高二數(shù)學(xué)課后歸納推理綜合練習(xí)題
一、選擇題
1.關(guān)于歸納推理，下列說(shuō)法正確的是()
A.歸納推理是一般到一般的推理
B.歸納推理是一般到個(gè)別的推理
C.歸納推理的結(jié)論一定是正確的
D.歸納推理的結(jié)論是或然性的
[答案] D
[解析] 歸納推理是由特殊到一般的推理，其結(jié)論的正確性不一定.故應(yīng)選D.
2.下列推理是歸納推理的是()
A.A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a|AB|，得P的軌跡為橢圓
B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式
C.由圓x2+y2=r2的面積r2，猜出橢圓x2a2+y2b2=1的面積S=ab
D.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇
[答案] B
[解析] 由歸納推理的定義知B是歸納推理，故應(yīng)選B.
3.數(shù)列{an}：2,5,11,20，x,47，中的x等于()
A.28
B.32
C.33
D.27
[答案] B
[解析] 因?yàn)?-2=31,11-5=6=32,20-11=9=33，猜測(cè)x-20=34,47-x=35，推知x=32.故應(yīng)選B.
4.在數(shù)列{an}中，a1=0，an+1=2an+2，則猜想an是()
A.2n-2-12
B.2n-2
C.2n-1+1
D.2n+1-4
[答案] B
[解析] ∵a1=0=21-2，
a2=2a1+2=2=22-2，
a3=2a2+2=4+2=6=23-2，
a4=2a3+2=12+2=14=24-2，
猜想an=2n-2.
故應(yīng)選B.
5.某人為了觀看2015年奧運(yùn)會(huì)，從2005年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2015年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)(元)為()
A.a(1+p)7
B.a(1+p)8
C.ap[(1+p)7-(1+p)]
D.ap[(1+p)8-(1+p)]
[答案] D
[解析] 到2006年5月10日存款及利息為a(1+p).
到2007年5月10日存款及利息為
a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)2+(1+p)]
到2008年5月10日存款及利息為
a[(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p)
=a[(1+p)3+(1+p)2+(1+p)]
所以到2015年5月10日存款及利息為
a[(1+p)7+(1+p)6++(1+p)]
=a(1+p)[1-(1+p)7]1-(1+p)
=ap[(1+p)8-(1+p)].
故應(yīng)選D.
6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2an(n2)，而a1=1，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an等于()
A.2(n+1)2
B.2n(n+1)
C.22n-1
D.22n-1
[答案] B
[解析] 因?yàn)镾n=n2an，a1=1，
所以S2=4a2=a1+a2a2=13=232，
S3=9a3=a1+a2+a3a3=a1+a28=16=243，
S4=16a4=a1+a2+a3+a4
a4=a1+a2+a315=110=254.
所以猜想an=2n(n+1)，故應(yīng)選B.
7.n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列下表：
根據(jù)規(guī)律，從2016到2015箭頭的方向依次為()
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 觀察特例的規(guī)律知：位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，由234可知從2016到2015為，故應(yīng)選C.
8.(2016山東文，10)觀察(x2)=2x，(x4)=4x3，(cosx)=-sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(-x)=()
A.f(x)
B.-f(x)
C.g(x)
D.-g(x)
[答案] D
[解析] 本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內(nèi)容，由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù)，
g(-x)=-g(x)，選D，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生觀察能力，概括歸納推理的能力的考查.
9.根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)1234569+7等于()
19+2=11
129+3=111
1239+4=1111
12349+5=11111
123459+6=111111
A.1111110
B.1111111
C.1111112
D.1111113
[答案] B
[解析] 根據(jù)規(guī)律應(yīng)為7個(gè)1，故應(yīng)選B.
10.把1、3、6、10、15、21、這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形(如下圖)，
試求第七個(gè)三角形數(shù)是()
A.27
B.28
C.29
D.30
[答案] B
[解析] 觀察歸納可知第n個(gè)三角形數(shù)共有點(diǎn)數(shù)：1+2+3+4++n=n(n+1)2個(gè)，第七個(gè)三角形數(shù)為7(7+1)2=28.
二、填空題
11.觀察下列由火柴桿拼成的一列圖形中，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成：
通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：第4個(gè)圖形中，火柴桿有________根;第n個(gè)圖形中，火柴桿有________根.
[答案] 13,3n+1
[解析] 第一個(gè)圖形有4根，第2個(gè)圖形有7根，第3個(gè)圖形有10根，第4個(gè)圖形有13根猜想第n個(gè)圖形有3n+1根.
12.從1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中，可得一般規(guī)律是__________________.
[答案] n+(n+1)+(n+2)++(3n-2)=(2n-1)2
[解析] 第1式有1個(gè)數(shù)，第2式有3個(gè)數(shù)相加，第3式有5個(gè)數(shù)相加，故猜想第n個(gè)式子有2n-1個(gè)數(shù)相加，且第n個(gè)式子的第一個(gè)加數(shù)為n，每數(shù)增加1，共有2n-1個(gè)數(shù)相加，故第n個(gè)式子為：
n+(n+1)+(n+2)++{n+[(2n-1)-1]}
=(2n-1)2，
即n+(n+1)+(n+2)++(3n-2)=(2n-1)2.
13.觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n2)個(gè)圓圈，每個(gè)圖案中圓圈的總數(shù)是S，按此規(guī)律推出S與n的關(guān)系式為________.
[答案] S=4(n-1)(n2)
[解析] 每條邊上有2個(gè)圓圈時(shí)共有S=4個(gè);每條邊上有3個(gè)圓圈時(shí)，共有S=8個(gè);每條邊上有4個(gè)圓圈時(shí)，共有S=12個(gè).可見每條邊上增加一個(gè)點(diǎn)，則S增加4，S與n的關(guān)系為S=4(n-1)(n2).
14.(2009浙江理，15)觀察下列等式：
C15+C55=23-2，
C19+C59+C99=27+23，
C113+C513+C913+C1313=211-25，
C117+C517+C917+C1317+C1717=215+27，
由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：
對(duì)于nN*，C14n+1+C54n+1+C94n+1++C4n+14n+1=__________________.
[答案] 24n-1+(-1)n22n-1
[解析] 本小題主要考查歸納推理的能力
等式右端第一項(xiàng)指數(shù)3,7,11,15，構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)公式為an=4n-1，第二項(xiàng)指數(shù)1,3,5,7，的.通項(xiàng)公式bn=2n-1，兩項(xiàng)中間等號(hào)正、負(fù)相間出現(xiàn)，右端=24n-1+(-1)n22n-1.
三、解答題
15.在△ABC中，不等式1A+1B+1C成立，
在四邊形ABCD中，不等式1A+1B+1C+1D成立，
在五邊形ABCDE中，不等式1A+1B+1C+1D+1E成立，猜想在n邊形A1A2An中，有怎樣的不等式成立?
[解析] 根據(jù)已知特殊的數(shù)值：9、162、253，，總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律：n2(n-2)3).
在n邊形A1A2An中：1A1+1A2++1Ann2(n-2)3).
16.下圖中(1)、(2)、(3)、(4)為四個(gè)平面圖.數(shù)一數(shù)每個(gè)平面圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)?多少條邊?它們圍成了多少個(gè)區(qū)域?并將結(jié)果填入下表中.
平面區(qū)域 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù)
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)觀察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系?
(2)現(xiàn)已知某個(gè)平面圖有999個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)平面圖有多少條邊?
[解析] 各平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)如下表：
平面區(qū)域 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù) 關(guān)系
(1) 3 3 2 3+2-3=2
(2) 8 12 6 8+6-12=2
(3) 6 9 5 6+5-9=2
(4) 10 15 7 10+7-15=2
結(jié)論 V E F V+F-E=2
推廣 999 E 999 E=999+999-2
=1996
其頂點(diǎn)數(shù)V，邊數(shù)E，平面區(qū)域數(shù)F滿足關(guān)系式V+F-E=2.
故可猜想此平面圖可能有1996條邊.
17.在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液14a升，攪勻后再倒出溶液14a升，這叫一次操作，設(shè)第n次操作后容器內(nèi)溶液的濃度為bn(每次注入的溶液濃度都是p%)，計(jì)算b1、b2、b3，并歸納出bn的計(jì)算公式.
[解析] b1=ar100+a4p100a+a4=110045r+15p，
b2=ab1+a4p100a+a4=1100452r+15p+452p.
b3=ab2+a4p100a+a4
=1100453r+15p+452p+4253P，
歸納得bn=110045nr+15p+452p++4n-15nP.
18.設(shè)f(n)=n2+n+41，nN+，計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)，，f(10)的值，同時(shí)作出歸納推理，并用n=40驗(yàn)證猜想是否正確.
[解析] f(1)=12+1+41=43，f(2)=22+2+41=47，
f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4+41=61，
f(5)=52+5+41=71，f(6)=62+6+41=83，
f(7)=72+7+41=97，f(8)=82+8+41=113，
f(9)=92+9+41=131，f(10)=102+10+41=151.
由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都為質(zhì)數(shù).
即：當(dāng)n取任何非負(fù)整數(shù)時(shí)f(n)=n2+n+41的值為質(zhì)數(shù).
但是當(dāng)n=40時(shí)，f(40)=402+40+41=1681為合數(shù).
所以，上面由歸納推理得到的猜想不正確.
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