
納維—斯托克斯方程
建立了流體的粒子動(dòng)量的改變率（加速度）和作用在液體內(nèi)部的壓力的變化和耗散粘滯力（類似于摩擦力）以及重力之間的關(guān)系。這些粘滯力產(chǎn)生于分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維—斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區(qū)域的力的動(dòng)態(tài)平衡，這在流體力學(xué)中有十分重要的意義。
四色猜想
四色猜想的內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色�！币簿褪钦f在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標(biāo)記就行。
用數(shù)學(xué)語言表示即“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1234這四個(gè)數(shù)字之一來標(biāo)記而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字�！边@里所指的相鄰區(qū)域是指有一整段邊界是公共的。如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆。
哥德巴赫猜想
1742年6月7日，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫在寫給著名數(shù)學(xué)家歐拉的一封信中，提出了兩個(gè)大膽的猜想：
1、任何不小于6的偶數(shù)，都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和；
2、任何不小于9的奇數(shù)，都是三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。
這就是數(shù)學(xué)史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個(gè)猜想是第一個(gè)猜想的推論。因此，只需在兩個(gè)猜想中證明一個(gè)就足夠了。
同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中， 明確表示他深信哥德巴赫的這兩個(gè)猜想都是正確的定理，但是歐拉當(dāng)時(shí)還無法給出證明。由于歐拉是當(dāng)時(shí)歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家，他對(duì)哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個(gè)歐洲乃至世界數(shù)學(xué)界。從那以后，許多數(shù)學(xué)家都躍躍欲試，甚至一生都致力于證明哥德巴赫猜想�？墒侵钡�19世紀(jì)末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進(jìn)展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了人們的想象。有的數(shù)學(xué)家把哥德巴赫猜想比喻為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”。
我們從6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83等這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一驗(yàn)證了3300萬以內(nèi)的所有偶數(shù)，竟然沒有一個(gè)不符合哥德巴赫猜想的。20世紀(jì)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)哥德巴赫猜想對(duì)于更大的數(shù)依然成立。可是自然數(shù)是無限的，誰知道會(huì)不會(huì)在某一個(gè)足夠大的偶數(shù)上，突然出現(xiàn)哥德巴赫猜想的.反例呢？于是人們逐步改變了探究問題的方式。
幾何尺規(guī)作圖問題
尺規(guī)作圖相傳神話中的一個(gè)國(guó)王對(duì)兒子給他造的墳?zāi)共粷M意，命令把墳?zāi)箶U(kuò)大一倍，但是當(dāng)時(shí)的工匠都不知如何解決。后來，德利安人為了擺脫某種瘟疫，遵照神諭，必須把阿波洛的立方體祭壇擴(kuò)大一倍。據(jù)說，這個(gè)問題提到柏拉圖那里，柏拉圖又把它交給了幾何學(xué)家．這就是著名的倍立方問題。除倍立方問題外，還有三等分任意角、化圓為方（作一正方形，使其面積等于給定的圓面積）。 古希臘人用尺規(guī)作圖，主要目的在于訓(xùn)練智力，培養(yǎng)邏輯思維能力，所以對(duì)作圖的工具有嚴(yán)格的限制。他們規(guī)定作圖只能用直尺和圓規(guī)，而他們所謂的直尺是沒有刻度的。正是在這種嚴(yán)格的限制下，產(chǎn)生了種種難題。
在數(shù)學(xué)史中，很難找到像這樣長(zhǎng)期被人關(guān)注的問題．兩千多年以來，無數(shù)人的聰明才智傾注于這三個(gè)問題而毫無結(jié)果。但對(duì)這三個(gè)問題的深入探索，促進(jìn)了希臘幾何學(xué)的發(fā)展，引出了大量的發(fā)現(xiàn)，如圓錐曲線、許多二次和三次曲線以及幾種超越曲線的發(fā)現(xiàn)等；后來又有關(guān)于有理域、代數(shù)數(shù)、超越數(shù)、群論和方程論若干部分的發(fā)展。直到19世紀(jì)，即距第一次提出這三個(gè)問題兩千年之后，這三個(gè)尺規(guī)作圖問題才被證實(shí)在所給的條件下是不可能解決的。