華杯賽的試題及解答
試題：
1.計算:2.00×2.0
(結果用最簡分數表示)
2.水池裝有一個水管和若干每小時注水量相同的注水管，注水管注水時，排水管同時排水.若用12個注水管注水，8小時可注滿水池;若用9個注水管注水，24小時可注滿水池.現在用8個注水管注水，那么需要多少小時注滿水池?
3.在操場上做游戲，上午8：00從A地出發，勻速地行走，每走5分鐘就折轉90o。問：
(1)上午9：20能否恰好回到原處?
(2)上午9：10能否恰好回到原處?
如果能，請說明理由，并設計一條路線.如果不能，請說明理由。
4.1到100所有自然數中與100互質各數之和是多少?
5.老王和老張各有5角和8角的郵票若干張，沒有其它面值的郵票，但是他們郵票的總張數一樣多.老王的5角郵票的張數與8角郵票張數相同，老張的5角郵票的金額等于8角郵票的金額.用他們的郵票共同支付110元的郵資足夠有余，但不夠支付160元的郵資.問他們各有8角郵票多少張?
6.在下面一列數中，從第二個數開始，每個數都比它前面相鄰的數大7，8，15，22，29，36，43，……。
它們前n-1個數相乘的積的末尾0的個數比前n個數相乘的積的'末尾0的個數少3個，求n的最小值.
解答：
1.答：2.00×2.0
原式=
2.解:設單開水管需x小時將滿池水排完,單開一個注水管需要y小時,則可知排水管每小時排整池水的,
注水管每小時注水,可知有
即為……………………………①
同時由2小時用9個注水管注滿水知
即為……………………………②
將①-②得可知
代入①中得
所以用8個注水管注水每小時注水
故需用時(小時)
答:用8個注水管注水,需要72小時注滿水池.
3.答:(1)上午9:20分恰好回到原地.我們可以設計如下的路線:我們若沒定每走5分鐘都按順時針方向(或逆時針方向)折轉90°,則可知每過20分鐘回到原處,而到9:20恰好過了80分鐘,故可知9:20恰好第4次回原處.
(2)上午9:10不能回到原地.因為到上午9:10共走了70分鐘,而我們可以驗證不管每一步為逆時針折轉90°,還是順時針折轉90°都不能在70分鐘內回原地.
4.解:我們可以先去考慮到100的所有自然數中與100不可質的數,因為100=2×2×5×5,故1到100中所有含因子2或5的數都與100不互質.其中含因子2的有2,4,6,8…，100(即為50個數),含因子5的有5，10，15，20…，100但其中10，20，30，…100已經包括在上面內,故與100不互質的1到100之內的數為:2，4，6，…100，5，15，25，…95。
這些數的和為：2+4+6+…+100+5+15+25+…+95=
而1到100的自然而然數和為：
所以與100互質的自然數之和為：5050-3050=2000。
答:1到100所有自然數中與100互質各數之和為2000.
5.解:設老王有8角郵票x張,老張有8角郵票y張,可知老王的5角郵票也有x張,故該總張數為2x張,則老張的5角郵票為張.
由老張5角郵票金額等于8角郵票金額知
即為……………………………①
又由他們可共同支付110元到160元之間的郵資知
……………………………②
將①代入②中得
同時又由為整數知x為13的整數
結合上述兩個條件知,又由①知
答:老王共有52張8角郵票,老張有40張8角郵票。
6.解:觀察這列數可知每個數除以7余數為1,由題意知若使n最小,則第n個數必須含有3個5的因子,這樣由5的因子數少于2因子數知前n個相乘方會比前n-1個多3個0。所以第n個數可寫成的形式,即為(k為自然數)且125k除以7余數為1,這樣最小的k值為6。即第n個數為.此時再根據第n個數又可表示為知可得
答:n的最小值為107。
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