一次函數(shù)應(yīng)用題含答案
一、 方案優(yōu)化問(wèn)題
我市某鄉(xiāng)A、B兩村盛產(chǎn)柑桔，A村有柑桔200噸，B村有柑桔300噸.現(xiàn)將這些柑桔運(yùn)到C、D兩個(gè)冷藏倉(cāng)庫(kù)，已知C倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240噸，D倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260噸；從A村運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B村運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元.設(shè)從A村運(yùn)往C倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量為x噸，A、B兩村運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的柑桔運(yùn)輸費(fèi)用分別為yA元和yB元.
�。�1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚⑶蟪鰕A，yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
�。�2）試討論A、B兩村中，哪個(gè)村花的運(yùn)費(fèi)較少；
�。�3）考慮到B村的經(jīng)濟(jì)承受能力，B村的柑桔運(yùn)費(fèi)不得超過(guò)4830元.在這種情況下，請(qǐng)問(wèn)該怎樣調(diào)運(yùn)才能使兩村運(yùn)費(fèi)之和最�。壳蟪鲞@個(gè)最小值.
解：（1）yA=-5x+5000（0≤x≤200），
yB=3x+4680（0≤x≤200）.
�。�2）當(dāng)yA=yB時(shí)，-5x+5000=3x+4680，x=40；
當(dāng)yA>yB時(shí)，-5x+5000>3x+4680，x<40；
當(dāng)yA<yb時(shí)，-5x+5000<3x+4680，x style="padding: 0px; margin: 0px; font-family: Arial, 宋體; font-size: 14px; white-space: normal; background-color: rgb(255, 255, 255);">40.
當(dāng)x=40時(shí)，yA=yB即兩村運(yùn)費(fèi)相等；
當(dāng)0≤x<40時(shí)，ya>yB即B村運(yùn)費(fèi)較少；
當(dāng)40<x≤200時(shí)，ya<yb即a村費(fèi)用較少.
（3）由yB≤4830得3x+4680≤4830∴x≤50
設(shè)兩村的運(yùn)費(fèi)之和為y，∴y=yA+yB.
即：y=-2x+9680.
又∵0≤x≤50時(shí)，y隨x增大而減小，
∴當(dāng)x=50時(shí)，y有最小值，y最小值=9580（元）.
答：當(dāng)由A村調(diào)往C倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量為50噸、調(diào)往D倉(cāng)庫(kù)為150噸，由B村調(diào)往C倉(cāng)庫(kù)為190噸、調(diào)往D倉(cāng)庫(kù)110噸的時(shí)候，兩村的運(yùn)費(fèi)之和最小，最小費(fèi)用為9580元.
要點(diǎn)提示：解答方案比較問(wèn)題，求函數(shù)式時(shí)，對(duì)有圖象的，多用待定系數(shù)法求；對(duì)沒(méi)有給出圖象的，直接依題意列式子；方案比較問(wèn)題通常與不等式、方程相聯(lián)系；比較方案，即比較同一自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，要將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程、不等式問(wèn)題；解答方案比較問(wèn)題尤其要注意：不同的區(qū)間，對(duì)應(yīng)的大小關(guān)系也多不同.
二、利潤(rùn)最大化問(wèn)題
某個(gè)體小服裝店主準(zhǔn)備在夏季來(lái)臨前，購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種T恤.兩種T恤的.相關(guān)信息如下表：
根據(jù)上述信息，該店決定用不少于6195元，但不超過(guò)6299元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種T恤共100件.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）該店有哪幾種進(jìn)貨方案？
�。�2）該店按哪種方案進(jìn)貨所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
�。�3）兩種T恤在夏季很快銷售一空，該店決定再拿出385元全部用于購(gòu)進(jìn)這兩種T恤，在進(jìn)價(jià)和售價(jià)不變的情況下，全部售出.請(qǐng)直接寫出該店按哪種方案進(jìn)貨才能使所獲利潤(rùn)最大.
解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種T恤x件，則購(gòu)進(jìn)乙種T恤（100-x）件.
可得，6195≤35x+70（100-x）≤6299.
解得，20■≤x≤23.
∵x為解集內(nèi)的正整數(shù)，∴x=21，22，23.
∴有三種進(jìn)貨方案：
方案一：購(gòu)進(jìn)甲種T恤21件，購(gòu)進(jìn)乙種T恤79件；
方案二：購(gòu)進(jìn)甲種T恤22件，購(gòu)進(jìn)乙種T恤78件；
方案三：購(gòu)進(jìn)甲種T恤23件，購(gòu)進(jìn)乙種T恤77件.
�。�2）設(shè)所獲得利潤(rùn)為W元.
W=30x+40（100-x）=-10x+4000.
∵k=-10<0，∴W隨x的增大而減小.
∴當(dāng)x=21時(shí)，W=3790.
該店購(gòu)進(jìn)甲種T恤21件，購(gòu)進(jìn)乙種T恤79件時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)為3790元.
�。�3）購(gòu)進(jìn)甲種T恤9件、乙種T恤1件.
要點(diǎn)提示：在一次函數(shù)y=kx+b中，x、y均可取一切實(shí)數(shù).如果縮小x的取值范圍，則其函數(shù)值就會(huì)出現(xiàn)最大值或最小值.求一次函數(shù)的最大值、最小值，一般都是采用“極端值法”，即用自變量的端點(diǎn)值，根據(jù)函數(shù)的增減性，對(duì)應(yīng)求出函數(shù)的端點(diǎn)值（最值）.
三、行程問(wèn)題
從甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路.小明騎車從甲地出發(fā)，到達(dá)乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段時(shí)間.假設(shè)小明騎車在平路、上坡、下坡時(shí)分別保持勻速前進(jìn).已知小明騎車上坡的速度比在平路上的速度每小時(shí)少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小時(shí)多5km.設(shè)小明出發(fā)x h后，到達(dá)離甲地y km的地方，圖1中的折線OABCDE表示x與y之間的函數(shù)關(guān)系.
�。�1）小明騎車在平路上的速度為 km/h；他途中休息了 h；
�。�2）求線段AB、BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
�。�3）如果小明兩次經(jīng)過(guò)途中某一地點(diǎn)的時(shí)間間隔為0.15h，那么該地點(diǎn)離甲地多遠(yuǎn)？
解：（1）小明騎車在平路上的速度為：
4.5÷0.3=15，
∴小明騎車在上坡路的速度為：15-5=10，
小明騎車在下坡路的速度為：15+5=20.
∴小明返回的時(shí)間為：
（6.5-4.5）÷20+0.3=0.4小時(shí)，
∴小明騎車到達(dá)乙地的時(shí)間為： 0.3+2÷10=0.5.
∴小明途中休息的時(shí)間為：
1-0.5-0.4=0.1小時(shí).
故答案為：15，0.1
�。�2）小明騎車到達(dá)乙地的時(shí)間為0.5小時(shí)，
∴B（0.5，6.5）.
小明下坡行駛的時(shí)間為：2÷20=0.1，
∴C（0.6，4.5）.
設(shè)直線AB的解析式為y=k1x+b1，由題意
得4.5=0.3k1+b16.5=0.5k1+b1，解得：k1=10b1=1.5，
∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；
設(shè)直線BC的解析式為y=k2x+b2，由題意
得6.5=0.5k2+b24.5=0.6k2+b2，解得：k2=-20b2=16.5，
∴y=-20x+16.5（0.5<x≤0.6）
�。�3）小明兩次經(jīng)過(guò)途中某一地點(diǎn)的時(shí)間間隔為0.15h，由題意可以得出這個(gè)地點(diǎn)只能在坡路上.設(shè)小明第一次經(jīng)過(guò)該地點(diǎn)的時(shí)間為t，則第二次經(jīng)過(guò)該地點(diǎn)的時(shí)間為（t+0.15）h，由題意
得10t+1.5=-20（t+0.15）+16.5，
解得：t= 0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5，
∴該地點(diǎn)離甲地5.5km.
要點(diǎn)提示：行程類一次函數(shù)試題以圖象、點(diǎn)坐標(biāo)相組合的形式呈現(xiàn)，靈活性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力要求較高，重在考查學(xué)生的識(shí)圖能力和創(chuàng)新意識(shí).解決圖象中的行程問(wèn)題除了要掌握好路程、速度和時(shí)間三者之間的基本關(guān)系外，最重要的是要學(xué)會(huì)從圖象中獲取信息，理清各變量之間的關(guān)系，然后根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法.
四、分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題
已知某市2013年企業(yè)用水量x（噸）與該月應(yīng)交的水費(fèi)y（元）之間的函數(shù)關(guān)系.
�。�1）當(dāng)x≥50時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
�。�2）若某企業(yè)2013年10月份的水費(fèi)為620元，求該企業(yè)2013年10月份的用水量；
�。�3）為實(shí)施省委“五水共治”發(fā)展戰(zhàn)略，鼓勵(lì)企業(yè)節(jié)約用水，該市自2014年1月開始對(duì)月用水量超過(guò)80噸的企業(yè)加收污水處理費(fèi)，規(guī)定若企業(yè)的月用水量x超過(guò)80噸，則除按2013年收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)收取水費(fèi)外，超過(guò)80噸部分每噸另加收■元.若某企業(yè)2014年3月份的水費(fèi)和污水處理費(fèi)共600元，求這個(gè)企業(yè)該月的用水量.
解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b，
∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（50，200），（60，260）
∴50k+b=20060k+b=260解得k=6b=-100
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=6x-100（x≥50）；
�。�2）由可知，當(dāng)y=620時(shí)，x>50
∴6x-100=620，解得x=120.
答：該企業(yè)2013年10月份的用水量為120噸.
�。�3）由題意得6x-100+■（x-80）=600，
化簡(jiǎn)得x2+40x-14000=0
解得：x1=100，x2=-140（不合題意，舍去）.
答：這家企業(yè)2014年3月份的用水量是100噸.
要點(diǎn)提示：分段函數(shù)的特征是不同的自變量區(qū)間所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式不同，其函數(shù)圖象是一個(gè)折線.解決分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是要與所在的區(qū)間相對(duì)應(yīng).分段函數(shù)中“折點(diǎn)”既是兩段函數(shù)的分界點(diǎn)，同時(shí)又分別在兩段函數(shù)上，在求解析式時(shí)要用好“折點(diǎn)”坐標(biāo)，同時(shí)在分析圖象時(shí)還要注意“折點(diǎn)”所表示的實(shí)際意義，“折點(diǎn)”的縱坐標(biāo)通常是不同區(qū)間的最值.
2015年第3期《銳角三角函數(shù)》參考答案
1.D；2.A；3.B；4.■；5.9■；6.2■；7.120；
8. 解：（1）■-3tan30°+（π-4）0-（■）-1=2■-3×■+1-2=■-1
�。�2）■（2cos45°-sin60°）+■
=■（2×■-■）+■
=2-■+■=2
9. 解：過(guò)點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為D.
則∠CDA=90°，
∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米，
在Rt△ACD中，
tan∠CAD=■，
∴AD=■=■=80■，
在Rt△ABD中，tan∠BAD=■，
∴BD=ADtan30°=80■×■=80，
∴BC=CD-BD=240-80=160.
答：這棟大樓的高為160米.
10.解：在Rt△CDB中，∠C=90°，
BC=■=■=4，
∴tan∠CBD=■.
在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=■=4■，
∴sinA=■.
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