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函數知識點
在學習中，大家都背過不少知識點，肯定對知識點非常熟悉吧！知識點也不一定都是文字，數學的知識點除了定義，同樣重要的公式也可以理解為知識點。哪些才是我們真正需要的知識點呢？以下是小編收集整理的函數知識點，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
函數知識點1
一次函數的解析式
�、冱c斜式：y-y1=k(x-x1)(k為直線斜率，(x1，y1)為該直線所過的一個點);
②兩點式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(已知直線上(x1,y1)與(x2,y2)兩點)，
�、劢鼐嗍剑簒/a+y/b=1 (a、b分別為直線在x、y軸上的截距)。
解析式表達的局限性：
�、偎钘l件較多(2個點，因為使用待定系數法需要列一個二元一次方程組);
�、鄄荒鼙磉_沒有斜率的直線(即垂直于x軸的直線;注意沒有斜率的直線平行于y軸表述不準，因為x=0與y軸重合);
�、懿荒鼙磉_平行于坐標軸的直線和過原點的直線。
x軸的正半軸逆時針旋轉到直線所成的角(直線與x軸正方向所成的'角)稱為直線的傾斜角。設一直線的傾斜角為，則該直線的斜率k=tan。傾斜角的范圍為(0, )。
只要這樣踏踏實實完成每天的計劃和小目標，就可以自如地應對新學習，達到長遠目標。
函數知識點2
特殊角的三角函數
角度a 0 30 45 60 90 120 180
1.sina 0 1/2 2/2 3/2 1 3/2 0
2.cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 -1/2 -1
3.tana 0 3/3 1 3 無限大 -3 0
4.cota / 3 1 3/3 0 -3/3 /
函數名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設旋轉角為，設OP=r，P點的坐標為(x，y)有
正弦函數 sin=y/r
余弦函數 cos=x/r
正切函數 tan=y/x
余切函數 cot=x/y
正割函數 sec=r/x
余割函數 csc=r/y
正弦(sin):角的對邊比上斜邊
余弦(cos):角的'鄰邊比上斜邊
正切(tan):角的對邊比上鄰邊
余切(cot):角的鄰邊比上對邊
正割(sec):角的斜邊比上鄰邊
余割(csc):角的斜邊比上對邊
函數知識點3
1. 函數的奇偶性
(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x) ;
(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用于求參數);
(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;
(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;
2. 復合函數的有關問題
(1)復合函數定義域求法：若已知 的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優先的`原則。
(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;
3.函數圖像(或方程曲線的對稱性)
(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;
(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;
(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x= 對稱;
4.函數的周期性
(1)y=f(x)對x∈R時，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;
(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;
(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;
(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2 的周期函數;
(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2 的周期函數;
(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數;
5.
方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域);
6.
a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
7.
(1) (a0,a≠1,b0,n∈R+);
(2) l og a N= ( a0,a≠1,b0,b≠1);
(3) l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶;
(4) a log a N= N ( a0,a≠1,N
8. 判斷對應是否為映射時，抓住兩點：
(1)A中元素必須都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9. 能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。
10.對于反函數，應掌握以下一些結論：
(1)定義域上的單調函數必有反函數;
(2)奇函數的反函數也是奇函數;
(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;
(4)周期函數不存在反函數;
(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;
(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.處理二次函數的問題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系;
12. 依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題
13. 恒成立問題的處理方法：(1)分離參數法;(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;
函數知識點4
一.定義
1.全等形：形狀大小相同，能完全重合的兩個圖形.
2.全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形.
二.重點
1.平移，翻折，旋轉前后的圖形全等.
2.全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等.
3.全等三角形的判定：
SSS三邊對應相等的兩個三角形全等[邊邊邊]
SAS兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等[邊角邊]
ASA兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等[角邊角]
AAS兩個角和其中一個角的對邊開業相等的兩個三角形全等[邊角邊]
HL斜邊和一條直角邊對應相等的兩個三角形全等[斜邊，直角邊]
4.角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的.距離相等.
5.角平分線的判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
函數知識點5
I、定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大、)
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II、二次函數的'三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III、二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
IV、拋物線的性質
1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2、拋物線有一個頂點P，坐標為
P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3、二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4、一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5、常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6、拋物線與x軸交點個數
Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)
函數知識點6
一、指數函數
(一)指數與指數冪的運算
1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且*.
當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.此時，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(radicalexponent)，叫做被開方數(radicand).
當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成(0).由此可得：負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。
注意：當是奇數時，，當是偶數時，
2.分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義
指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.
3.實數指數冪的運算性質
(二)指數函數及其性質
1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential)，其中x是自變量，函數的定義域為R.
注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.
2、指數函數的圖象和性質
a1
圖象特征
函數性質
向x、y軸正負方向無限延伸
函數的定義域為R
圖象關于原點和y軸不對稱
非奇非偶函數
函數圖象都在x軸上方
函數的值域為R+
函數圖象都過定點(0，1)
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數
減函數
在第一象限內的圖象縱坐標都大于1
在第一象限內的圖象縱坐標都小于1
在第二象限內的圖象縱坐標都小于1
在第二象限內的圖象縱坐標都大于1
圖象上升趨勢是越來越陡
圖象上升趨勢是越來越緩
函數值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快;
函數值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢;
注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
(1)在[a，b]上，值域是或;
(2)若，則;取遍所有正數當且僅當;
(3)對于指數函數，總有;
(4)當時，若，則;
二、對數函數
(一)對數
1.對數的概念：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作：(底數，真數，對數式)
說明：1注意底數的限制，且;
2;
3注意對數的書寫格式.
兩個重要對數：
1常用對數：以10為底的對數;
2自然對數：以無理數為底的對數的`對數.
對數式與指數式的互化
對數式指數式
對數底數冪底數
對數指數
真數冪
(二)對數函數
1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是(0，+).
注意：1對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。
如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數.
2對數函數對底數的限制：，且.
2、對數函數的性質：
a1
圖象特征
函數性質
函數圖象都在y軸右側
函數的定義域為(0，+)
圖象關于原點和y軸不對稱
非奇非偶函數
向y軸正負方向無限延伸
函數的值域為R
函數圖象都過定點(1，0)
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數
減函數
第一象限的圖象縱坐標都大于0
第一象限的圖象縱坐標都大于0
第二象限的圖象縱坐標都小于0
第二象限的圖象縱坐標都小于0
(三)冪函數
1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為常數.
2、冪函數性質歸納.
(1)所有的冪函數在(0，+)都有定義，并且圖象都過點(1，1);
(2)時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數.特別地，當時，冪函數的圖象下凸;當時，冪函數的圖象上凸;
(3)時，冪函數的圖象在區間上是減函數.在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.
函數知識點7
高一數學函數知識點歸納
1、函數：設A、B為非空集合，如果按照某個特定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函數的值域。
2、函數定義域的解題思路：
�、湃魓處于分母位置，則分母x不能為0。
�、婆即畏礁谋婚_方數不小于0。
�、菍凳降恼鏀当仨毚笥�0。
⑷指數對數式的底，不得為1，且必須大于0。
�、芍笖禐�0時，底數不得為0。
�、嗜绻瘮凳怯梢恍┗竞瘮低ㄟ^四則運算結合而成的，那么，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。
�、藢嶋H問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義。
3、相同函數
�、疟磉_式相同：與表示自變量和函數值的字母無關。
�、贫x域一致，對應法則一致。
4、函數值域的求法
⑴觀察法：適用于初等函數及一些簡單的由初等函數通過四則運算得到的函數。
⑵圖像法：適用于易于畫出函數圖像的函數已經分段函數。
�、桥浞椒ǎ褐饕糜诙魏瘮担浞匠蓎=(x-a)2+b的形式。
⑷代換法：主要用于由已知值域的函數推測未知函數的值域。
5、函數圖像的變換
�、牌揭谱儞Q：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。
�、粕炜s變換：在x前加上系數。
⑶對稱變換：高中階段不作要求。
6、映射：設A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的映射。
�、偶螦中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的`。
�、萍螦中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個。
⑶不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
7、分段函數
�、旁诙x域的不同部分上有不同的解析式表達式。
�、聘鞑糠肿宰兞亢秃瘮抵档娜≈捣秶煌�。
�、欠侄魏瘮档亩x域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。
8、復合函數：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),則，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，稱為f、g的復合函數。
高一數學函數的性質
1、函數的局部性質——單調性
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對應定義域I內的某個區間D內的任意兩個變量x1、x2，當x1< x2時，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在區間D上是減函數，D是函數y=f(x)的單調遞減區間。
�、藕瘮祬^間單調性的判斷思路
�、≡诮o出區間內任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1< x2。
�、⒆霾钪礷(x1)-f(x2)，并進行變形和配方，變為易于判斷正負的形式。
ⅲ判斷變形后的表達式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調性。
�、茝秃虾瘮档膯握{性
復合函數y=f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律為“同增異減”;多個函數的復合函數，根據原則“減偶則增，減奇則減”。
�、亲⒁馐马�
函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成并集，如果函數在區間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調遞增區間為A和B，不能表示為A∪B。
2、函數的整體性質——奇偶性
對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x) =f(-x)，則f(x)就為偶函數;
對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x) =-f(x)，則f(x)就為奇函數。
�、牌婧瘮岛团己瘮档男再|
ⅰ無論函數是奇函數還是偶函數，只要函數具有奇偶性，該函數的定義域一定關于原點對稱。
ⅱ奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱。
�、坪瘮灯媾夹耘袛嗨悸�
�、∠却_定函數的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則為非奇非偶函數。
ⅱ確定f(x)和f(-x)的關系：
若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，則函數為偶函數;
若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，則函數為奇函數。
3、函數的最值問題
�、艑τ诙魏瘮�，利用配方法，將函數化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數的最大值或最小值。
�、茖τ谝子诋嫵龊瘮祱D像的函數，畫出圖像，從圖像中觀察最值。
�、顷P于二次函數在閉區間的最值問題
�、∨袛喽魏瘮档捻旤c是否在所求區間內，若在區間內，則接ⅱ，若不在區間內，則接ⅲ。
�、⑷舳魏瘮档捻旤c在所求區間內，則在二次函數y=ax2+bx+c中，a>0時，頂點為最小值，a<0時頂點為最大值;后判斷區間的兩端點距離頂點的遠近，離頂點遠的端點的函數值，即為a>0時的最大值或a<0時的最小值。
�、Ｈ舳魏瘮档捻旤c不在所求區間內，則判斷函數在該區間的單調性
若函數在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b);
若函數在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。
高中
函數知識點8
二次函數是初中數學中最精彩的內容之一，也是歷年中考的熱點和難點。其中，關于函數解析式的確定是非常重要的題型。隨著中考面臨新課程改革，教材的內容和學習要求變化較大，其中一個突出的變化就是強化了對圖形變換的要求，那么二次函數和圖形變化的結合，將是同學們在學習中不可忽視的內容。
圖形變換包含平移、軸對稱、旋轉、位似四種變換，那么二次函數的圖像在其圖形變化(平移、軸對稱、旋轉)的過程中，如何完成解析式的確定呢？解決此類問題的方法很多，關鍵在于解決問題的著眼點。筆者認為最好的方法是用頂點式的方法。因此解題時，先將二次函數解析式化為頂點式，確定其頂點坐標，再根據具體圖形變換的特點，確定變化后新的頂點坐標及a值。
1、平移：二次函數圖像經過平移變換不會改變圖形的形狀和開口方向，因此a值不變。頂點位置將會隨著整個圖像的平移而變化，因此只要按照點的移動規律，求出新的頂點坐標即可確定其解析式。
例1.將二次函數y=x2-2x-3的圖像向上平移2個單位，再向右平移1個單位，得到的新的圖像解析式為_____
分析：將y=x2-2x-3化為頂點式y=(x-1)2-4，a值為1，頂點坐標為(1，-4)，將其圖像向上平移2個單位，再向右平移1個單位，那么頂點也會相應移動，其坐標為(2，-2),由于平移不改變二次函數的圖像的形狀和開口方向，因此a值不變，故平移后的解析式為y=(x-2)2-2。
2、軸對稱：此圖形變換包括x軸對稱和關于y軸對稱兩種方式。
二次函數圖像關于x軸對稱的圖像，其形狀不變，但開口方向相反，因此a值為原來的相反數。頂點位置改變，只要根據關于x軸對稱的點的.坐標特征求出新的頂點坐標，即可確定其解析式。
二次函數圖像關于y軸對稱的圖像，其形狀和開口方向都不變，因此a值不變。但是頂點位置會改變，只要根據關于y軸對稱的點的坐標特征求出新的頂點坐標，即可確定其解析式。
例2.求拋物線y=x2-2x-3關于x軸以及y軸對稱的拋物線的解析式。
分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值為1，其頂點坐標為(1，-4)，若關于x軸對稱，a值為-1，新的頂點坐標為(1，4)，故解析式為y=-(x-1)2+4；若關于y軸對稱，a值仍為1，新的頂點坐標為(-1，-4)，因此解析式為y=(x+1)2-4。
3、旋轉：主要是指以二次函數圖像的頂點為旋轉中心，旋轉角為180°的圖像變換，此類旋轉，不會改變二次函數的圖像形狀，開口方向相反，因此a值會為原來的相反數，但頂點坐標不變，故很容易求其解析式。
例3.將拋物線y=x2-2x+3繞其頂點旋轉180°，則所得的拋物線的函數解析式為________
分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a值為1，頂點坐標為(1，2)，拋物線繞其頂點旋轉180°后，a值為-1，頂點坐標不變，故解析式為y=-(x-1)2+2。
函數知識點9
一、變量與函數
[變量和常量]
在一個變化過程中，數值發生變化的量，我們稱之為變量，而數值始終保持不變的量，我們稱之為常量。
[函數]
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量 與 ，并且對于 的每一個確定的值， 都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說 是自變量， 是 的函數。如果當 時 ，那么 叫做當自變量的值為 時的函數值。
[自變量取值范圍的確定方法]
1、 自變量的取值范圍必須使解析式有意義。
當解析式為整式時，自變量的取值范圍是全體實數;當解析式為分數形式時，自變量的取值范圍是使分母不為0的所有實數;當解析式中含有二次根式時，自變量的取值范圍是使被開方數大于等于0的所有實數。
2、自變量的取值范圍必須使實際問題有意義。
[函數的圖像]
一般來說，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.
[描點法畫函數圖形的一般步驟]
第一步：列表(表中給出一些自變量的值及其對應的函數值);
第二步：描點(在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點);
第三步：連線(按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來)。
[函數的表示方法]
列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數之間的對應規律。
解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間的相依關系，但有些實際問題中的函數關系，不能用解析式表示。
圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數關系。
[正比例函數]
一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數，叫做正比例函數(proportional function)，其中k叫做比例系數.
[正比例函數圖象和性質]
一般地，正比例函數y=kx(k是常數，k≠0)的圖象是一條經過原點和(1，k)的直線.我們稱它為直線y=kx.當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大;當k<0時，直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小.
(1) 解析式：y=kx(k是常數，k≠0)
(2) 必過點：(0，0)、(1，k)
(3) 走向：k>0時，圖像經過一、三象限;k<0時，圖像經過二、四象限
(4) 增減性：k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小
(5) 傾斜度：|k|越大，越接近y軸;|k|越小，越接近x軸
[正比例函數解析式的確定]——待定系數法
1. 設出含有待定系數的函數解析式y=kx(k≠0)
2. 把已知條件(一個點的坐標)代入解析式，得到關于k的一元一次方程
3. 解方程，求出系數k
4. 將k的值代回解析式
二、一次函數
[一次函數]
一般地，形如y=kx+b(k、b是常數，k 0)函數，叫做一次函數. 當b=0時，y=kx+b即y=kx，所以正比例函數是一種特殊的一次函數.
[一次函數的圖象及性質]
一次函數y=kx+b的圖象是經過(0，b)和(- ，0)兩點的`一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.(當b>0時，向上平移;當b<0時，向下平移)
(1)解析式：y=kx+b(k、b是常數，k 0)
(2)必過點：(0，b)和(- ，0)
(3)走向： k>0，圖象經過第一、三象限;k<0，圖象經過第二、四象限
b>0，圖象經過第一、二象限;b<0，圖象經過第三、四象限
直線經過第一、二、三象限
直線經過第一、三、四象限
直線經過第一、二、四象限
直線經過第二、三、四象限
(4)增減性： k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小.
(5)傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸;|k|越小，圖象越接近于x軸.
(6)圖像的平移： 當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位;
當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.
[直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關系]
(1)兩直線平行：k1=k2且b1 b2
(2)兩直線相交：k1 k2
(3)兩直線重合：k1=k2且b1=b2
[確定一次函數解析式的方法]
(1)根據已知條件寫出含有待定系數的函數解析式;
(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數解析式中得到以待定系數為未知數的方程;
(3)解方程得出未知系數的值;
(4)將求出的待定系數代回所求的函數解析式中得出結果.
[一次函數建模]
函數建模的關鍵是將實際問題數學化，從而解決最佳方案、最佳策略等問題. 建立一次函數模型解決實際問題，就是要從實際問題中抽象出兩個變量，再尋求出兩個變量之間的關系，構建函數模型，從而利用數學知識解決實際問題.
正比例函數的圖象和一次函數的圖象在賦予實際意義時，其圖象大多為線段或射線. 這是因為在實際問題中，自變量的取值范圍是有一定的限制條件的，即自變量必須使實際問題有意義.
從圖象中獲取的信息一般是：(1)從函數圖象的形狀判定函數的類型;
(2)從橫、縱軸的實際意義理解圖象上點的坐標的實際意義.
解決含有多個變量的問題時，可以分析這些變量的關系，選取其中某個變量作為自變量，再根據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數.
三、用函數觀點看方程(組)與不等式
[一元一次方程與一次函數的關系]
任何一元一次方程到可以轉化為ax+b=0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值. 從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.
[一次函數與一元一次不等式的關系]
任何一個一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大(小)于0時，求自變量的取值范圍.
[一次函數與二元一次方程組]
(1)以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數y= 的圖象相同.
(2)二元一次方程組 的解可以看作是兩個一次函數y= 和y= 的圖象交點.
三個重要的數學思想
1.方程的思想。數學是研究事物的空間形式和數量關系的，初中數學最重要的就是等量關系，其次是不等量關系。最常見的等量關系就是方程。
2.數形結合的思想。任何一道題，只要與形沾邊，就應該根據題意中的草圖分析一番。這樣做，不但直觀，而且全面，整體性強。
3.對應的思想。
初中生數學成績的提高，需要靠自己勤加練習和腳踏實地的去接受數學。
合數的概念
合數指自然數中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(0除外)整除的數。與之相對的是質數，而1既不屬于質dao數也不屬于合數。最小的合數是4。其中，完全數與相親數是以它為基礎的。
函數知識點10
一般地，形如y=kx+b（k、b是常數，k≠0）函數，叫做一次函數。當b=0時，y=kx+b即y=kx，所以正比例函數是一種特殊的一次函數。
一次函數的圖象及性質
一次函數y=kx+b的圖象是經過（0，b）和（—b/k，0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到。（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）
�。�1）解析式：y=kx+b（k、b是常數，k≠0）
�。�2）必過點：（0，b）和（—b/k，0）
�。�3）走向：k>0，圖象經過第一、三象限；
k<0，圖象經過第二、四象限
b>0，圖象經過第一、二象限；
b<0，圖象經過第三、四象限
k>0，b>0；<=>直線經過第一、二、三象限
K<0，b>0；<=>直線經過第一、二、四象限
K<0，b<0；<=>直線經過第二、三、四象限
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象。
因此，研究拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b2]/4a).
3.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|。
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0.
5.拋物線y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.
6.用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現.
函數知識點12
目標設計
1.知識與技能：通過本節學習，鞏固二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質，理解頂點與最值的關系，會用頂點的性質求解最值問題。
能力訓練要求
1、能夠分析實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大（�。┲蛋l展學生解決問題的能力， 學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題。
2、通過觀察圖象，理解頂點的特殊性，會把實際問題中的最值轉化為二次函數的最值問題，通過動手動腦，提高分析解決問題的能力，并體會一般與特殊的關系，培養數形結合思想，函數思想。
情感與價值觀要求
1、在進行探索的活動過程中發展學生的探究意識，逐步養成合作交流的習慣。
2、培養學生學以致用的習慣，體會體會數學在生活中廣泛的應用價值，激發學生學習數學的興趣、增強自信心。
方法設計
由于本節課是應用問題，重在通過學習總結解決問題的方法，故而本節課以“啟發探究式”為主線開展教學活動，解決問題以學生動手動腦探究為主，必要時加以小組合作討論，充分調動學生學習積極性和主動性，突出學生的主體地位，達到“不但使學生學會，而且使學生會學”的目的。為了提高課堂效率，展示學生的學習效果，適當地輔以電腦多媒體技術。
導學提綱
設計思路：最值問題又是生活中利用二次函數知識解決最常見、最有實際應用價值的問題之一，它生活背景豐富 ，學生比較感興趣，對九年級學生來說，在學習了一次函數和二次函數圖象與性質以后，對函數的思想已有初步認識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變量超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應用知識解決問題，而面積問題學生易于理解和接受 ，故而在這兒作此調整，為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型，解決實際問題的.能力，這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。目的在于讓學生通過掌握求面積最大這一類題，學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題，此部分內容既是學習一次函數及其應用后的鞏固與延伸，又為高中乃至以后學習更多函數打下堅實的理論和思想方法基礎。
（一）前情回顧：
1.復習二次函數y＝ax2+bx＋c（a≠0）的圖象、頂點坐標、對稱軸和最值
2.（1）求函數y＝x2+ 2x－3的最值。
�。�2）求函數y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）
3、拋物線在什么位置取最值？
（二）適當點撥，自主探究
請你畫一個周長為40厘米的矩形，算算它的面積是多少？再和同學比比，發現了什么？誰的面積最大？
函數知識點13
第一、函數的定義以及基本性質，比如奇偶性，一個代表著函數圖像以零點為對稱中心，一個代表著函數圖像以x=0為對稱軸，再比如單調性，這更是從函數圖像上面可以直接得出直觀的單調性質，高考雖然說大綱不會超過高中大綱，但是其思想和技巧往往會涉及到函數更高級的性質，比如凹凸性，通過分層設問的方式做成一道難度頗高的壓軸題，這時如果我們抓住圖像，分析性質，通過題目中前幾問的提示繼續思考，往往就能剝繭抽絲得到最后的證明和解答，而非連續函數的`問題往往出現在選擇和填空題里面，一般都是考察的基本的代數變形能力，比較重要的一個思想是，通過結論和題目條件所給形式帶入特殊形式的函數值進行計算變形。
第二、函數的最值和導數，在這里，我們進一步分析函數單調性的基本形式，對于一般的光滑函數，我們給出了函數的導數的定義，函數的導數從圖像上面也能非常直觀的理解為函數每一點切線的斜率，函數的最值也能直觀的從函數圖像上面顯現出來，因此，處理此類問題的時候，抓住函數圖像為突破口，是非常有必要和有效率的。
第三、函數的模型以及圖像，這本身就是圖像的基本應用。
我們看到，圖像是解決函數問題的一個非常重要和常用的方法，我們如果能在一輪復習里養成觀察函數圖像的習慣和熟練掌握分析函數圖像的技巧，那么在后面的函數綜合題目里面，在遇到同時分析函數代數變形和圖像的時候，我們會更加游刃有余。
最后，希望大家在一輪復習里在函數的復習中能夯實基礎，從圖像入手分析問題，為以后高考做好沖刺的準備。
函數知識點14
一般地，函數y=logax(a0，且a≠1)叫做對數函數，也就是說以冪為自變量，指數為因變量，底數為常量的函數，叫對數函數。
對數函數的一般形式為，它實際上就是指數函數的反函數。因此指數函數里對于a的規定，同樣適用于對數函數。
右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：
可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的`對稱圖形，因為它們互為反函數。
(1)對數函數的定義域為大于0的實數集合。
(2)對數函數的值域為全部實數集合。
(3)函數總是通過(1，0)這點。
(4)a大于1時，為單調遞增函數，并且上凸;a小于1大于0時，函數為單調遞減函數，并且下凹。
(5)顯然對數函數無界。
函數知識點15
銳角三角函數定義
銳角角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的銳角三角函數。
正弦（sin）等于對邊比斜邊；sinA=a/c
余弦（cos）等于鄰邊比斜邊；cosA=b/c
正切（tan）等于對邊比鄰邊；tanA=a/b
余切（cot）等于鄰邊比對邊；cotA=b/a
正割（sec）等于斜邊比鄰邊；secA=c/b
余割（csc）等于斜邊比對邊。cscA=c/a
互余角的三角函數間的關系
sin（90-）=cos，cos（90-）=sin，
tan（90-）=cot，cot（90-）=tan。
平方關系：
sin^2（）+cos^2（）=1
tan^2（）+1=sec^2（）
cot^2（）+1=csc^2（）
積的關系：
sin=tancos
cos=cotsin
tan=sinsec
cot=coscsc
sec=tancsc
csc=seccot
倒數關系：
tancot=1
sincsc=1
cossec=1
銳角三角函數公式
兩角和與差的三角函數：
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB?
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）
tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）
cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）
cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）
三角和的三角函數：
sin（++）=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin
cos（++）=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos
tan（++）=（tan+tan+tan-tantantan）/（1-tantan-tantan-tantan）
輔助角公式：
Asin+Bcos=（A^2+B^2）^（1/2）sin（+t），其中
sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）
cost=A/（A^2+B^2）^（1/2）
tant=B/A
Asin+Bcos=（A^2+B^2）^（1/2）cos（-t），tant=A/B
倍角公式：
sin（2）=2sincos=2/（tan+cot）
cos（2）=cos^2（）-sin^2（）=2cos^2（）-1=1-2sin^2（）
tan（2）=2tan/[1-tan^2（）]
三倍角公式：
sin（3）=3sin-4sin^3（）
cos（3）=4cos^3（）-3cos
半角公式：
sin（/2）=（（1-cos）/2）
cos（/2）=（（1+cos）/2）
tan（/2）=（（1-cos）/（1+cos））=sin/（1+cos）=（1-cos）/sin
降冪公式
sin^2（）=（1-cos（2））/2=versin（2）/2
cos^2（）=（1+cos（2））/2=covers（2）/2
tan^2（）=（1-cos（2））/（1+cos（2））
萬能公式：
sin=2tan（/2）/[1+tan^2（/2）]
cos=[1-tan^2（/2）]/[1+tan^2（/2）]
tan=2tan（/2）/[1-tan^2（/2）]
積化和差公式：
sincos=（1/2）[sin（+）+sin（-）]
cossin=（1/2）[sin（+）-sin（-）]
coscos=（1/2）[cos（+）+cos（-）]
sinsin=-（1/2）[cos（+）-cos（-）]
和差化積公式：
sin+sin=2sin[（+）/2]cos[（-）/2]
sin-sin=2cos[（+）/2]sin[（-）/2]
cos+cos=2cos[（+）/2]cos[（-）/2]
cos-cos=-2sin[（+）/2]sin[（-）/2]
推導公式：
tan+cot=2/sin2
tan-cot=-2cot2
1+cos2=2cos^2
1-cos2=2sin^2
1+sin=（sin/2+cos/2）^2
其他：
sin+sin（+2/n）+sin（+2*2/n）+sin（+2*3/n）++sin[+2*（n-1）/n]=0
cos+cos（+2/n）+cos（+2*2/n）+cos（+2*3/n）++cos[+2*（n-1）/n]=0以及
sin^2（）+sin^2（-2/3）+sin^2（+2/3）=3/2
tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0
函數名正弦余弦正切余切正割余割
在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設旋轉角為，設OP=r，P點的坐標為（x，y）有
正弦函數sin=y/r
余弦函數cos=x/r
正切函數tan=y/x
余切函數cot=x/y
正割函數sec=r/x
余割函數csc=r/y
正弦（sin）：角的對邊比上斜邊
余弦（cos）：角的鄰邊比上斜邊
正切（tan）：角的對邊比上鄰邊
余切（cot）：角的鄰邊比上對邊
正割（sec）：角的斜邊比上鄰邊
余割（csc）：角的斜邊比上對邊
三角函數萬能公式
萬能公式
�。�1）（sin）^2+（cos）^2=1
（2）1+（tan）^2=（sec）^2
�。�3）1+（cot）^2=（csc）^2
證明下面兩式，只需將一式，左右同除（sin）^2,第二個除（cos）^2即可
（4）對于任意非直角三角形，總有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
證：
A+B=-C
tan（A+B）=tan（-C）
（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tan-tanC）/（1+tantanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得證
同樣可以得證，當x+y+z=n（nZ）時，該關系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論
�。�5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）
�。�7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
萬能公式為：
設tan（A/2）=t
sinA=2t/（1+t^2）（A+，kZ）
tanA=2t/（1-t^2）（A+，kZ）
cosA=（1-t^2）/（1+t^2）（A+，且A+（/2）kZ）
就是說sinA.tanA.cosA都可以用tan（A/2）來表示，當要求一串函數式最值的時候，就可以用萬能公式，推導成只含有一個變量的函數，最值就很好求了。
三角函數關系
倒數關系
tancot=1
sincsc=1
cossec=1
商的關系
sin/cos=tan=sec/csc
cos/sin=cot=csc/sec
平方關系
sin^2（）+cos^2（）=1
1+tan^2（）=sec^2（）
1+cot^2（）=csc^2（）
同角三角函數關系六角形記憶法
構造以上弦、中切、下割；左正、右余、中間1的正六邊形為模型。
倒數關系
對角線上兩個函數互為倒數；
商數關系
六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘積，下面4個也存在這種關系。）。由此，可得商數關系式。
平方關系
在帶有陰影線的.三角形中，上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方。
兩角和差公式
sin（+）=sincos+cossin
sin（-）=sincos-cossin
cos（+）=coscos-sinsin
cos（-）=coscos+sinsin
tan（+）=（tan+tan）/（1-tantan）
tan（-）=（tan-tan）/（1+tantan）
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2=2sincos
cos2=cos^2（）-sin^2（）=2cos^2（）-1=1-2sin^2（）
tan2=2tan/（1-tan^2（））
tan（1/2*）=（sin）/（1+cos）=（1-cos）/sin
半角的正弦、余弦和正切公式
sin^2（/2）=（1-cos）/2
cos^2（/2）=（1+cos）/2
tan^2（/2）=（1-cos）/（1+cos）
tan（/2）=（1cos）/sin=sin/1+cos
萬能公式
sin=2tan（/2）/（1+tan^2（/2））
cos=（1-tan^2（/2））/（1+tan^2（/2））
tan=（2tan（/2））/（1-tan^2（/2））
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3=3sin-4sin^3（）
cos3=4cos^3（）-3cos
tan3=（3tan-tan^3（））/（1-3tan^2（））
誘導公式
誘導公式的本質
所謂三角函數誘導公式，就是將角n（/2）的三角函數轉化為角的三角函數。
常用的誘導公式
公式一：設為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：
sin（2k）=sinkz
cos（2k）=coskz
tan（2k）=tankz
cot（2k）=cotkz
公式二：設為任意角，的三角函數值與的三角函數值之間的關系：
sin（）=-sin
cos（）=-cos
tan（）=tan
cot（）=cot
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