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多邊形的內(nèi)角和檢測(cè)試題及解析
【例1】已知一個(gè)多邊形，它的外角和等于內(nèi)角和的四分之—，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
【解析】本題根據(jù)多邊形的內(nèi)角和(與邊數(shù)n有關(guān))與外角和(恒為360°，與邊數(shù)無關(guān))的一種關(guān)系，利用己知條件列出關(guān)于n的一元一次方程，求解邊數(shù)n.
【答案】設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，因?yàn)樗膬?nèi)角和等于(n-2)180°，外角和等于360°，根據(jù)題意，得(n-2)180=300.
解得n=10.
答:這個(gè)多邊形的邊數(shù)是10.
【例2】己知一個(gè)多邊形的各個(gè)內(nèi)角都是120°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
【解析】此題既可用多邊形內(nèi)角和公式列方程求解，也可以由多邊形的外角和等于360°列方程求解.不論用什么方法求解，都要抓住問題的實(shí)質(zhì)，列方程求解是解這類題的常用方法.
【答案】解法一設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則有(n-2)180°=n150
解得n=12
解法二設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則有
n(180-150)=360
解得n=12
【例3】凸多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都小于180°，那么凸多邊形中最多可以有幾個(gè)鈍角?幾個(gè)銳角?幾個(gè)直角呢?
【解析】由于凸多邊形的邊數(shù)不確定，可以由邊數(shù)較少的情形來探索，再歸納出一般性的結(jié)論.
【答案】設(shè)凸多邊形的邊數(shù)為n，當(dāng)n=3時(shí)，三角形最多只有一個(gè)鈍角;當(dāng)n=4時(shí)，因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為360°，故不可能有四個(gè)鈍角，但現(xiàn)在可以有3個(gè)鈍角，當(dāng)n≥5時(shí)，看正n邊形，它的所有內(nèi)角都相等，則所有的外角也都相等，由于n邊形的外角和為360°，故每一個(gè)外角為，由于n≥5，<90°,即正n邊形的每一個(gè)外角均為銳角.故n邊形(n≥5)可有n個(gè)鈍角.
當(dāng)n=3時(shí)，三角形最多有三個(gè)銳角(如銳角三角形);當(dāng)n=4時(shí)，四邊形不可能四個(gè)角都是銳角，否則內(nèi)角和小于360°;當(dāng)n≥5時(shí)，多邊形不可能多于3個(gè)銳角，否則若有四個(gè)內(nèi)角為銳角，則這四個(gè)銳角的外角為鈍角，其外角和大于360°.故當(dāng)n≥5時(shí)，多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角是銳角.故凸多邊形中銳角最多有三個(gè).
當(dāng)n=3時(shí)，最多只有一個(gè)直角(直角三角形);
當(dāng)n=4時(shí)，最多有四個(gè)直角(矩形);當(dāng)n≥5時(shí)，最多有三個(gè)直角，否則若有四個(gè)直角，則四個(gè)外角為直角，從而這個(gè)多邊形的外角和大于360°.故凸多邊形最多有四個(gè)直角.
總分100分時(shí)間60分鐘成績(jī)?cè)u(píng)定________________
一、填空題(每題5分，共50分)
課前熱身
1.五邊形的內(nèi)角和等于________度;(3n-2)邊形的內(nèi)角和是________.
答案：540;(3n-1)180°
2.一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，則該多邊形的內(nèi)角和等于________.
答案：1140°
課上作業(yè)
3.已知一個(gè)五邊形的4個(gè)內(nèi)角都是100°，則第5個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是________.
答案：140°
4.如果正多邊形的一個(gè)外角等于72°，那么它的邊數(shù)是________.
答案：5
5.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍，則這個(gè)多邊形是___________.
答案：十二邊形
6.過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成9個(gè)三角形，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_______.
答案：12
課下作業(yè)
7.四邊形的四個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為4∶5∶6，則這個(gè)四邊形各內(nèi)角度數(shù)分別為_____________.
答案：60°、80°、100°、120°
8.一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角之外，其余各內(nèi)角之和是2570°，則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)等于______.
答案：130°
9.兩個(gè)正多邊形，其邊數(shù)m、n滿足,從這兩個(gè)正多邊形中各取一個(gè)內(nèi)角，則這兩個(gè)角的和是__________
答案：270°
10.一個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后，形成另一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角為2520°，則原多邊形的邊數(shù)為_________.
答案：15或16或17
二、選擇題(每題5分，共10分)
模擬在線
11.(2010云南)正多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為36°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為()
A.6B.8C.10D.12
答案：D
12.(2010江蘇)多邊形的內(nèi)角和不可能為()
A.180°B.680°C.1080°D.1980°
答案：C
13.(2010廣西)小明和小亮分別利用圖7-63中b、c的不同方法求出了五邊形的內(nèi)角和都是540°，請(qǐng)你考慮在圖7-63a中再用另外一種方法求五邊形的內(nèi)角和，并寫出求解的過程.
圖7-63
答案：略
14.如果一個(gè)正多邊形的最小的一個(gè)內(nèi)角是120°，比它稍大的一個(gè)內(nèi)角是125°，以后依次每一個(gè)內(nèi)角比前一個(gè)內(nèi)角多5°，且所有內(nèi)角的和最大的內(nèi)角的度數(shù)之比是63∶8，試求這個(gè)多邊形邊數(shù).
答案：9(設(shè)此多邊形是n邊形，它的最大內(nèi)角度數(shù)為120°+(n-1)5°，則有解得n=9，
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