高中數(shù)學(xué)教案
作為一位兢兢業(yè)業(yè)的人民教師，有必要進(jìn)行細(xì)致的教案準(zhǔn)備工作，教案是教材及大綱與課堂教學(xué)的紐帶和橋梁。那么應(yīng)當(dāng)如何寫教案呢？以下是小編為大家整理的高中數(shù)學(xué)教案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
高中數(shù)學(xué)教案1
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]
�。�1）會(huì)用坐標(biāo)法及距離公式證明Cα+β；
（2）會(huì)用替代法、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，由Cα+β推導(dǎo)Cα—β、Sα±β、Tα±β，切實(shí)理解上述公式間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化；
（3）掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β，并利用簡(jiǎn)單的三角變換，解決求值、化簡(jiǎn)三角式、證明三角恒等式等問(wèn)題。
[學(xué)習(xí)重點(diǎn)]
兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
[學(xué)習(xí)難點(diǎn)]
余弦和角公式的推導(dǎo)
[知識(shí)結(jié)構(gòu)]
1、兩角和的余弦公式是三角函數(shù)一章和、差、倍公式系列的基礎(chǔ)。其公式的證明是用坐標(biāo)法，利用三角函數(shù)定義及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，把兩角和α+β的余弦，化為單角α、β的三角函數(shù)（證明過(guò)程見(jiàn)課本）
2、通過(guò)下面各組數(shù)的值的比較：①cos（30°—90°）與cos30°—cos90°②sin（30°+60°）和sin30°+sin60°。我們應(yīng)該得出如下結(jié)論：一般情況下，cos（α±β）≠cosα±cosβ，sin（α±β）≠sinα±sinβ。但不排除一些特例，如sin（0+α）=sin0+sinα=sinα。
3、當(dāng)α、β中有一個(gè)是的整數(shù)倍時(shí)，應(yīng)首選誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形。注意兩角和與差的三角函數(shù)是誘導(dǎo)公式等的'基礎(chǔ)，而誘導(dǎo)公式是兩角和與差的三角函數(shù)的特例。
4、關(guān)于公式的正用、逆用及變用
高中數(shù)學(xué)教案2
一、向量的概念
1、既有又有的量叫做向量。用有向線段表示向量時(shí)，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的，有向線段的箭頭所指的方向表示向量的
2、叫做單位向量
3、的向量叫做平行向量，因?yàn)槿我唤M平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做。零向量與任一向量平行
4、且的向量叫做相等向量
5、叫做相反向量
二、向量的表示方法：
幾何表示法、字母表示法、坐標(biāo)表示法
三、向量的加減法及其坐標(biāo)運(yùn)算
四、實(shí)數(shù)與向量的乘積
定義：實(shí)數(shù) λ 與向量 的.積是一個(gè)向量，記作λ
五、平面向量基本定理
如果e1、e2是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 ，其中e1，e2叫基底
六、向量共線/平行的充要條件
七、非零向量垂直的充要條件
八、線段的定比分點(diǎn)
設(shè)是上的 兩點(diǎn)，p是上x(chóng)x的任意一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)，使xxx，則為點(diǎn)p分有向線段所成的比，同時(shí)，稱p為有向線段的定比分點(diǎn)
定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及向量式
九、平面向量的數(shù)量積
（1）設(shè)兩個(gè)非零向量a和b，作oa=a，ob=b，則∠aob=θ叫a與b的夾角，其范圍是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影
�。�2）|a||b|cosθ叫a與b的數(shù)量積，記作a·b，即 a·b=|a||b|cosθ
�。�3）平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示
十、平移
典例解讀
1、給出下列命題：①若|a|=|b|，則a=b;②若a，b，c，d是不共線的四點(diǎn)，則ab= dc是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件；③若a=b,b=c，則a=c;④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b;⑤若a∥b,b∥c，則a∥c
其中，正確命題的序號(hào)是xx
2、已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，則|2a-b|=xxxx
3、若將向量a=(2，1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 得到向量b，則向量b的坐標(biāo)為xx
4、下列算式中不正確的是( )
(a) ab+bc+ca=0 (b) ab-ac=bc
(c) 0·ab=0 (d)λ（μa）=（λμ）a
5、若向量a=（1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，則c=( ）
?函數(shù)y=x2的圖象按向量a=（2,1)平移后得到的圖象的函數(shù)表達(dá)式為( ）
(a)y=(x-2)2-1 (b)y=(x+2)2-1 (c)y=(x-2)2+1 (d)y=(x+2)2+1
7、平面直角坐標(biāo)系中，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)a（3，1)，b(-1，3)，若點(diǎn)c滿足oc=αoa+βob，其中a、β∈r，且α+β=1,則點(diǎn)c的軌跡方程為( ）
(a)3x+2y-11=0 (b)(x-1)2+(y-2)2=5
(c)2x-y=0 (d)x+2y-5=0
8、設(shè)p、q是四邊形abcd對(duì)角線ac、bd中點(diǎn)，bc=a,da=b，則 pq=xx
9、已知a(5,-1) b(-1,7) c(1,2)，求△abc中∠a平分線長(zhǎng)
10、若向量a、b的坐標(biāo)滿足a+b=（-2,-1)，a-b=(4,-3)，則a·b等于( ）
(a)-5 (b)5 (c)7 (d)-1
11、若a、b、c是非零的平面向量，其中任意兩個(gè)向量都不共線，則( )
(a)(a)2·(b)2=(a·b)2 (b)|a+b|>|a-b|
(c)(a·b)·c-(b·c)·a與b垂直 (d)(a·b)·c-(b·c)·a=0
12、設(shè)a=（1,0)，b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，則實(shí)數(shù)λ的值是( ）
(a)2 (b)0 (c)1 (d)2
16、利用向量證明：△abc中，m為bc的中點(diǎn)，則 ab2+ac2=2(am2+mb2)
17、在三角形abc中， =(2，3)， =(1，k)，且三角形abc的一個(gè)內(nèi)角為直角，求實(shí)數(shù)k的值
18、已知△abc中，a(2,-1)，b(3,2)，c(-3,-1)，bc邊上的高為ad，求點(diǎn)d和向量
高中數(shù)學(xué)教案3
1.教學(xué)目標(biāo)
(1)知識(shí)目標(biāo): 1.在平面直角坐標(biāo)系中,探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程;
2.會(huì)由圓的方程寫出圓的半徑和圓心,能根據(jù)條件寫出圓的方程.
(2)能力目標(biāo): 1.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用解析法研究幾何問(wèn)題的能力;
2.使學(xué)生加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法的理解;
3.增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí).
(3)情感目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)、合作交流的意識(shí),在體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
2.教學(xué)重點(diǎn).難點(diǎn)
(1)教學(xué)重點(diǎn):圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及其應(yīng)用.
(2)教學(xué)難點(diǎn):會(huì)根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及選擇恰
當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系解決與圓有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.
3.教學(xué)過(guò)程
(一)創(chuàng)設(shè)情境(啟迪思維)
問(wèn)題一:已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車能不能駛?cè)脒@個(gè)隧道?
[引導(dǎo)] 畫圖建系
[學(xué)生活動(dòng)]:嘗試寫出曲線的方程(對(duì)求曲線的方程的步驟及圓的定義進(jìn)行提示性復(fù)習(xí))
解:以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半圓的直徑ab所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,則半圓的方程為x2 y2=16(y≥0)
將x=2.7代入,得 .
即在離隧道中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度,因此貨車不能駛?cè)脒@個(gè)隧道。
(二)深入探究(獲得新知)
問(wèn)題二:1.根據(jù)問(wèn)題一的探究能不能得到圓心在原點(diǎn),半徑為 的圓的方程?
答:x2 y2=r2
2.如果圓心在 ,半徑為 時(shí)又如何呢?
[學(xué)生活動(dòng)] 探究圓的方程。
[教師預(yù)設(shè)] 方法一:坐標(biāo)法
如圖,設(shè)m(x,y)是圓上任意一點(diǎn),根據(jù)定義點(diǎn)m到圓心c的距離等于r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r}
由兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)m適合的條件可表示為 ①
把①式兩邊平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2
方法二:圖形變換法
方法三:向量平移法
(三)應(yīng)用舉例(鞏固提高)
i.直接應(yīng)用(內(nèi)化新知)
問(wèn)題三:1.寫出下列各圓的方程(課本p77練習(xí)1)
(1)圓心在原點(diǎn),半徑為3;
(2)圓心在 ,半徑為 ;
(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,圓心在點(diǎn) .
2.根據(jù)圓的.方程寫出圓心和半徑
(1) ; (2) .
ii.靈活應(yīng)用(提升能力)
問(wèn)題四:1.求以 為圓心,并且和直線 相切的圓的方程.
[教師引導(dǎo)]由問(wèn)題三知:圓心與半徑可以確定圓.
2.已知圓的方程為 ,求過(guò)圓上一點(diǎn) 的切線方程.
[學(xué)生活動(dòng)]探究方法
[教師預(yù)設(shè)]
方法一:待定系數(shù)法(利用幾何關(guān)系求斜率-垂直)
方法二:待定系數(shù)法(利用代數(shù)關(guān)系求斜率-聯(lián)立方程)
方法三:軌跡法(利用勾股定理列關(guān)系式) [多媒體課件演示]
方法四:軌跡法(利用向量垂直列關(guān)系式)
3.你能歸納出具有一般性的結(jié)論嗎?
已知圓的方程是 ,經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn) 的切線的方程是: .
iii.實(shí)際應(yīng)用(回歸自然)
問(wèn)題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐,求支柱 的長(zhǎng)度(精確到0.01m).
[多媒體課件演示創(chuàng)設(shè)實(shí)際問(wèn)題情境]
(四)反饋訓(xùn)練(形成方法)
問(wèn)題六:1.求以c(-1,-5)為圓心,并且和y軸相切的圓的方程.
2.已知點(diǎn)a(-4,-5),b(6,-1),求以ab為直徑的圓的方程.
3.求圓x2 y2=13過(guò)點(diǎn)(-2,3)的切線方程.
4.已知圓的方程為 ,求過(guò)點(diǎn) 的切線方程.
高中數(shù)學(xué)教案4
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)。從本節(jié)開(kāi)始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)。進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)，并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪。
教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，先給出兩個(gè)具體例子：GDP的增長(zhǎng)問(wèn)題和碳14的衰減問(wèn)題。前一個(gè)問(wèn)題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過(guò)的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學(xué)生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價(jià)值。后一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)其中的函數(shù)模型的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作了鋪墊。
本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想（指數(shù)冪運(yùn)算律的推廣）、類比的思想、逼近的思想（有理數(shù)指數(shù)冪逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)冪）、數(shù)形結(jié)合的思想（用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。
根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。
三維目標(biāo)
1、通過(guò)與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)冪的性質(zhì)。掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象類比的能力。
2、掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。通過(guò)運(yùn)算訓(xùn)練，養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理。
3、能熟練地運(yùn)用有理指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算能力。
4、通過(guò)訓(xùn)練及點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生更能熟練掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。展示函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過(guò)觀察，進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和統(tǒng)一美。
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)
�。�1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式概念的理解。
（2）掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。
�。�3）運(yùn)用有理指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值。
教學(xué)難點(diǎn)
（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式概念的理解。
（2）有理指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應(yīng)用。
課時(shí)安排
3課時(shí)
教學(xué)過(guò)程
第1課時(shí)
作者：路致芳
導(dǎo)入新課
思路1.同學(xué)們?cè)陬A(yù)習(xí)的過(guò)程中能否知道考古學(xué)家如何判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學(xué)家是通過(guò)對(duì)生物化石的研究來(lái)判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的，第二個(gè)問(wèn)題我們不太清楚）考古學(xué)家是按照這樣一條規(guī)律推測(cè)生物所處的年代的。教師板書本節(jié)課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算。
思路2.同學(xué)們，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了平方根、立方根，那么有沒(méi)有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算。
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
�。�1）什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)，立方根呢？
�。�2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢？
�。�3）根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎？
�。�4）可否用一個(gè)式子表達(dá)呢？
活動(dòng)：教師提示，引導(dǎo)學(xué)生回憶初中的時(shí)候已經(jīng)學(xué)過(guò)的平方根、立方根是如何定義的，對(duì)照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對(duì)問(wèn)題(2)的結(jié)論進(jìn)行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時(shí)啟發(fā)學(xué)生，具體問(wèn)題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評(píng)價(jià)學(xué)生的思維。
討論結(jié)果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為±2，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，如：-8的立方根為-2.
（2）類比平方根、立方根的定義，一個(gè)數(shù)的四次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的四次方根。一個(gè)數(shù)的五次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的五次方根。一個(gè)數(shù)的六次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的六次方根。
�。�3）類比(2)得到一個(gè)數(shù)的n次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的n次方根。
（4）用一個(gè)式子表達(dá)是，若xn=a，則x叫a的n次方根。
教師板書n次方根的意義：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數(shù)集。
可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出問(wèn)題
（1）你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。
�、�4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
�。�2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對(duì)應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特點(diǎn)？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對(duì)應(yīng)什么性質(zhì)的數(shù)，有什么特點(diǎn)？
�。�3）問(wèn)題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負(fù)，還有零，結(jié)論有一個(gè)的，也有兩個(gè)的，你能否總結(jié)一般規(guī)律呢？
�。�4）任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根是否存在呢？
活動(dòng)：教師提示學(xué)生切實(shí)緊扣n次方根的概念，求一個(gè)數(shù)a的n次方根，就是求出的那個(gè)數(shù)的n次方等于a，及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，從數(shù)的分類考慮，可以把具體的數(shù)寫出來(lái)，觀察數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)問(wèn)題(2)中的結(jié)論，類比推廣引申，考慮要全面，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路。
討論結(jié)果：(1)因?yàn)椤?的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
�。�2）方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點(diǎn)是有奇數(shù)和偶數(shù)。總的來(lái)看，這些數(shù)包括正數(shù)，負(fù)數(shù)和零。
�。�3）一個(gè)數(shù)a的奇次方根只有一個(gè)，一個(gè)正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)。0的任何次方根都是0.
�。�4）任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負(fù)數(shù)的偶次方根就不存在，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)數(shù)的偶次方是一個(gè)負(fù)數(shù)。
類比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)：
�、佼�(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用-na表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫成±na(a>0)。
�、趎為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)na表示。
�、圬�(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字語(yǔ)言可用下面的式子表示：
a為正數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根有一個(gè)為na，n為偶數(shù)，a的n次方根有兩個(gè)為±na.
a為負(fù)數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根只有一個(gè)為na，n為偶數(shù)，a的n次方根不存在。
零的n次方根為零，記為n0=0.
可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例。
思考
根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說(shuō)明上述幾種情況？
活動(dòng)：教師提示學(xué)生對(duì)方根的性質(zhì)要分類掌握，即正數(shù)的奇偶次方根，負(fù)數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時(shí)巡視學(xué)生，隨機(jī)給出一個(gè)數(shù)，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時(shí)糾正學(xué)生在舉例過(guò)程中的問(wèn)題。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現(xiàn)在我們給式子na一個(gè)名稱——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)，n叫做根指數(shù)。
如3-27中，3叫根指數(shù)，-27叫被開(kāi)方數(shù)。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活動(dòng)：教師讓學(xué)生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號(hào)，充分讓學(xué)生多舉實(shí)例，分組討論。教師點(diǎn)撥，注意歸納整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根據(jù)n次方根的意義，可得：(na)n=a.
通過(guò)探究得到：n為奇數(shù)，nan=a.
n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
因此我們得到n次方根的運(yùn)算性質(zhì)：
①(na)n=a.先開(kāi)方，再乘方（同次），結(jié)果為被開(kāi)方數(shù)。
�、趎為奇數(shù)，nan=a.先奇次乘方，再開(kāi)方（同次），結(jié)果為被開(kāi)方數(shù)。
n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開(kāi)方（同次），結(jié)果為被開(kāi)方數(shù)的絕對(duì)值。
應(yīng)用示例
思路1
例求下列各式的值：
�。�1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。
活動(dòng)：求某些式子的值，首先考慮的應(yīng)是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識(shí)，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對(duì)每一個(gè)題目仔細(xì)分析。觀察學(xué)生的解題情況，讓學(xué)生展示結(jié)果，抓住學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題并對(duì)癥下藥。求下列各式的值實(shí)際上是求數(shù)的方根，可按方根的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解，首先要搞清楚運(yùn)算順序，目的是把被開(kāi)方數(shù)的符號(hào)定準(zhǔn)，然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，無(wú)需考慮符號(hào)，如果是偶數(shù)，開(kāi)方的結(jié)果必須是非負(fù)數(shù)。
解：(1)3(-8)3=-8;
�。�2）(-10)2=10;
（3)4(3-π）4=π-3;
�。�4）(a-b)2=a-b(a>b)。
點(diǎn)評(píng)：不注意n的奇偶性對(duì)式子nan的值的影響，是導(dǎo)致問(wèn)題出現(xiàn)的一個(gè)重要原因，要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)，記熟，會(huì)用，活用。
變式訓(xùn)練
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，
(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，
(3)4(3a-3)4=
點(diǎn)評(píng)：本題易錯(cuò)的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯(cuò)解。
思路2
例1下列各式中正確的是（）
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活動(dòng)：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)，應(yīng)首先考慮根據(jù)方根的意義和運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解，既要考慮被開(kāi)方數(shù)，又要考慮根指數(shù)，嚴(yán)格按求方根的步驟，體會(huì)方根運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，學(xué)生先思考哪些地方容易出錯(cuò)，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，應(yīng)先寫nan=|a|，故A項(xiàng)錯(cuò)。
(2)6(-2)2=3-2，本質(zhì)上與上題相同，是一個(gè)正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此，結(jié)論為6(-2)2=32，故B項(xiàng)錯(cuò)。
(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項(xiàng)也錯(cuò)。
(4)D項(xiàng)是一個(gè)正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此，故D項(xiàng)正確。所以答案選D.
答案：D
點(diǎn)評(píng)：本題由于考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算順序，有時(shí)極易選錯(cuò)，選四個(gè)答案的情況都會(huì)有，因此解題時(shí)千萬(wàn)要細(xì)心。
例2 3+22+3-22=__________.
活動(dòng)：讓同學(xué)們積極思考，交流討論，本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無(wú)關(guān)，但仔細(xì)一想，我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是方根，這里是帶有雙重根號(hào)的式子，去掉一層根號(hào)，根據(jù)方根的運(yùn)算求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵，因此將根號(hào)下面的式子化成一個(gè)完全平方式就更為關(guān)鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關(guān)鍵，教師提示，引導(dǎo)學(xué)生解題的思路。
解析：因?yàn)?+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，
3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，
所以3+22+3-22=22.
答案：22
點(diǎn)評(píng)：不難看出3-22與3+22形式上有些特點(diǎn)，即是對(duì)稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個(gè)完全平方式。
思考
上面的例2還有別的解法嗎？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)，去根號(hào)常常利用完全平方公式，有時(shí)平方差公式也可，同學(xué)們觀察兩個(gè)式子的特點(diǎn)，具有對(duì)稱性，再考慮并交流討論，一個(gè)是“+”，一個(gè)是“-”，去掉一層根號(hào)后，相加正好抵消。同時(shí)借助平方差，又可去掉根號(hào)，因此把兩個(gè)式子的和看成一個(gè)整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。
另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，
兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
點(diǎn)評(píng)：對(duì)雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號(hào)下面的式子化成一個(gè)完全平方式，問(wèn)題迎刃而解，另外對(duì)A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個(gè)整體利用完全平方公式和平方差公式去解。
變式訓(xùn)練
若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍。
解：因?yàn)閍2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，
即a-1≥0，
所以a≥1.
點(diǎn)評(píng)：利用方根的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去絕對(duì)值符號(hào)，是解題的關(guān)鍵。
知能訓(xùn)練
�。ń處熡枚嗝襟w顯示在屏幕上）
1、以下說(shuō)法正確的是（）
A.正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)
B.負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數(shù)集）
答案：C
2、化簡(jiǎn)下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、計(jì)算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
問(wèn)題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個(gè)是恒等式，為什么？請(qǐng)舉例說(shuō)明。
活動(dòng)：組織學(xué)生結(jié)合前面的例題及其解答，進(jìn)行分析討論，解決這一問(wèn)題要緊扣n次方根的定義。
通過(guò)歸納，得出問(wèn)題結(jié)果，對(duì)a是正數(shù)和零，n為偶數(shù)時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)討論一下。再對(duì)a是負(fù)數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)討論一下，就可得到相應(yīng)的`結(jié)論。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無(wú)論n是奇數(shù)或偶數(shù)，x=na一定是它的一個(gè)n次方根，所以(na)n=a恒成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a，|a|，當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)。
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a∈R，nan=a恒成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，
即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。
點(diǎn)評(píng)：實(shí)質(zhì)上是對(duì)n次方根的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算性質(zhì)的深刻理解。
課堂小結(jié)
學(xué)生仔細(xì)交流討論后，在筆記上寫出本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上。
1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數(shù)集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開(kāi)方數(shù)，n叫根指數(shù)。
�。�1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用-na表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫成±na(a>0)。
(2)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)na表示。
�。�3）負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握兩個(gè)公式：n為奇數(shù)時(shí)，(na)n=a，n為偶數(shù)時(shí)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
作業(yè)
課本習(xí)題2.1A組1.
補(bǔ)充作業(yè)：
1、化簡(jiǎn)下列各式：
(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.
解：(1)681=634=332=39;
(2)15-32=-1525=-32;
(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.
2、若5
解析：因?yàn)?
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：對(duì)雙重二次根式，我們覺(jué)得難以下筆，我們考慮只有在開(kāi)方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，
不難看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
設(shè)計(jì)感想
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的平方根和立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣，本節(jié)課由于方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解，在引入根式的概念時(shí)，要結(jié)合已學(xué)內(nèi)容，列舉具體實(shí)例，根式na的講解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來(lái)進(jìn)行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，并結(jié)合具體例子講解，因此設(shè)計(jì)了大量的類比和練習(xí)題目，要靈活處理這些題目，幫助學(xué)生加以理解，所以需要用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教學(xué)。
第2課時(shí)
作者：郝云靜
導(dǎo)入新課
思路1.碳14測(cè)年法。原來(lái)宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并與氧結(jié)合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收，再為動(dòng)物吸收，只要植物和動(dòng)物生存著，它們就會(huì)不斷地吸收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平。而當(dāng)有機(jī)體死亡后，即會(huì)停止吸收碳14，其組織內(nèi)的碳14便以約5 730年的半衰期開(kāi)始衰變并消失。對(duì)于任何含碳物質(zhì)只要測(cè)定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代（半衰期：經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，變?yōu)樵瓉?lái)的一半）。引出本節(jié)課題：指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。
思路2.同學(xué)們，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)，那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是肯定的。這就是本節(jié)的主講內(nèi)容，教師板書本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
�。�1）整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么？
（2）觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a>0，
�、�；
②a8=(a4)2=a4=，；
�、�4a12=4(a3)4=a3=；
�、�2a10=2(a5)2=a5= 。
�。�3）利用(2)的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？
，，，(x>0，m，n∈正整數(shù)集，且n>1)。
�。�4）你能用方根的意義來(lái)解釋(3)的式子嗎？
�。�5）你能推廣到一般的情形嗎？
活動(dòng)：學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算性質(zhì)，仔細(xì)觀察，特別是每題的開(kāi)始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類比(2)的規(guī)律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對(duì)寫正確的同學(xué)及時(shí)表?yè)P(yáng)，其他學(xué)生鼓勵(lì)提示。
討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無(wú)意義；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
�。�2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實(shí)質(zhì)上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質(zhì)沒(méi)變。
根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式（分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式）。
�。�3）利用(2)的規(guī)律，453=，375=，5a7=，nxm= 。
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。
結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的。
�。�5）如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)。
綜上所述，我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，教師板書：
規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)。
提出問(wèn)題
�。�1）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的？
（2）你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎？
�。�3）你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義？
�。�4）綜合上述，如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義？
（5）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a>0，去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果？
（6）既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢？
活動(dòng)：學(xué)生回想初中學(xué)習(xí)的情形，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會(huì)回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義來(lái)類比，把正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義融合起來(lái)，與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，教師在黑板上板書，學(xué)生合作交流，以具體的實(shí)例說(shuō)明a>0的必要性，教師及時(shí)作出評(píng)價(jià)。
討論結(jié)果：(1)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
�。�2）既然負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義。
規(guī)定：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
�。�3）規(guī)定：零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。
�。�4）教師板書分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義。分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是：
正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。
�。�5）若沒(méi)有a>0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢？
如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說(shuō)明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時(shí)是無(wú)意義的。因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，切記要使底數(shù)大于零，如無(wú)a>0的條件，比如式子3a2=，同時(shí)負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方是有意義的，負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方時(shí)，應(yīng)把負(fù)號(hào)移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也就是說(shuō)，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上。
�。�6）規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。
有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：
�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，
�、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解決一些問(wèn)題，來(lái)看下面的例題。
應(yīng)用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法，利用冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出數(shù)值或化成最簡(jiǎn)根式，根據(jù)題目要求，把底數(shù)寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來(lái)。
解：(1) =22=4;
�。�2）=5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
�。�4）=23-3=278.
點(diǎn)評(píng)：本例主要考查冪值運(yùn)算，要按規(guī)定來(lái)解。在進(jìn)行冪值運(yùn)算時(shí)，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運(yùn)算，而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運(yùn)算，如=382=364=4.
例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，要由里往外依次進(jìn)行，把握好運(yùn)算性質(zhì)和順序，學(xué)生討論交流自己的解題步驟，教師評(píng)價(jià)學(xué)生的解題情況，鼓勵(lì)學(xué)生注意總結(jié)。
解：a3?a=a3? =；
a2?3a2=a2? =；
a3a= 。
點(diǎn)評(píng)：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算。對(duì)于計(jì)算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示，沒(méi)有特別要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式來(lái)表示，但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)。
例3計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）。
�。�1）；
�。�2）。
活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，四則運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來(lái)，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算，可以用單項(xiàng)式的乘除法運(yùn)算順序進(jìn)行，要注意符號(hào)，第(2)小題是乘方運(yùn)算，可先按積的乘方計(jì)算，再按冪的乘方進(jìn)行計(jì)算，熟悉后可以簡(jiǎn)化步驟。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
�。�2）=m2n-3=m2n3.
點(diǎn)評(píng)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法。有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，就可把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算了。
本例主要是指數(shù)冪的運(yùn)算法則的綜合考查和應(yīng)用。
變式訓(xùn)練
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4計(jì)算下列各式：
（1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，化為同底。利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計(jì)算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計(jì)算，這樣就簡(jiǎn)便多了，第(2)小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算，最后寫出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)1,2,3
【補(bǔ)充練習(xí)】
教師用實(shí)物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答，教師巡視，啟發(fā)，對(duì)做得好的同學(xué)給予表?yè)P(yáng)鼓勵(lì)。
1、(1)下列運(yùn)算中，正確的是（）
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
�。�2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是（）
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
�。�3）(34a6)2?(43a6)2等于（）
A.a B.a2 C.a3 D.a4
（4）把根式-25(a-b)-2改寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為（）
A. B.
C. D.
�。�5）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、計(jì)算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
�。�2）設(shè)5x=4,5y=2，則52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x 答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3、解：。 因?yàn)閤+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因?yàn)閤 所以原式= =12-6-63=-33. 拓展提升 1、化簡(jiǎn)：。 活動(dòng)：學(xué)生觀察式子特點(diǎn)，考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路，應(yīng)對(duì)原式進(jìn)行因式分解，根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到： x-1= -13=； x+1= +13=； 。 構(gòu)建解題思路教師適時(shí)啟發(fā)提示。 解： = = = = 。 點(diǎn)撥：解這類題目，要注意運(yùn)用以下公式， =a-b， =a± +b， =a±b. 2、已知，探究下列各式的值的求法。 (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。 解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7; �。�2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47; �。�3）由于， 所以有=a+a-1+1=8. 點(diǎn)撥：對(duì)“條件求值”問(wèn)題，一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值。 課堂小結(jié) 活動(dòng)：教師，本節(jié)課同學(xué)們有哪些收獲？請(qǐng)把你的學(xué)習(xí)收獲記錄在你的筆記本上，同學(xué)們之間相互交流。同時(shí)教師用投影儀顯示本堂課的知識(shí)要點(diǎn)： �。�1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。 �。�2）規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。 �。�3）有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)： �、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)， �、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)， ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。 �。�4）說(shuō)明兩點(diǎn)： ①分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性，其中沒(méi)有推出關(guān)系。 �、谡麛�(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用。因而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以利用=am來(lái)計(jì)算。 作業(yè) 課本習(xí)題2.1A組2,4. 設(shè)計(jì)感想 本節(jié)課是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用，分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，要讓學(xué)生反復(fù)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中可以通過(guò)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化來(lái)鞏固加深對(duì)這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒(méi)有合理的解釋，因此多安排一些練習(xí)，強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固知識(shí)，要輔助以信息技術(shù)的手段來(lái)完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù)。 第3課時(shí) 作者：鄭芳鳴 導(dǎo)入新課 思路1.同學(xué)們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒(méi)有無(wú)理數(shù)指數(shù)冪呢？回顧數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分?jǐn)?shù)（有理數(shù)），有理數(shù)到實(shí)數(shù)。并且知道，在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中，增添的數(shù)是無(wú)理數(shù)。對(duì)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴(kuò)充而來(lái)。既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書本堂課的課題〔指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)〕之無(wú)理數(shù)指數(shù)冪。 思路2.同學(xué)們，在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí)，對(duì)函數(shù)有了一個(gè)初步的了解，到了高中，我們又對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種簡(jiǎn)單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足我們的需要，隨著科學(xué)的發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步，我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，我們必須學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí)：指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)之無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，教師板書本節(jié)課的課題。 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 �。�1）我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？ �。�2）多媒體顯示以下圖表：同學(xué)們從上面的兩個(gè)表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律？ 2的過(guò)剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 的近似值 2的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 … … （3）你能給上述思想起個(gè)名字嗎？ �。�4）一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數(shù)呢？如，根據(jù)你學(xué)過(guò)的知識(shí)，能作出判斷并合理地解釋嗎？ �。�5）借助上面的結(jié)論你能說(shuō)出一般性的結(jié)論嗎？ 活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶，教師提問(wèn)，學(xué)生回答，積極交流，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生，學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容： 問(wèn)題(1)從近似值的分類來(lái)考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向。 問(wèn)題(2)對(duì)圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián)。 問(wèn)題(3)上述方法實(shí)際上是無(wú)限接近，最后是逼近。 問(wèn)題(4)對(duì)問(wèn)題給予大膽猜測(cè)，從數(shù)軸的觀點(diǎn)加以解釋。 問(wèn)題(5)在(3)(4)的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。 討論結(jié)果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數(shù)都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數(shù)都大于2，稱2的過(guò)剩近似值。 �。�2）第一個(gè)表：從大于2的方向逼近2時(shí)，就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。 第二個(gè)表：從小于2的方向逼近2時(shí)，就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。 從另一角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn)，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以說(shuō)從兩個(gè)方向無(wú)限地接近，即逼近，所以是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實(shí)上表示這些數(shù)的點(diǎn)從兩個(gè)方向向表示的點(diǎn)靠近，但這個(gè)點(diǎn)一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是一定是一個(gè)實(shí)數(shù)，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5. 充分表明是一個(gè)實(shí)數(shù)。 �。�3）逼近思想，事實(shí)上里面含有極限的思想，這是以后要學(xué)的知識(shí)。 （4）根據(jù)(2)(3)我們可以推斷是一個(gè)實(shí)數(shù)，猜測(cè)一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪是一個(gè)實(shí)數(shù)。 �。�5）無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義： 一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0，α是無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。 也就是說(shuō)無(wú)理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中，我們知道有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。我們規(guī)定了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪。 提出問(wèn)題 （1）為什么在規(guī)定無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義時(shí)，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？ （2）無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是怎樣的？是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則相通呢？ �。�3）你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則嗎？ 活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作，交流探討，引導(dǎo)他們用反例說(shuō)明問(wèn)題，注意類比，歸納。 對(duì)問(wèn)題(1)回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義時(shí)對(duì)底數(shù)的規(guī)定，舉例說(shuō)明。 對(duì)問(wèn)題（2)結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，既然無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，那么無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則類似，并且相通。 對(duì)問(wèn)題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則自然就得到了。 討論結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無(wú)法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，就不會(huì)再造成混亂。 �。�2）因?yàn)闊o(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算，也能進(jìn)行冪的運(yùn)算，有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，同樣也適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪。類比有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以得到無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則： �、賏r?as=ar+s（a>0，r，s都是無(wú)理數(shù)）。 �、冢╝r)s=ars(a>0，r，s都是無(wú)理數(shù)）。 ③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無(wú)理數(shù)）。 �。�3）指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪。 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： 對(duì)任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)： �、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。 ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。 �、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。 應(yīng)用示例 例1利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算。（精確到0.001） (1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。 活動(dòng)：教師教會(huì)學(xué)生利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算，熟悉計(jì)算器的各鍵的功能，正確輸入各類數(shù)，算出數(shù)值，對(duì)于(1)，可先按底數(shù)0.3，再按xy鍵，再按冪指數(shù)2.1，最后按=，即可求得它的值； 對(duì)于(2)，先按底數(shù)3.14，再按xy鍵，再按負(fù)號(hào)-鍵，再按3，最后按=即可； 對(duì)于(3)，先按底數(shù)3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可； 對(duì)于(4)，這種無(wú)理指數(shù)冪，可先按底數(shù)3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵。有時(shí)也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運(yùn)算。 學(xué)生可以相互交流，挖掘計(jì)算器的用途。 解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705. 點(diǎn)評(píng)：熟練掌握用計(jì)算器計(jì)算冪的值的方法與步驟，感受現(xiàn)代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會(huì)；用四舍五入法求近似值，若保留小數(shù)點(diǎn)后n位，只需看第(n+1)位能否進(jìn)位即可。 例2求值或化簡(jiǎn)。 (1)a-4b23ab2(a>0，b>0)； �。�2）(a>0，b>0)； (3)5-26+7-43-6-42. 活動(dòng)：學(xué)生觀察，思考，所謂化簡(jiǎn)，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達(dá)到最簡(jiǎn)，對(duì)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于運(yùn)算，教師有針對(duì)性地提示引導(dǎo)，對(duì)(1)由里向外把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，要緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)(2)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)當(dāng)統(tǒng)一起來(lái)，化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，對(duì)(3)有多重根號(hào)的式子，應(yīng)先去根號(hào)，這里是二次根式，被開(kāi)方數(shù)應(yīng)湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià)，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律。 解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。 點(diǎn)評(píng)：根式的運(yùn)算常常化成冪的運(yùn)算進(jìn)行，計(jì)算結(jié)果如沒(méi)有特殊要求，就用根式的形式來(lái)表示。 一、教學(xué)目標(biāo) (1)了解含有“或”、“且”、“非”復(fù)合命題的概念及其構(gòu)成形式; (2)理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義; (3)能用邏輯聯(lián)結(jié)詞和簡(jiǎn)單命題構(gòu)成不同形式的復(fù)合命題; (4)能識(shí)別復(fù)合命題中所用的邏輯聯(lián)結(jié)詞及其聯(lián)結(jié)的簡(jiǎn)單命題; (5)會(huì)用真值表判斷相應(yīng)的復(fù)合命題的真假; (6)在知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單推理的技能. 二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)： 重點(diǎn)是判斷復(fù)合命題真假的方法;難點(diǎn)是對(duì)“或”的含義的理解. 三、教學(xué)過(guò)程 1.新課導(dǎo)入 在當(dāng)今社會(huì)中，人們從事任何工作、學(xué)習(xí)，都離不開(kāi)邏輯.具有一定邏輯知識(shí)是構(gòu)成一個(gè)公民的文化素質(zhì)的重要方面.數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是邏輯性強(qiáng)，特別是進(jìn)入高中以后，所學(xué)的教學(xué)比初中更強(qiáng)調(diào)邏輯性.如果不學(xué)習(xí)一定的邏輯知識(shí)，將會(huì)在我們學(xué)習(xí)的過(guò)程中不知不覺(jué)地經(jīng)常犯邏輯性的錯(cuò)誤.其實(shí)，同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)開(kāi)始接觸一些簡(jiǎn)易邏輯的知識(shí). 初一平面幾何中曾學(xué)過(guò)命題，請(qǐng)同學(xué)們舉一個(gè)命題的例子.(板書：命題.) (從初中接觸過(guò)的“命題”入手，提出問(wèn)題，進(jìn)而學(xué)習(xí)邏輯的有關(guān)知識(shí).) 學(xué)生舉例：平行四邊形的對(duì)角線互相平. ……(1) 兩直線平行，同位角相等.…………(2) 教師提問(wèn)：“……相等的角是對(duì)頂角”是不是命題?……(3) (同學(xué)議論結(jié)果，答案是肯定的) 教師提問(wèn)：什么是命題? (學(xué)生進(jìn)行回憶、思考.) 概念總結(jié)：對(duì)一件事情作出了判斷的語(yǔ)句叫做命題. (教師肯定了同學(xué)的回答，并作板書.) 由于判斷有正確與錯(cuò)誤之分，所以命題有真假之分，命題(1)、(2)是真命題，而(3)是假命題. (教師利用投影片，和學(xué)生討論以下問(wèn)題.) 例1 判斷以下各語(yǔ)句是不是命題，若是，判斷其真假： 命題一定要對(duì)一件事情作出判斷，(3)、(4)沒(méi)有對(duì)一件事情作出判斷，所以它們不是命題. 初中所學(xué)的命題概念涉及邏輯知識(shí)，我們今天開(kāi)始要在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，介紹簡(jiǎn)易邏輯的知識(shí). 2.講授新課 大家看課本(人教版，試驗(yàn)修訂本，第一冊(cè)(上))從第25頁(yè)至26頁(yè)例1前，并歸納一下這段內(nèi)容主要講了哪些問(wèn)題? (片刻后請(qǐng)同學(xué)舉手回答，一共講了四個(gè)問(wèn)題.師生一道歸納如下.) (1)什么叫做命題? 可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題. 判斷一個(gè)語(yǔ)句是不是命題，關(guān)鍵看這語(yǔ)句有沒(méi)有對(duì)一件事情作出了判斷，疑問(wèn)句、祈使句都不是命題.有些語(yǔ)句中含有變量，如 中含有變量 ，在不給定變量的值之前，我們無(wú)法確定這語(yǔ)句的真假(這種含有變量的語(yǔ)句叫做“開(kāi)語(yǔ)句”). (2)介紹邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”. “或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.邏輯聯(lián)結(jié)詞除這三種形式外，還有“若…則…”和“當(dāng)且僅當(dāng)”兩種形式. 對(duì)“或”的理解，可聯(lián)想到集合中“并集”的概念. 中的“或”，它是指“ ”、“ ”中至少一個(gè)是成立的，即 且 ;也可以 且 ;也可以 且 .這與生活中“或”的含義不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去這種可能. 對(duì)“且”的理解，可聯(lián)想到集合中“交集”的概念. 中的“且”，是指“ ”、“ 這兩個(gè)條件都要滿足的意思. 對(duì)“非”的理解，可聯(lián)想到集合中的'“補(bǔ)集”概念，若命題 對(duì)應(yīng)于集合 ，則命題非 就對(duì)應(yīng)著集合 在全集 中的補(bǔ)集 . 命題可分為簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題. 不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫做簡(jiǎn)單命題.簡(jiǎn)單命題是不含其他命題作為其組成部分(在結(jié)構(gòu)上不能再分解成其他命題)的命題. 由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做復(fù)合命題，如“6是自然數(shù)且是偶數(shù)”就是由簡(jiǎn)單命題“6是自然數(shù)”和“6是偶數(shù)”由邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”構(gòu)成的復(fù)合命題. (4)命題的表示：用 ， ， ， ，……來(lái)表示. (教師根據(jù)學(xué)生回答的情況作補(bǔ)充和強(qiáng)調(diào)，特別是對(duì)復(fù)合命題的概念作出分析和展開(kāi).) 我們接觸的復(fù)合命題一般有“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”、“若 則 ”等形式. 給出一個(gè)含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題，應(yīng)能說(shuō)出構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題和弄清它所用的邏輯聯(lián)結(jié)詞;應(yīng)能根據(jù)所給出的兩個(gè)簡(jiǎn)單命題，寫出含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題. 對(duì)于給出“若 則 ”形式的復(fù)合命題，應(yīng)能找到條件 和結(jié)論 . 在判斷一個(gè)命題是簡(jiǎn)單命題還是復(fù)合命題時(shí)，不能只從字面上來(lái)看有沒(méi)有“或”、“且”、“非”.例如命題“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合”，此命題字面上無(wú)“且”;命題“5的倍數(shù)的末位數(shù)字不是0就是5”的字面上無(wú)“或”，但它們都是復(fù)合命題. 3.鞏固新課 例2 判斷下列命題，哪些是簡(jiǎn)單命題，哪些是復(fù)合命題.如果是復(fù)合命題，指出它的構(gòu)成形式以及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題. (1) ; (2)0.5非整數(shù); (3)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行; (4)菱形的對(duì)角線互相垂直且平分; (5)平行線不相交; (6)若 ，則 . (讓學(xué)生有充分的時(shí)間進(jìn)行辨析.教材中對(duì)“若…則…”不作要求，教師可以根據(jù)學(xué)生的情況作些補(bǔ)充.) 例3 寫出下表中各給定語(yǔ)的否定語(yǔ)(用課件打出來(lái)). 若給定語(yǔ)為 等于 大于 是 都是 至多有一個(gè) 至少有一個(gè) 至多有個(gè) 其否定語(yǔ)分別為 分析：“等于”的否定語(yǔ)是“不等于”; “大于”的否定語(yǔ)是“小于或者等于”; “是”的否定語(yǔ)是“不是”; “都是”的否定語(yǔ)是“不都是”; “至多有一個(gè)”的否定語(yǔ)是“至少有兩個(gè)”; “至少有一個(gè)”的否定語(yǔ)是“一個(gè)都沒(méi)有”; “至多有 個(gè)”的否定語(yǔ)是“至少有 個(gè)”. (如果時(shí)間寬裕，可讓學(xué)生討論后得出結(jié)論.) 置疑：“或”、“且”的否定是什么?(視學(xué)生的情況、課堂時(shí)間作適當(dāng)?shù)谋嫖雠c展開(kāi).) 4.課堂練習(xí)：第26頁(yè)練習(xí)1 5.課外作業(yè)：第29頁(yè)習(xí)題1.6 教學(xué)目標(biāo)： (1)理解子集、真子集、補(bǔ)集、兩個(gè)集合相等概念; (2)了解全集、空集的意義。 (3)掌握有關(guān)子集、全集、補(bǔ)集的符號(hào)及表示方法，會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)表示的能力; (4)會(huì)求已知集合的子集、真子集，會(huì)求全集中子集在全集中的補(bǔ)集; (5)能判斷兩集合間的包含、相等關(guān)系，并會(huì)用符號(hào)及圖形(文氏圖)準(zhǔn)確地表示出來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想; (6)培養(yǎng)學(xué)生用集合的觀點(diǎn)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。 教學(xué)重點(diǎn)： 子集、補(bǔ)集的概念 教學(xué)難點(diǎn)： 弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別 教學(xué)用具： 幻燈機(jī) 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) (一)導(dǎo)入新課 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了集合、元素、集合中元素的三性、元素與集合的關(guān)系等知識(shí)。 【提出問(wèn)題】(投影打出) 已知xx，xx，xx，問(wèn)： 1、哪些集合表示方法是列舉法。 2、哪些集合表示方法是描述法。 3、將集M、集從集P用圖示法表示。 4、分別說(shuō)出各集合中的元素。 5、將每個(gè)集合中的元素與該集合的關(guān)系用符號(hào)表示出來(lái)、將集N中元素3與集M的關(guān)系用符號(hào)表示出來(lái)。 6、集M中元素與集N有何關(guān)系、集M中元素與集P有何關(guān)系。 【找學(xué)生回答】 1、集合M和集合N;(口答) 2、集合P;(口答) 3、(筆練結(jié)合板演) 4、集M中元素有-1，1;集N中元素有-1，1，3;集P中元素有-1，1、(口答) 5、xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx(筆練結(jié)合板演) 6、集M中任何元素都是集N的元素、集M中任何元素都是集P的元素、(口答) 【引入】在上面見(jiàn)到的集M與集N;集M與集P通過(guò)元素建立了某種關(guān)系，而具有這種關(guān)系的兩個(gè)集合在今后學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)，本節(jié)將研究有關(guān)兩個(gè)集合間關(guān)系的問(wèn)題、 (二)新授知識(shí) 1、子集 (1)子集定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說(shuō)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。 記作：xx讀作：A包含于B或B包含A 當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時(shí)，則記作：AxxB或BxxA、 性質(zhì)：①xx(任何一個(gè)集合是它本身的子集) �、趚x(空集是任何集合的子集) 【置疑】能否把子集說(shuō)成是由原來(lái)集合中的部分元素組成的集合? 【解疑】不能把A是B的子集解釋成A是由B中部分元素所組成的集合。 因?yàn)锽的子集也包括它本身，而這個(gè)子集是由B的全體元素組成的空集也是B的子集，而這個(gè)集合中并不含有B中的元素、由此也可看到，把A是B的子集解釋成A是由B的部分元素組成的集合是不確切的。 (2)集合相等：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B，記作A=B。 例：xx，可見(jiàn)，集合x(chóng)x，是指A、B的所有元素完全相同。 (3)真子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果xx，并且xx，我們就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作：xx(或xx)，讀作A真包含于B或B真包含A。 【思考】能否這樣定義真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集�！� 集合B同它的真子集A之間的關(guān)系，可用文氏圖表示，其中兩個(gè)圓的內(nèi)部分別表示集合A，B。 【提問(wèn)】 (1)xx寫出數(shù)集N，Z，Q，R的包含關(guān)系，并用文氏圖表示。 (2)xx判斷下列寫法是否正確 �、賦xAxx②xxAxx③xx④AxxA 性質(zhì)： (1)空集是任何非空集合的真子集。若xxAxx，且A≠xx，則xxA; (2)如果xx，xx，則xx。 例1xx寫出集合x(chóng)x的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集、 解：集合x(chóng)x的所有的子集是xx，xx，xx，xx，其中xx，xx，xx是xx的真子集。 【注意】(1)子集與真子集符號(hào)的方向。 (2)易混符號(hào) �、佟皒x”與“xx”：元素與集合之間是屬于關(guān)系;集合與集合之間是包含關(guān)系。如xxR，{1}xx{1，2，3} �、趝0}與xx：{0}是含有一個(gè)元素0的集合，xx是不含任何元素的集合。 如：xx{0}。不能寫成xx={0}，xx∈{0} 例2xx見(jiàn)教材P8(解略) 例3xx判斷下列說(shuō)法是否正確，如果不正確，請(qǐng)加以改正、 (1)xx表示空集; (2)空集是任何集合的真子集; (3)xx不是xx; (4)xx的所有子集是xx; (5)如果xx且xx，那么B必是A的真子集; (6)xx與xx不能同時(shí)成立、 解：(1)xx不表示空集，它表示以空集為元素的`集合，所以(1)不正確; (2)不正確、空集是任何非空集合的真子集; (3)不正確、xx與xx表示同一集合; (4)不正確、xx的所有子集是xx; (5)正確 (6)不正確、當(dāng)xx時(shí)，xx與xx能同時(shí)成立、 例4xx用適當(dāng)?shù)姆?hào)(xx，xx)填空： (1)xx;xx;xx; (2)xx;xx; (3)xx; (4)設(shè)xx，xx，xx，則AxxBxxC、 解：(1)0xx0xx; (2)xx=xx，xx; (3)xx，xx∴xx; (4)A，B，C均表示所有奇數(shù)組成的集合，∴A=B=C、 【練習(xí)】教材P9 用適當(dāng)?shù)姆?hào)(xx，xx)填空： (1)xx;xx(5)xx; (2)xx;xx(6)xx; (3)xx;xx(7)xx; (4)xx;xx(8)xx、 解：(1)xx;(2)xx;(3)xx;(4)xx;(5)=;(6)xx;(7)xx;(8)xx、 提問(wèn)：見(jiàn)教材P9例子 (二)xx全集與補(bǔ)集 1、補(bǔ)集：一般地，設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集(即xx)，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)，記作xx，即 、 A在S中的補(bǔ)集xx可用右圖中陰影部分表示、 性質(zhì)：xxS(xxSA)=A 如：(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，則xxSA={2，4，6}; (2)若A={0}，則xxNA=N; (3)xxRQ是無(wú)理數(shù)集。 2、全集： 如果集合S中含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集，全集通常用xx表示。 注：xx是對(duì)于給定的全集xx而言的，當(dāng)全集不同時(shí)，補(bǔ)集也會(huì)不同。 例如：若xx，當(dāng)xx時(shí)，xx;當(dāng)xx時(shí)，則xx。 例5xx設(shè)全集xx，xx，xx，判斷xx與xx之間的關(guān)系。 解： 練習(xí)：見(jiàn)教材P10練習(xí) 1、填空： xx，xx，那么xx，xx。 解：xx， 2、填空： (1)如果全集xx，那么N的補(bǔ)集xx; (2)如果全集，xx，那么xx的補(bǔ)集xx(xx)=xx、 解：(1)xx;(2)xx。 (三)小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1、五個(gè)概念(子集、集合相等、真子集、補(bǔ)集、全集，其中子集、補(bǔ)集為重點(diǎn)) 2、五條性質(zhì) (1)空集是任何集合的子集。ΦxxA (2)空集是任何非空集合的真子集。ΦxxAxx(A≠Φ) (3)任何一個(gè)集合是它本身的子集。 (4)如果xx，xx，則xx、 (5)xxS(xxSA)=A 3、兩組易混符號(hào)：(1)“xx”與“xx”：(2){0}與 (四)課后作業(yè)：見(jiàn)教材P10習(xí)題1、2 猴子搬香蕉 一個(gè)小猴子邊上有100根香蕉，它要走過(guò)50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，（多了就被壓死了），它每走1米就要吃掉一根，請(qǐng)問(wèn)它最多能把多少根香蕉搬到家里？ 解答： 100只香蕉分兩次，一次運(yùn)50只，走1米，再回去搬另外50只，這樣走了1米的時(shí)候，前50只吃掉了兩只，后50只吃掉了1只，剩下48＋49只；兩米的時(shí)候剩下46＋48只；...到16米的時(shí)候剩下（50－2×16）＋（50－16）＝18＋34只；17米的時(shí)候剩下16＋33只，共49只；然后把剩下的這49只一次運(yùn)回去，要走剩下的33米，每米吃一個(gè)，到家還有16個(gè)香蕉。 河岸的距離 兩艘輪船在同一時(shí)刻駛離河的兩岸，一艘從A駛往B，另一艘從B開(kāi)往A，其中一艘開(kāi)得比另一艘快些，因此它們?cè)诰嚯x較近的岸500公里處相遇。到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)后，每艘船要停留15分鐘，以便讓乘客上下船，然后它們又返航。這兩艘渡輪在距另一岸100公里處重新相遇。試問(wèn)河有多寬？ 解答： 當(dāng)兩艘渡輪在x點(diǎn)相遇時(shí)，它們距A岸500公里，此時(shí)它們走過(guò)的距離總和等于河的寬度。當(dāng)它們雙方抵達(dá)對(duì)岸時(shí)，走過(guò)的總長(zhǎng)度 等于河寬的兩倍。在返航中，它們?cè)趜點(diǎn)相遇，這時(shí)兩船走過(guò)的距離之和等于河寬的三倍，所以每一艘渡輪現(xiàn)在所走的距離應(yīng)該等于它們第一次相遇時(shí)所走的距離的三倍。在兩船第一次相遇時(shí)，有一艘渡輪走了500公里，所以當(dāng)它到達(dá)z點(diǎn)時(shí)，已經(jīng)走了三倍的距離，即1500公里，這個(gè)距離比河的寬度多100公里。所以，河的寬度為1400公里。每艘渡輪的上、下客時(shí)間對(duì)答案毫無(wú)影響。 變量交換 不使用任何其他變量，交換a，b變量的值？ 分析與解答 a = a+b b = a-b a= a-b 步行時(shí)間 某公司的辦公大樓在市中心，而公司總裁溫斯頓的家在郊區(qū)一個(gè)小鎮(zhèn)的附近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火車回小鎮(zhèn)。小鎮(zhèn)車站離家還有一段距離，他的私人司機(jī)總是在同一時(shí)刻從家里開(kāi)出轎車，去小鎮(zhèn)車站接總裁回家。由于火車與轎車都十分準(zhǔn)時(shí)，因此，火車與轎車每次都是在同一時(shí)刻到站。 有一次，司機(jī)比以往遲了半個(gè)小時(shí)出發(fā)。溫斯頓到站后，找不到 他的車子，又怕回去晚了遭老婆罵，便急匆匆沿著公路步行往家里走，途中遇到他的轎車正風(fēng)馳電掣而來(lái)，立即招手示意停車，跳上車子后也顧不上罵司機(jī)，命其馬上掉頭往回開(kāi)。回到家中，果不出所料，他老婆大發(fā)雷霆：“又到哪兒鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分鐘??”。溫斯頓步行了多長(zhǎng)時(shí)間？ 解答： 假如溫斯頓一直在車站等候，那么由于司機(jī)比以往晚了半小時(shí)出發(fā)，因此，也將晚半小時(shí)到達(dá)車站。也就是說(shuō)，溫斯頓將在車站空等半小時(shí)，等他的轎車到達(dá)后坐車回家，從而他將比以往晚半小時(shí)到家。而現(xiàn)在溫斯頓只比平常晚22分鐘到家，這縮短下來(lái)的8分鐘是如果總裁在火車站死等的話，司機(jī)本來(lái)要花在從現(xiàn)在遇到溫斯頓總裁的地點(diǎn)到火車站再回到這個(gè)地點(diǎn)上的時(shí)間。這意味著，如果司機(jī)開(kāi)車從現(xiàn)在遇到總裁的地點(diǎn)趕到火車站，單程所花的時(shí)間將為4分鐘。因此，如果溫斯頓等在火車站，再過(guò)4分鐘，他的轎車也到了。也就是說(shuō)，他如果等在火車站，那么他也已經(jīng)等了30-4=26分鐘了。但是懼內(nèi)的溫斯頓總裁畢竟沒(méi)有等，他心急火燎地趕路，把這26分鐘全都花在步行上了。 因此，溫斯頓步行了26分鐘。 付清欠款 有四個(gè)人借錢的數(shù)目分別是這樣的：阿伊庫(kù)向貝爾借了10美元； 貝爾向查理借了20美元；查理向迪克借了30美元；迪克又向阿伊庫(kù)借了40美元。碰巧四個(gè)人都在場(chǎng)，決定結(jié)個(gè)賬，請(qǐng)問(wèn)最少只需要?jiǎng)佑枚嗌倜澜鹁涂梢詫⑺星房钜淮胃肚澹?/p> 解答： 貝爾、查理、迪克各自拿出10美元給阿伊庫(kù)就可解決問(wèn)題了。這樣的話只動(dòng)用了30美元。最笨的辦法就是用100美元來(lái)一一付清。 貝爾必須拿出10美元的欠額，查理和迪克也一樣；而阿伊庫(kù)則要收回借出的30美元。再?gòu)?fù)雜的問(wèn)題只要有條理地分析就會(huì)很簡(jiǎn)單。養(yǎng)成經(jīng)常性地歸納整理、摸索實(shí)質(zhì)的好習(xí)慣。 一美元紙幣 注：美國(guó)貨幣中的'硬幣有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元這幾種面值。 一家小店剛開(kāi)始營(yíng)業(yè)，店堂中只有三位男顧客和一位女店主。當(dāng)這三位男士同時(shí)站起來(lái)付帳的時(shí)候，出現(xiàn)了以下的情況： �。�1）這四個(gè)人每人都至少有一枚硬幣，但都不是面值為1美分或1美元的硬幣。 （2）這四人中沒(méi)有一人能夠兌開(kāi)任何一枚硬幣。 �。�3）一個(gè)叫盧的男士要付的賬單款額最大，一位叫莫的男士要 付的帳單款額其次，一個(gè)叫內(nèi)德的男士要付的賬單款額最小。 �。�4）每個(gè)男士無(wú)論怎樣用手中所持的硬幣付賬，女店主都無(wú)法找清零錢。 （5）如果這三位男士相互之間等值調(diào)換一下手中的硬幣，則每個(gè)人都可以付清自己的賬單而無(wú)需找零。 �。�6）當(dāng)這三位男士進(jìn)行了兩次等值調(diào)換以后，他們發(fā)現(xiàn)手中的硬幣與各人自己原先所持的硬幣沒(méi)有一枚面值相同。 �。�7）隨著事情的進(jìn)一步發(fā)展，又出現(xiàn)如下的情況： �。�8）在付清了賬單而且有兩位男士離開(kāi)以后，留下的男士又買了一些糖果。這位男士本來(lái)可以用他手中剩下的硬幣付款，可是女店主卻無(wú)法用她現(xiàn)在所持的硬幣找清零錢。于是，這位男士用1美元的紙幣付了糖果錢，但是現(xiàn)在女店主不得不把她的全部硬幣都找給了他。 現(xiàn)在，請(qǐng)你不要管那天女店主怎么會(huì)在找零上屢屢遇到麻煩，這三位男士中誰(shuí)用1美元的紙幣付了糖果錢？ 解答： 對(duì)題意的以下兩點(diǎn)這樣理解： �。�2）中不能換開(kāi)任何一個(gè)硬幣，指的是如果任何一個(gè)人不能有2個(gè)5分，否則他能換1個(gè)10分硬幣。 �。�6）中指如果A，B換過(guò)，并且A，C換過(guò)，這就是兩次交換。 教學(xué)目標(biāo) �。�1）了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問(wèn)題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念； （2）了解線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題； �。�3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的'能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問(wèn)題的能力； （4）結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新． 重點(diǎn)難點(diǎn) 理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)。 如何擾實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，并給出解答是教學(xué)難點(diǎn)。 教學(xué)步驟 （一）引入新課 我們已研究過(guò)以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題。那么是否有多個(gè)兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問(wèn)題呢？又什么樣的問(wèn)題不用線性規(guī)劃知識(shí)來(lái)解決呢？ 一、預(yù)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)《平面向量應(yīng)用舉例》，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，建立實(shí)際問(wèn)題與向量的聯(lián)系。 二、預(yù)習(xí)內(nèi)容 閱讀課本內(nèi)容，整理例題，結(jié)合向量的運(yùn)算，解決實(shí)際的幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題。另外，在思考一下幾個(gè)問(wèn)題： 1、例1如果不用向量的方法，還有其他證明方法嗎？ 2、利用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”是什么？ 3、例3中， ⑴為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？ �、苵F1|能等于|G|嗎？為什么？ 三、提出疑惑 同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容。 課內(nèi)探究學(xué)案 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容 1、運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)（向量加減法與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則等）解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問(wèn)題。 2、運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題。 二、學(xué)習(xí)過(guò)程 探究一： �。�1）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論"若，則，且所在直線平行或重合"相類比，你有什么體會(huì)？ （2）舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算的幾何實(shí)例。 例1、證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和。 已知：平行四邊形ABCD。 求證： 試用幾何方法解決這個(gè)問(wèn)題，利用向量的方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”？ （1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系， （2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系， �。�3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。 例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的.關(guān)系嗎？ 探究二：兩個(gè)人提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力。在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越小越省力。這些力的問(wèn)題是怎么回事？ 例3，在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力。你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？ 請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問(wèn)題，思考下面的問(wèn)題： �、艦楹沃禃r(shí)，|F1|最小，最小值是多少？ �、苵F1|能等于|G|嗎？為什么？ 例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸。已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問(wèn)行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少（精確到0。1min）？ 變式訓(xùn)練：兩個(gè)粒子A、B從同一源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，（1）寫出此時(shí)粒子B相對(duì)粒子A的位移s；（2）計(jì)算s在方向上的投影。 三、反思總結(jié) 結(jié)合圖形特點(diǎn)，選定正交基底，用坐標(biāo)表示向量進(jìn)行運(yùn)算解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)幾何問(wèn)題。 代數(shù)化的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運(yùn)算簡(jiǎn)練標(biāo)致，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。有關(guān)長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問(wèn)題常用此法。 本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決實(shí)際問(wèn)題的步驟。 教學(xué)目標(biāo)： 1、理解并掌握曲線在某一點(diǎn)處的切線的概念； 2、理解并掌握曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法； 3、理解切線概念實(shí)際背景，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化 問(wèn)題的能力及數(shù)形結(jié)合思想。 教學(xué)重點(diǎn)： 理解并掌握曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法。 教學(xué)難點(diǎn)： 用“無(wú)限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點(diǎn)處切線的斜率。 教學(xué)過(guò)程： 一、問(wèn)題情境 1、問(wèn)題情境。 如何精確地刻畫曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢？ 如果將點(diǎn)P附近的曲線放大，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)，曲線在點(diǎn)P附近看上去有點(diǎn)像是直線。 如果將點(diǎn)P附近的曲線再放大，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)，曲線在點(diǎn)P附近看上去幾乎成了直線。事實(shí)上，如果繼續(xù)放大，那么曲線在點(diǎn)P附近將逼近一條確定的直線，該直線是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的所有直線中最逼近曲線的一條直線。 因此，在點(diǎn)P附近我們可以用這條直線來(lái)代替曲線，也就是說(shuō)，點(diǎn)P附近，曲線可以看出直線（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲）。 2、探究活動(dòng)。 如圖所示，直線l1，l2為經(jīng)過(guò)曲線上一點(diǎn)P的兩條直線， �。�1）試判斷哪一條直線在點(diǎn)P附近更加逼近曲線； �。�2）在點(diǎn)P附近能作出一條比l1，l2更加逼近曲線的直線l3嗎？ �。�3）在點(diǎn)P附近能作出一條比l1，l2，l3更加逼近曲線的直線嗎？ 二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 切線定義： 如圖，設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn)，直線PQ稱為曲線的割線。 隨著點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，割線PQ在點(diǎn)P附近逼近曲線C，當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線PQ最終就成為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點(diǎn)P處的切線。這種方法叫割線逼近切線。 思考：如上圖，P為已知曲線C上的`一點(diǎn)，如何求出點(diǎn)P處的切線方程？ 三、數(shù)學(xué)運(yùn)用 例1 試求在點(diǎn)（2，4）處的切線斜率。 解法一 分析：設(shè)P（2，4），Q（xQ，f（xQ））， 則割線PQ的斜率為： 當(dāng)Q沿曲線逼近點(diǎn)P時(shí)，割線PQ逼近點(diǎn)P處的切線，從而割線斜率逼近切線斜率； 當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)無(wú)限趨近于P點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，即xQ無(wú)限趨近于2時(shí)，kPQ無(wú)限趨近于常數(shù)4。 從而曲線f（x）＝x2在點(diǎn)（2，4）處的切線斜率為4。 解法二 設(shè)P（2，4），Q（xQ，xQ2），則割線PQ的斜率為： 當(dāng)？x無(wú)限趨近于0時(shí)，kPQ無(wú)限趨近于常數(shù)4，從而曲線f（x）＝x2，在點(diǎn)（2，4）處的切線斜率為4。 練習(xí) 試求在x＝1處的切線斜率。 解：設(shè)P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1），則割線PQ的斜率為： 當(dāng)？x無(wú)限趨近于0時(shí)，kPQ無(wú)限趨近于常數(shù)2，從而曲線f（x）＝x2＋1在x＝1處的切線斜率為2。 小結(jié) 求曲線上一點(diǎn)處的切線斜率的一般步驟： �。�1）找到定點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)； （2）求出割線PQ的斜率； �。�3）當(dāng)時(shí)，割線逼近切線，那么割線斜率逼近切線斜率。 思考 如上圖，P為已知曲線C上的一點(diǎn)，如何求出點(diǎn)P處的切線方程？ 解 設(shè) 所以，當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于點(diǎn)處的切線的斜率。 變式訓(xùn)練 1。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程； 2。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程； 3。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。 課堂練習(xí) 已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。 四、回顧小結(jié) 1、曲線上一點(diǎn)P處的切線是過(guò)點(diǎn)P的所有直線中最接近P點(diǎn)附近曲線的直線，則P點(diǎn)處的變化趨勢(shì)可以由該點(diǎn)處的切線反映（局部以直代曲）。 2、根據(jù)定義，利用割線逼近切線的方法， 可以求出曲線在一點(diǎn)處的切線斜率和方程。 五、課外作業(yè) 教學(xué)目標(biāo)： 1、結(jié)合實(shí)際問(wèn)題情景，理解分層抽樣的必要性和重要性; 2、學(xué)會(huì)用分層抽樣的方法從總體中抽取樣本; 3、并對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣及分層抽樣方法進(jìn)行比較，揭示其相互關(guān)系。 教學(xué)重點(diǎn)： 通過(guò)實(shí)例理解分層抽樣的方法。 教學(xué)難點(diǎn)： 分層抽樣的步驟。 教學(xué)過(guò)程： 一、問(wèn)題情境 1、復(fù)習(xí)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣的概念、特征以及適用范圍。 2、實(shí)例：某校高一、高二和高三年級(jí)分別有學(xué)生名，為了了解全校學(xué)生的視力情況，從中抽取容量為的樣本，怎樣抽取較為合理? 二、學(xué)生活動(dòng) 能否用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣進(jìn)行抽樣，為什么? 指出由于不同年級(jí)的學(xué)生視力狀況有一定的差異，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣進(jìn)行抽樣不能準(zhǔn)確反映客觀實(shí)際，在抽樣時(shí)不僅要使每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，還要注意總體中個(gè)體的層次性。 由于樣本的容量與總體的個(gè)體數(shù)的比為100∶2500=1∶25，所以在各年級(jí)抽取的個(gè)體數(shù)依次是。即40，32，28。 三、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1、分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，常將總體按不同的`特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫“層”。 說(shuō)明： �、俜謱映闃訒r(shí)，由于各部分抽取的個(gè)體數(shù)與這一部分個(gè)體數(shù)的比等于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)的比，每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都是相等的; �、谟捎诜謱映闃映浞掷昧宋覀兯莆盏男畔ⅲ箻颖揪哂休^好的代表性，而且在各層抽樣時(shí)可以根據(jù)具體情況采取不同的抽樣方法，所以分層抽樣在實(shí)踐中有著非常廣泛的應(yīng)用。 2、三種抽樣方法對(duì)照表： 類別： 共同點(diǎn)： 各自特點(diǎn)： 相互聯(lián)系： 適用范圍： 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣： 抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率是相同的： 從總體中逐個(gè)抽�。� 總體中的個(gè)體數(shù)較少： 系統(tǒng)抽樣： 將總體均分成幾個(gè)部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取： 在第一部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣： 總體中的個(gè)體數(shù)較多： 分層抽樣： 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取： 各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)： 總體由差異明顯的幾部分組成： 3、分層抽樣的步驟： (1)分層：將總體按某種特征分成若干部分。 (2)確定比例：計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比。 (3)確定各層應(yīng)抽取的樣本容量。 (4)在每一層進(jìn)行抽樣(各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取)，綜合每層抽樣，組成樣本。 四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 1、例題。 (1)分層抽樣中，在每一層進(jìn)行抽樣可用。 (2)①教育局督學(xué)組到學(xué)校檢查工作，臨時(shí)在每個(gè)班各抽調(diào)2人參加座談; ②某班期中考試有15人在85分以上，40人在60-84分，1人不及格�，F(xiàn)欲從中抽出8人研討進(jìn)一步改進(jìn)教和學(xué); ③某班元旦聚會(huì)，要產(chǎn)生兩名“幸運(yùn)者”。 對(duì)這三件事，合適的抽樣方法為 A、分層抽樣，分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B、系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 C、分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 D、系統(tǒng)抽樣，分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 2、某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)某一節(jié)目的喜愛(ài)程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如表中所示： 很喜愛(ài) 喜愛(ài) 一般 不喜愛(ài) 電視臺(tái)為進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和意見(jiàn)，打算從中抽取60人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查，應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣? 解：抽取人數(shù)與總的比是60∶12000=1∶200，則各層抽取的人數(shù)依次是12.175，22.835，19.63，5.36，取近似值得各層人數(shù)分別是12，23，20，5。 然后在各層用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取。 答用分層抽樣的方法抽取，抽取“很喜愛(ài)”、“喜愛(ài)”、“一般”、“不喜愛(ài)”的人數(shù)分別為12，23，20，5。 說(shuō)明：各層的抽取數(shù)之和應(yīng)等于樣本容量，對(duì)于不能取整數(shù)的情況，取其近似值。 3、某學(xué)校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名。為了了解教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開(kāi)方面的某意見(jiàn)，擬抽取一個(gè)容量為20的樣本。 分析： (1)總體容量較小，用抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法都很方便。 (2)總體容量較大，用抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法都比較麻煩，由于人員沒(méi)有明顯差異，且剛好32排，每排人數(shù)相同，可用系統(tǒng)抽樣。 (3)由于學(xué)校各類人員對(duì)這一問(wèn)題的看法可能差異較大，所以應(yīng)采用分層抽樣方法。 五、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1、分層抽樣的概念與特征; 2、三種抽樣方法相互之間的區(qū)別與聯(lián)系。 教學(xué)目標(biāo)： （1）了解坐標(biāo)法和解析幾何的意義，了解解析幾何的基本問(wèn)題。 （2）進(jìn)一步理解曲線的方程和方程的曲線。 �。�3）初步掌握求曲線方程的方法。 �。�4）通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化的能力。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 求曲線的方程。 教學(xué)用具： 計(jì)算機(jī)。 教學(xué)方法： 啟發(fā)引導(dǎo)法，討論法。 教學(xué)過(guò)程： 【引入】 1、提問(wèn)：什么是曲線的方程和方程的曲線。 學(xué)生思考并回答。教師強(qiáng)調(diào)。 2、坐標(biāo)法和解析幾何的意義、基本問(wèn)題。 對(duì)于一個(gè)幾何問(wèn)題，在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示點(diǎn)；用方程表示曲線，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線的性質(zhì)，這一研究幾何問(wèn)題的方法稱為坐標(biāo)法，這門科學(xué)稱為解析幾何。解析幾何的兩大基本問(wèn)題就是： �。�1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程。 �。�2）通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì)。 事實(shí)上，在前邊所學(xué)的直線方程的理論中也有這樣兩個(gè)基本問(wèn)題。而且要先研究如何求出曲線方程，再研究如何用方程研究曲線。本節(jié)課就初步研究曲線方程的求法。 【問(wèn)題】 如何根據(jù)已知條件，求出曲線的方程。 【實(shí)例分析】 例1：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)是、(3，7)，求線段的垂直平分線的方程。 首先由學(xué)生分析：根據(jù)直線方程的知識(shí)，運(yùn)用點(diǎn)斜式即可解決。 解法一：易求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)， 由斜率關(guān)系可求得l的斜率為 于是有 即l的方程為 �、� 分析、引導(dǎo)：上述問(wèn)題是我們?cè)缇蛯W(xué)過(guò)的，用點(diǎn)斜式就可解決�？墒�，你們是否想過(guò)①恰好就是所求的嗎？或者說(shuō)①就是直線的方程？根據(jù)是什么，有證明嗎？ �。ㄍㄟ^(guò)教師引導(dǎo)，是學(xué)生意識(shí)到這是以前沒(méi)有解決的問(wèn)題，應(yīng)該證明，證明的依據(jù)就是定義中的兩條）。 證明：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解。 設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點(diǎn)，則 即 將上式兩邊平方，整理得 這說(shuō)明點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解。 �。�2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程①的任意一解，則 到、的距離分別為 所以，即點(diǎn)在直線上。 綜合(1)、(2)，①是所求直線的方程。 至此，證明完畢�；仡櫳鲜鰞�(nèi)容我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：在證明(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解中，設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點(diǎn)，最后得到式子，如果去掉腳標(biāo)，這不就是所求方程嗎？可見(jiàn)，這個(gè)證明過(guò)程就表明一種求解過(guò)程，下面試試看： 解法二：設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點(diǎn)，也就是點(diǎn)屬于集合 由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)所適合的條件可表示為 將上式兩邊平方，整理得 果然成功，當(dāng)然也不要忘了證明，即驗(yàn)證兩條是否都滿足。顯然，求解過(guò)程就說(shuō)明第一條是正確的（從這一點(diǎn)看，解法二也比解法一優(yōu)越一些）；至于第二條上邊已證。 這樣我們就有兩種求解方程的方法，而且解法二不借助直線方程的理論，又非常自然，還體現(xiàn)了曲線方程定義中點(diǎn)集與對(duì)應(yīng)的思想。因此是個(gè)好方法。 讓我們用這個(gè)方法試解如下問(wèn)題： 例2：點(diǎn)與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)求點(diǎn)的軌跡方程。 分析：這是一個(gè)純粹的幾何問(wèn)題，連坐標(biāo)系都沒(méi)有。所以首先要建立坐標(biāo)系，顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系。然后仿照例1中的解法進(jìn)行求解。 求解過(guò)程略。 【概括總結(jié)】通過(guò)學(xué)生討論，師生共同總結(jié)： 分析上面兩個(gè)例題的求解過(guò)程，我們總結(jié)一下求解曲線方程的大體步驟： 首先應(yīng)有坐標(biāo)系；其次設(shè)曲線上任意一點(diǎn)；然后寫出表示曲線的點(diǎn)集；再代入坐標(biāo)；最后整理出方程，并證明或修正。說(shuō)得更準(zhǔn)確一點(diǎn)就是： �。�1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)例如表示曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）寫出適合條件的點(diǎn)的集合 ��； （3）用坐標(biāo)表示條件，列出方程； �。�4）化方程為最簡(jiǎn)形式； �。�5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的`點(diǎn)。 一般情況下，求解過(guò)程已表明曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；如果求解過(guò)程中的轉(zhuǎn)化都是等價(jià)的，那么逆推回去就說(shuō)明以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。所以，通常情況下證明可省略，不過(guò)特殊情況要說(shuō)明。 上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：建系設(shè)點(diǎn)；寫出集合；列方程；化簡(jiǎn)；修正。 下面再看一個(gè)問(wèn)題： 例3：已知一條曲線在軸的上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程。 【動(dòng)畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過(guò)程和形狀，在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中尋找關(guān)系。 解：設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，軸，垂足是（如圖2），那么點(diǎn)屬于集合 由距離公式，點(diǎn)適合的條件可表示為 �、� 將①式移項(xiàng)后再兩邊平方，得 化簡(jiǎn)得 由題意，曲線在軸的上方，所以，雖然原點(diǎn)的坐標(biāo)(0，0)是這個(gè)方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應(yīng)為，它是關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點(diǎn)，如圖2中所示。 【練習(xí)鞏固】 題目：在正三角形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，已知到三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、，且有，求點(diǎn)軌跡方程。 分析、略解：首先應(yīng)建立坐標(biāo)系，以正三角形一邊所在的直線為一個(gè)坐標(biāo)軸，這條邊的垂直平分線為另一個(gè)軸，建立直角坐標(biāo)系比較簡(jiǎn)單，如圖3所示。設(shè)、的坐標(biāo)為、，則的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為。 根據(jù)條件，代入坐標(biāo)可得 化簡(jiǎn)得 ① 由于題目中要求點(diǎn)在三角形內(nèi)，所以，在結(jié)合①式可進(jìn)一步求出、的范圍，最后曲線方程可表示為 【小結(jié)】師生共同總結(jié)： �。�1）解析幾何研究研究問(wèn)題的方法是什么？ （2）如何求曲線的方程？ （3）請(qǐng)對(duì)求解曲線方程的五個(gè)步驟進(jìn)行評(píng)價(jià)。各步驟的作用，哪步重要，哪步應(yīng)注意什么？ 【作業(yè)】課本第72頁(yè)練習(xí)1，2，3; 一、指導(dǎo)思想與理論依據(jù) 數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人的思維，發(fā)展人的思維的重要學(xué)科。因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”。所以在學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的原則下，要充分揭示獲取知識(shí)和方法的思維過(guò)程。因此本節(jié)課我以建構(gòu)主義的“創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境——提出數(shù)學(xué)問(wèn)題——嘗試解決問(wèn)題——驗(yàn)證解決方法”為主，主要采用觀察、啟發(fā)、類比、引導(dǎo)、探索相結(jié)合的教學(xué)方法。在教學(xué)手段上，則采用多媒體輔助教學(xué)，將抽象問(wèn)題形象化，使教學(xué)目標(biāo)體現(xiàn)的更加完美。 二、教材分析 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(人教A版)數(shù)學(xué)必修四，第一章第三節(jié)的內(nèi)容，其主要內(nèi)容是三角函數(shù)誘導(dǎo)公式中的公式(二)至公式(六).本節(jié)是第一課時(shí)，教學(xué)內(nèi)容為公式(二)、(三)、(四).教材要求通過(guò)學(xué)生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式(一)的基礎(chǔ)上，利用對(duì)稱思想發(fā)現(xiàn)任意角 與 、 、 終邊的對(duì)稱關(guān)系，發(fā)現(xiàn)他們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)他們的三角函數(shù)值的關(guān)系，即發(fā)現(xiàn)、掌握、應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式(二)、(三)、(四)。同時(shí)教材滲透了轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，為培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣提出了要求。為此本節(jié)內(nèi)容在三角函數(shù)中占有非常重要的地位。 三、學(xué)情分析 本節(jié)課的授課對(duì)象是本校高一(1)班全體同學(xué)，本班學(xué)生水平處于中等偏下，但本班學(xué)生具有善于動(dòng)手的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，所以采用發(fā)現(xiàn)的教學(xué)方法應(yīng)該能輕松的完成本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。 四、教學(xué)目標(biāo) (1)基礎(chǔ)知識(shí)目標(biāo)：理解誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，掌握正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式; (2)能力訓(xùn)練目標(biāo)：能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn); (3)創(chuàng)新素質(zhì)目標(biāo)：通過(guò)對(duì)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用，提高三角恒等變形的能力和滲透化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力; (4)個(gè)性品質(zhì)目標(biāo)：通過(guò)誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，感受事物之間的普通聯(lián)系規(guī)律，運(yùn)用化歸等數(shù)學(xué)思想方法，揭示事物的本質(zhì)屬性，培養(yǎng)學(xué)生的唯物史觀。 五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 1.教學(xué)重點(diǎn) 理解并掌握誘導(dǎo)公式。 2.教學(xué)難點(diǎn) 正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式，求三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)三角函數(shù)式。 六、教法學(xué)法以及預(yù)期效果分析 高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思 “授人以魚不如授之以魚”，作為一名老師,我們不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí),更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法, 如何實(shí)現(xiàn)這一目的,要求我們每一位教者苦心鉆研、認(rèn)真探究.下面我從教法、學(xué)法、預(yù)期效果等三個(gè)方面做如下分析。 1.教法 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，而不僅僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不僅僅是為了獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，更主要作用是為了訓(xùn)練人的思維技能，提高人的思維品質(zhì)。 在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，本人以學(xué)生為主題，以發(fā)現(xiàn)為主線，盡力滲透類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，采用提出問(wèn)題、啟發(fā)引導(dǎo)、共同探究、綜合應(yīng)用等教學(xué)模式，還給學(xué)生“時(shí)間”、“空間”， 由易到難，由特殊到一般，盡力營(yíng)造輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生體味學(xué)習(xí)的快樂(lè)和成功的喜悅。 2.學(xué)法 “現(xiàn)代的文盲不是不識(shí)字的人，而是沒(méi)有掌握學(xué)習(xí)方法的人”，很多課堂教學(xué)常常以高起點(diǎn)、大容量、快推進(jìn)的做法，以便教給學(xué)生更多的知識(shí)點(diǎn)，卻忽略了學(xué)生接受知識(shí)需要時(shí)間消化，進(jìn)而泯滅了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與熱情.如何能讓學(xué)生最大程度的消化知識(shí)，提高學(xué)習(xí)熱情是教者必須思考的問(wèn)題。 在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，本人引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)法為思考問(wèn)題、共同探討、解決問(wèn)題 簡(jiǎn)單應(yīng)用、重現(xiàn)探索過(guò)程、練習(xí)鞏固。讓學(xué)生參與探索的全部過(guò)程，讓學(xué)生在獲取新知識(shí)及解決問(wèn)題的方法后，合作交流、共同探索，使之由被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)的自主學(xué)習(xí)。 3.預(yù)期效果 本節(jié)課預(yù)期讓學(xué)生能正確理解誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)、證明過(guò)程，掌握誘導(dǎo)公式，并能熟練應(yīng)用誘導(dǎo)公式了解一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)問(wèn)題。 七、教學(xué)流程設(shè)計(jì) (一)創(chuàng)設(shè)情景 1.復(fù)習(xí)銳角300，450，600的三角函數(shù)值; 2.復(fù)習(xí)任意角的三角函數(shù)定義; 3.問(wèn)題:由xx，你能否知道sin2100的值嗎?引如新課。 設(shè)計(jì)意圖 高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案 高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思。 自信的鼓勵(lì)是增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信，簡(jiǎn)單易做的題加強(qiáng)了每個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，具體數(shù)據(jù)問(wèn)題的出現(xiàn)，讓學(xué)生既有好像會(huì)做的心理但又有迷惑的茫然，去發(fā)掘潛力期待尋找機(jī)會(huì)證明我能行，從而思考解決的辦法。 (二)新知探究 1. 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)300角的終邊與2100角的終邊之間有什么關(guān)系; 2.讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)300角的終邊和2100角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的'坐標(biāo)有什么關(guān)系; 3.Sin2100與sin300之間有什么關(guān)系。 設(shè)計(jì)意圖：由特殊問(wèn)題的引入，使學(xué)生容易了解，實(shí)現(xiàn)教學(xué)過(guò)程的平淡過(guò)度,為同學(xué)們探究發(fā)現(xiàn)任意角 與 的三角函數(shù)值的關(guān)系做好鋪墊。 (三)問(wèn)題一般化 探究一 1.探究發(fā)現(xiàn)任意角的終邊與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; 2.探究發(fā)現(xiàn)任意角的終邊和角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; 3.探究發(fā)現(xiàn)任意角與的三角函數(shù)值的關(guān)系。 設(shè)計(jì)意圖：首先應(yīng)用單位圓，并以對(duì)稱為載體，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，把單位圓的性質(zhì)與三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，數(shù)形結(jié)合，問(wèn)題的設(shè)計(jì)提問(wèn)從特殊到一般，從線對(duì)稱到點(diǎn)對(duì)稱到三角函數(shù)值之間的關(guān)系，逐步上升，一氣呵成誘導(dǎo)公式二.同時(shí)也為學(xué)生將要自主發(fā)現(xiàn)、探索公式三和四起到示范作用，下面練習(xí)設(shè)計(jì)為了熟悉公式一，讓學(xué)生感知到成功的喜悅，進(jìn)而敢于挑戰(zhàn)，敢于前進(jìn)。 (四)練習(xí) 利用誘導(dǎo)公式(二)，口答三角函數(shù)值。 喜悅之后讓我們重新啟航，接受新的挑戰(zhàn)，引入新的問(wèn)題。 (五)問(wèn)題變形 由sin3000= -sin600 出發(fā)，用三角的定義引導(dǎo)學(xué)生求出 sin(-3000)，Sin150 0值,讓學(xué)生聯(lián)想若已知sin3000= -sin600 ,能否求出sin(-3000)，Sin150 0)的值。 三維目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能：正確理解隨機(jī)抽樣的概念，掌握抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法的一般步驟; 2、過(guò)程與方法： (1)能夠從現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科中提出具有一定價(jià)值的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題; (2)在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從總體中抽取樣本。 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的提出，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界及各學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重要性。 4、重點(diǎn)與難點(diǎn)：正確理解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念，掌握抽簽法及隨機(jī)數(shù)法的步驟，并能靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)從總體中抽取樣本。 教學(xué)方法： 講練結(jié)合法 教學(xué)用具： 多媒體 課時(shí)安排： 1課時(shí) 教學(xué)過(guò)程： 一、問(wèn)題情境 假設(shè)你作為一名食品衛(wèi)生工作人員，要對(duì)某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)檢驗(yàn)，你準(zhǔn)備怎樣做?顯然，你只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗(yàn)的樣本。(為什么?)那么，應(yīng)當(dāng)怎樣獲取樣本呢? 二、探究新知 1、統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念：總體：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,所有考察對(duì)象的全體叫做總體、個(gè)體：每一個(gè)考察的對(duì)象叫做個(gè)體、樣本：從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本、樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本的容量、統(tǒng)計(jì)的基本思想：用樣本去估計(jì)總體、 2、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N),如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。 下列抽樣的方式是否屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣?為什么? (1)從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本。 (2)箱子里共有100個(gè)零件，從中選出10個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，在抽樣操作中，從中任意取出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后，再把它放回箱子。 (3)從8臺(tái)電腦中，不放回地隨機(jī)抽取2臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查(假設(shè)8臺(tái)電腦已編好號(hào)，對(duì)編號(hào)隨機(jī)抽取) 3、常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有： (1)抽簽法的定義。一般地，抽簽法就是把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本。 思考?你認(rèn)為抽簽法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)很多時(shí)，用抽簽法方便嗎?例1、若已知高一(6)班總共有57人，現(xiàn)要抽取8位同學(xué)出來(lái)做游戲，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)抽取的方法，要使得每位同學(xué)被抽到的機(jī)會(huì)相等。 分析：可以把57位同學(xué)的學(xué)號(hào)分別寫在大小，質(zhì)地都相同的紙片上，折疊或揉成小球，把紙片集中在一起并充分?jǐn)嚢韬�，在從中個(gè)抽出8張紙片，再選出紙片上的學(xué)號(hào)對(duì)應(yīng)的同學(xué)即可、基本步驟：第一步：將總體的所有N個(gè)個(gè)體從1至N編號(hào);第二步：準(zhǔn)備N個(gè)號(hào)簽分別標(biāo)上這些編號(hào)，將號(hào)簽放在容器中攪拌均勻后每次抽取一個(gè)號(hào)簽，不放回地連續(xù)取n次;第三步：將取出的n個(gè)號(hào)簽上的號(hào)碼所對(duì)應(yīng)的n個(gè)個(gè)體作為樣本。 (2)隨機(jī)數(shù)法的定義：利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣，叫隨機(jī)數(shù)表法，這里僅介紹隨機(jī)數(shù)表法。怎樣利用隨機(jī)數(shù)表產(chǎn)生樣本呢?下面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明，假設(shè)我們要考察某公司生產(chǎn)的`500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí)，可以按照下面的步驟進(jìn)行。第一步，先將800袋牛奶編號(hào)，可以編為000，001，799。 第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)，例如選出第8行第7列的數(shù)7(為了便于說(shuō)明，下面摘取了附表1的第6行至第10行)。 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，從選定的數(shù)7開(kāi)始向右讀(讀數(shù)的方向也可以是向左、向上、向下等)，得到一個(gè)三位數(shù)785，由于785<799，說(shuō)明號(hào)碼785在總體內(nèi)，將它取出; 繼續(xù)向右讀，得到916，由于916>799，將它去掉，按照這種方法繼續(xù)向右讀，又取出567，199，507，依次下去，直到樣本的60個(gè)號(hào)碼全部取出，這樣我們就得到一個(gè)容量為60的樣本。 三、課堂練習(xí) 四、課堂小結(jié) 1、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N，如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。 2、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法隨機(jī)數(shù)表法 五、課后作業(yè) P57練習(xí)1、2 六、板書設(shè)計(jì) 1、統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念 2、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念 3、常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有：(1)抽簽法(2)隨機(jī)數(shù)表法 4、課堂練習(xí) 一、教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與技能】 掌握三角函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)值的取值范圍。 【過(guò)程與方法】 經(jīng)歷三角函數(shù)的單調(diào)性的探索過(guò)程，提升邏輯推理能力。 【情感態(tài)度價(jià)值觀】 在猜想計(jì)算的過(guò)程中，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 二、教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 三角函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)值的取值范圍。 【教學(xué)難點(diǎn)】 探究三角函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)值的.取值范圍過(guò)程。 三、教學(xué)過(guò)程 �。ㄒ唬┮胄抡n 提出問(wèn)題：如何研究三角函數(shù)的單調(diào)性 （四）小結(jié)作業(yè) 提問(wèn)：今天學(xué)習(xí)了什么？ 引導(dǎo)學(xué)生回顧：基本不等式以及推導(dǎo)證明過(guò)程。 課后作業(yè)： 思考如何用三角函數(shù)單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小。 【高中數(shù)學(xué)教案】相關(guān)文章： 高中數(shù)學(xué)教案12-29 高中數(shù)學(xué)教案07-11 高中數(shù)學(xué)教案模板11-18 高中數(shù)學(xué)教案【推薦】01-25 高中數(shù)學(xué)教案【精】01-25 高中數(shù)學(xué)教案【熱】01-27 【精】高中數(shù)學(xué)教案02-04 高中數(shù)學(xué)教案【熱門】02-04高中數(shù)學(xué)教案5
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