相似三角形練習(xí)題
【知識(shí)縱橫】
1。 相似三角形
對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。
議一議：
�。�1）兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？
（2）兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？?jī)蓚�(gè)等腰直角三角形呢？為什么？
�。�3）兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？?jī)蓚�(gè)等邊三角形呢？為什么？
2。 相似比
相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。
說(shuō)明：相似比要注意順序：如△ABC∽△A'B'C'的相似比 ，而△A'B'C'∽△ABC的相似比 ，這時(shí) 。
3。 相似三角形的識(shí)別
�。�1）如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。
�。�2）如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。
（3）如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。
【典型例題】
例1。 如圖，∠1＝∠2＝∠3，圖中相似三角形有（ ）對(duì)。
答：4對(duì)
例2。 如圖，已知：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分別將兩個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，使△ABC所分成的每個(gè)三角形與△DEF所分成的每個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)相似？
如果可能，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種分割方案；若不能，說(shuō)明理由。
解：
例3。 （2004廣東�。┤鐖D所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，連結(jié)CF交AD于點(diǎn)E。
�。�1）求證：△CDE∽△FAE；
�。�2）當(dāng)E是AD的中點(diǎn)，且BC＝2CD時(shí)，求證：∠F＝∠BCF。
命題意圖：相似三角形的識(shí)別、特征在解題中的`應(yīng)用。
解析：由AB∥DC得：∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D
∴△CDE∽△FAE
，又E為AD中點(diǎn)
∴DE＝AE，從而CD＝FA，結(jié)合已知條件，易證
BF＝BC，∠F＝∠BCF
解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD
∴∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D
∴△CDE∽△FAE
�。�2）∵E是AD中點(diǎn)，∴DE＝AE
由（1）得：
∴CD＝AF
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB＝CD
∴AB＝CD＝AF
∴BF＝2CD，又BC＝2CD
∴BC＝BF
∴∠F＝∠BCF
思路探究：平行往往是證兩個(gè)三角形相似的重要條件，利用比例線段也可證明兩線段相等。
例4。 在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，點(diǎn)P在線段AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，
�。�1）是否存在一個(gè)時(shí)刻使△ADP∽△BCP；
�。�2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，則AP的長(zhǎng)度為多少？
解：（1）存在
�。�2）若△ADP∽△BCP，則
設(shè)
或
或
或
∴AP長(zhǎng)度為4或6
例5。 如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：CE＝2：3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則 （ ）
A。 4：10：25 B。 4：9：25
C。 2：3：5 D。 2：5：25
�。ê邶埥≈锌碱}）
思路點(diǎn)撥：運(yùn)用與面積相關(guān)知識(shí)，把面積比轉(zhuǎn)化為線段比。
∴選A
例6。 如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，試設(shè)計(jì)一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達(dá)最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長(zhǎng)。
思路點(diǎn)撥：要在三角形內(nèi)裁出面積最大的正方形，那么這正方形所有頂點(diǎn)應(yīng)落在△ABC的邊上，先畫(huà)出不同方案，把每種方案中的正方形邊長(zhǎng)求出。
解：如圖甲，設(shè)正方形EFGH邊長(zhǎng)為x，則AC＝4
而CD×AB＝AC×BC＝ ，得
又△CEH∽△CAB，得
于是 ，解得：
如圖乙，設(shè)正方形CFGH的邊長(zhǎng)為y cm
由GH∥AC，得：
即 ，解得：
即應(yīng)如圖乙那樣裁剪，這時(shí)正方形面積達(dá)最大，它的邊長(zhǎng)為
例7。 如圖，已知直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，設(shè) ， ，作DE⊥DC，DE交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EC。
（1）試判斷△DCE與△ADE、△DCE與△BCE是否分別一定相似？若相似，請(qǐng)加以證明。
�。�2）如果不一定相似，請(qǐng)指出a、b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們就能相似？
解：（1）△DCE與△ADE一定相似，△DCE與△BCE不一定相似，分別延長(zhǎng)BA、CD交于F點(diǎn)
由△FAD∽△FBC，得：
于是FD＝DC，從而可證△FED≌△CED
得∠AED＝∠DEC
所以△DEC∽△AED
�。�2）作CG⊥AD交AD延長(zhǎng)線于G，
由△AED∽△GDC，有 ，得
要使△DCE與△BCE相似，那么 一定成立
即 ，得
也就是當(dāng) 時(shí)，△DCE與△BCE一定相似。
【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）
1。 如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若 ，則AD：DB＝____________。
2。 如圖，△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，若△ABC的面積為S，則△ADE的面積為_(kāi)___________。
3。 若正方形的4個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)___________。
�。ㄎ錆h市中考題）
4。 閱讀下面的短文，并解答下列問(wèn)題：
我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。
如圖，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對(duì)應(yīng)線段之比都等于相似比： ，設(shè) 分別表示這兩個(gè)正方體的表面積，則 ，又設(shè) 分別表示這兩個(gè)正方體的體積，則 。
�。�1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（ ）
A。 兩個(gè)球體 B。 兩個(gè)圓錐體
C。 兩個(gè)圓柱體 D。 兩個(gè)長(zhǎng)方體
�。�2）請(qǐng)歸納出相似體的3條主要性質(zhì)：
�、傧嗨企w的一切對(duì)應(yīng)線段（或�。╅L(zhǎng)的比等于____________；
②相似體表面積的比等于____________；
�、巯嗨企w體積的比等于____________。
（江蘇省泰州市中考題）
5。 如圖，鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1 m，長(zhǎng)臂長(zhǎng)16 m，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0。5 m時(shí)，長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高（ ）
A。 11。25 m B。 6。6 m C。 8 m D。 10。5 m
6。 如圖，D為△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，∠DBC＝∠A，已知 ，△BCD與△ABC的面積的比是2：3，則CD的長(zhǎng)是（ ）
A。 B。 C。 D。
7。 如圖，在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，且 ，AE＝BE，則有（ ）
A。 △AED∽△BED B。 △AED∽△CBD
C。 △AED∽△ABD D。 △BAD∽△BCD
�。ê贾菔兄锌碱}）
8。 如圖，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB＝1：2：3，則 等于（ ）
A。 1：9：36 B。 1：4：9
C。 1：8：27 D。 1：8：36
9。 如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝∠B，求證：
10。 如圖，△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F。
（1）求證：△ABC∽△FCD；
（2）若 ，求DE的長(zhǎng)。
�。ê颖笔≈锌碱}）
11。 閱讀并解答問(wèn)題。
在給定的銳角△ABC中，求作一個(gè)正方形DEFG，使D、E落在BC上，F(xiàn)、G分別落在AC、AB邊上，作法如下：
第一步：畫(huà)一個(gè)有3個(gè)頂點(diǎn)落在△ABC兩邊上的正方形D'E'F'G'。
第二步：連結(jié)BF'，并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F；
第三步：過(guò)F點(diǎn)作FE⊥BC于E；
第四步：過(guò)F點(diǎn)作FG∥BC交AB于點(diǎn)G；
第五步：過(guò)G作GD⊥BC于點(diǎn)D。
四邊形DEFG即為所求作的四邊形DEFG，為正方形。
問(wèn)題：
（1）證明上述所求作的四邊形DEFG為正方形；
�。�2）在△ABC中，如果 ，∠BAC＝75°，求上述正方形DEFG的邊長(zhǎng)。
�。ńK省揚(yáng)州市中考題）
12。 如圖，在△ABC中， ，在BC上有100個(gè)不同的點(diǎn) ，過(guò)這100個(gè)點(diǎn)分別作△ABC的內(nèi)接矩形 … ，設(shè)每個(gè)內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)分別為 ，則
____________。
�。ò不帐「�(jìng)賽題）
13。 如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面積分別為 ，則△ABC的面積為_(kāi)___________。
14。 如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為3、4、5厘米的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)B重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個(gè)正方形的面積是____________厘米2。
�。ǖ�11屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
15。 如圖，將一個(gè)矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線對(duì)折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形的長(zhǎng)與寬的比為（ ）
A。 2：1 B。 C。 D。 1：1
16。 如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝3AB，EF∥CD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則AE：ED等于（ ）
A。 2 B。 C。 D。
【試題答案】
1。 3：1
2。
3。 或
4。 （1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方
5。 C 6。 C 7。 B 8。 C
9。 由△ABC∽△DCA，得
10。 （1）略
�。�2）過(guò)A作AM⊥BC于M
由△ABC∽△FCD，得：
又 ，得
∵DE∥AM，
，得
11。 （1）易證明四邊形EFGD為矩形，由 ，而 ，得EF＝GF，故四邊形EFGD為正方形。
�。�2）過(guò)A作AQ⊥BC于Q交GF于P，且AQ＝BQ，∠BCA＝60°，∠QAC＝30°， ，又
即 ，解得
由 ，得
12。 400
提示：從內(nèi)接一個(gè)矩形入手，探求內(nèi)接△ABC中任一矩形的長(zhǎng)與寬的關(guān)系。
13。
提示：
14。
解：設(shè) ，則
由△BCE∽△EDF，得
又 ，即
15。 C
16。 C
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