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高斯算術(shù)的妙用作文
在數(shù)學(xué)世界的王國里,曾出現(xiàn)過無數(shù)的天才,其中有一位就是人稱“數(shù)學(xué)王子”的高斯。相信大家都知道,高斯在小時候就巧妙地解出了老師出的一道難題:1+2+3+4+5+……+100=?你一定也知道這是什么題型吧,不錯,這就是后來被稱為“高斯算術(shù)”的等差數(shù)列求和。
這一天,爸爸給我講了高斯的這個故事,并考我:“1到10的整數(shù)之和是多少?”我聽了題,心想:太簡單了,我用配對法不就可以了嗎?想完,我就立刻算了起來:1+10=11;2+9=11;3+8=11;4+7=11;5+6=11;一共5組,11×5=55。
“對了”,爸爸點(diǎn)了點(diǎn)頭,加大了難度,繼續(xù)考我:“剛才沒考倒你,那你知道1到30中的偶數(shù)加起來是多少?”這個……我馬上想用剛才的計(jì)算方法,2+30=32,可是一共幾組呀?配好了對,一組組去數(shù)也太繁瑣了吧?此時的我,真是一籌莫展,只好向爸爸請教。
爸爸卻賣起了關(guān)子,“我們先來想一下高斯的辦法吧,那些數(shù)經(jīng)過高斯一一配對,每一對數(shù)的和其實(shí)就是平均數(shù)的兩倍,我們把這個和除以2,那是不是表示,有多少個數(shù)就相當(dāng)于有多少個平均數(shù)?”
爸爸看我點(diǎn)點(diǎn)頭,繼續(xù)說道:“這樣就形成了一個公式,和=(首項(xiàng)+未項(xiàng))÷2×項(xiàng)數(shù)。”
“那這個項(xiàng)數(shù)怎么知道呀?”我想起剛才我卡住的地方,急忙問道。
“這個項(xiàng)數(shù)呀,表示有多少個數(shù),這和他們的公差有關(guān),高斯那道題,因?yàn)槭亲匀粩?shù),他們的公差是1,所以沒體現(xiàn)出來,但我們現(xiàn)在求的是偶數(shù)之和,他們的公差是2,項(xiàng)數(shù)的重要性就體現(xiàn)出來了!
爸爸看我著急的樣子,就在紙上寫下一個公式:項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1,并解釋說:“這個公式中‘末項(xiàng)—首項(xiàng)’求出的是總差,再除以公差,再加上1就得到了項(xiàng)數(shù)!
“為什么要加1呀?”
“這就像我們種樹,每一個樹坑就是一個項(xiàng),間距就是公差,我們從第一個坑到最后一個坑的距離是總長度,總長度除以間距得出的是什么呢?對了,是一共有幾個間距,我們關(guān)注的是有幾個坑,種樹的“坑”的是不是要比“間距”多“1”呀?”
聽了爸爸的解答,我馬上列出一個算式來:(30-2)÷2+1=15,(2+30)÷2×15=240。是呀,“首項(xiàng)+末項(xiàng)”是平均數(shù)的兩倍,因此要除以2,然后乘以“項(xiàng)數(shù)”就可以得出答案了。
我高興地在紙上寫下了這個公式:和=(首項(xiàng)+未項(xiàng))÷2×項(xiàng)數(shù)。咦,這個公式怎么這么眼熟呢?我開始在腦海中搜尋,哦,梯形的面積公式和它很相似呀——梯形的“上底+下底”不就相當(dāng)于“首項(xiàng)+末項(xiàng)”嗎?如果把高看成公式中的項(xiàng)數(shù),那么“×高÷2”不就是“×項(xiàng)數(shù)÷2”嗎?
其實(shí),這不是想起數(shù)學(xué)上的“堆木頭”問題嗎?要計(jì)算木頭的總數(shù),以前總是一層層相加,計(jì)算得很累,還容易出錯,要求它們的面積是相當(dāng)于求等差數(shù)列的和,公式就可以通用,那么不就可以應(yīng)用起來了嗎?右圖的鋼管總數(shù)=(第一層+第四層)÷2×層數(shù)=(2+5)÷2×4=14根,我一數(shù),正確!
我的思考又向前邁了一步:與梯形比較相似的是三角形,如果,我們把三角形看成上底是“0”的一個梯形,那三角形面積的公式不就成了(0+底)÷2×項(xiàng)數(shù)(高),我茅塞頓開:原來它們都是一個祖宗生出來的!
看來,在數(shù)學(xué)世界中,隱藏著無數(shù)的奧秘和寶藏,只要我們用心探索,一定會有意想不到的收獲!
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