高二數(shù)學課后練習題之獨立重復(fù)試驗與二項分布
一、選擇題
1.某一試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則在n次這樣的試驗中，A發(fā)生k次的概率為()
A.1-pk
B.(1-p)kpn-k
C.(1-p)k
D.Ckn(1-p)kpn-k
[答案] D
[解析] 在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰發(fā)生k次，符合二項分布，而P(A)=p，則P(A)=1-p，故P(X=k)=Ckn(1-p)kpn-k，故答案選D.
2.在4次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為6581，則事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為()
A.13 B.25
C.56 D.34
[答案] A
[解析] 事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p，由題意得1-C04p0(1-p)4=6581，所以1-p=23，p=13，故答案選A.
3.流星穿過大氣層落在地面上的概率為0.002，流星數(shù)為10的流星群穿過大氣層有4個落在地面上的概率為()
A.3.3210-5 B.3.3210-9
C.6.6410-5 D.6.6410-9
[答案] B
[解析] 相當于1個流星獨立重復(fù)10次，其中落在地面上的有4次的概率P=C4100.0024(1-0.002)63.3210-9，應(yīng)選B.
4.已知隨機變量X服從二項分布，X～B6，13，則P(X=2)等于()
A.316 B.4243
C.13243 D.80243
[答案] D
[解析] 已知X～B6，13，P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k，當X=2，n=6，p=13時有P(X=2)=C261321-136-2=C26132234=80243.
5.某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為45，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是()
A.16625 B.96625
C.192625 D.256625
[答案] B
[解析] P=C24452152=96625.
6.某電子管正品率為34，次品率為14，現(xiàn)對該批電子管進行測試，設(shè)第次首次測到正品，則P(=3)=()
A.C2314234 B.C2334214
C.14234 D.34214
[答案] C
7.某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.則他恰好擊中目標3次的概率為()
A.0.930.1
B.0.93
C.C340.930.1
D.1-0.13
[答案] C
[解析] 由獨立重復(fù)試驗公式可知選C.
8.(2016保定高二期末)位于坐標原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位;移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是12.質(zhì)點P移動五次后位于點(2,3)的概率是()
A.(12)5 B.C25(12)5
C.C35(12)3 D.C25C35(12)5
[答案] B
[解析] 由于質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向向上或向右，移動五次后位于點(2,3)，所以質(zhì)點P必須向右移動二次，向上移動三次，故其概率為C35(12)3(12)2=C35(12)5=C25(12)5.
二、填空題
9.已知隨機變量X～B(5，13)，則P(X4)=________.
[答案] 11243
10.下列例子中隨機變量服從二項分布的有________.
�、匐S機變量表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù);
②某射手擊中目標的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數(shù)
�、塾幸慌a(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M
�、苡幸慌a(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù).
[答案] ①③
[解析] 對于①，設(shè)事件A為拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)，P(A)=13.而在n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生了k次(k=0,1,2，，n)的概率P(=k)=Ckn13k23n-k，符合二項分布的定義，即有～B(n，13).
對于②，的取值是1,2,3，，P(=k)=0.90.1k-1(k=1,2,3，n)，顯然不符合二項分布的定義，因此不服從二項分布.
�、酆廷艿膮^(qū)別是：③是有放回抽取，而④是無放回抽取，顯然④中n次試驗是不獨立的，因此不服從二項分布，對于③有～Bn，MN.
故應(yīng)填①③.
11.(2016湖北文，13)一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9，則服用這種新藥的'4個病人中至少3人被治愈的概率為________(用數(shù)字作答).
[答案] 0.9477
[解析] 本題主要考查二項分布.
C340.930.1+(0.9)4=0.9477.
12.如果X～B(20，p)，當p=12且P(X=k)取得最大值時，k=________.
[答案] 10
[解析] 當p=12時，P(X=k)=Ck2015k1220-k
=1220Ck20，顯然當k=10時，P(X=k)取得最大值.
三、解答題
13.在一次測試中，甲、乙兩人獨立解出一道數(shù)學題的概率相同，已知該題被甲或乙解出的概率是0.36，寫出解出該題人數(shù)X的分布列.
[解析] 設(shè)甲、乙獨立解出該題的概率為x，由題意1-(1-x)2=0.36，解得x=0.2.
所以解出該題人數(shù)X的分布列為
X 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
14.已知某種療法的治愈率是90%，在對10位病人采用這種療法后，正好有90%被治愈的概率是多少?(精確到0.01)
[解析] 10位病人中被治愈的人數(shù)X服從二項分布，即X～B(10,0.9)，故有9人被治愈的概率為P(X=9)=C9100.990.110.39.
15.9粒種子分種在3個坑中，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5.若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種;若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種.假定每個坑至多補種一次，每補種1個坑需10元，用X表示補種的費用，寫出X的分布列.
[解析] 因為一個坑內(nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為(1-0.5)3=18，所以一個坑不需要補種的概率為1-18=78.
3個坑都不需要補種的概率為
C031807830.670，
恰有1個坑需要補種的概率為
C131817820.287，
恰有2個坑需要補種的概率為
C231827810.041，
3個坑都需要補種的概率為
C331837800.002.
補種費用X的分布列為
X 0 10 20 30
P 0.670 0.287 0.041 0.002
16.(2016全國Ⅰ理，18)投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審.若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用;若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用;若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用.設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復(fù)審的稿件能通過評審的概率為0.3.各專家獨立評審.
(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率;
(2)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列.
[分析] 本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨立事件、相互獨立試驗、分布列、數(shù)學期望等知識，以及運用概率知識解決實際問題的能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.(1)稿件被錄用這一事件轉(zhuǎn)化為事件稿件能通過兩位初審專家的評審和事件稿件能通過復(fù)審專家的評審的和事件，利用加法公式求解.(2)X服從二項分布，結(jié)合公式求解即可.
[解析] (1)記A表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評審;
B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評審;
C表示事件：稿件能通過復(fù)審專家的評審;
D表示事件：稿件被錄用.
則D=A+BC，
而P(A)=0.50.5=0.25，P(B)=20.50.5=0.5，P(C)=0.3
故P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.50.3=0.4.
(2)隨機變量X服從二項分布，即X～B(4,0.4)，
X的可能取值為0,1,2,3,4，且P(X=0)=(1-0.4)4=0.1296
P(X=1)=C140.4(1-0.4)3=0.3456
P(X=2)=C240.42(1-0.4)2=0.3456
P(X=3)=C340.43(1-0.4)=0.1536
P(X=4)=0.44=0.0256
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