關(guān)于應(yīng)用舉例的測(cè)試題
一、選擇題
1.飛機(jī)沿水平方向飛行，在處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)的俯角為，向前飛行米，到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得目標(biāo)的俯角為，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的直線距離為( ).
A.米 B.米 C.米 D.米
考查目的：考查正弦定理的應(yīng)用.
答案：B.
解析：如圖，在中，根據(jù)正弦定理得，解得(米).
2.某人向正東方向走，然后右轉(zhuǎn)，朝前走，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好，則的值為( ).
A. B. C.或 D.
考查目的：考查余弦定理、方程思想.
答案：C.
解析：根據(jù)余弦定理得，化簡(jiǎn)并整理得，解得或.
3. (由2010浙江文改編)在中，角所對(duì)的邊分別為，設(shè)為的面積，滿足，則角的大小為( ).
A. B. C.或 D.或
考查目的：考查余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎(chǔ)知識(shí).
答案：B
解析：∵，∴根據(jù)余弦定理和三角形面積公式得，∴，.
二、填空題
4.(2008江蘇卷)在中，若，，則的最大值是 .
考查目的：考查三角形面積公式、余弦定理以及函數(shù)思想．
答案：.
解析：設(shè)，則，根據(jù)面積公式得；根據(jù)余弦定理得，∴，
由三角形三邊關(guān)系有，解得，故當(dāng)時(shí)，取得最大值.
5.(2011安徽理)已知的一個(gè)內(nèi)角為，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_(kāi)______________.
考查目的'：考查余弦定理、等差數(shù)列的概念及三角形面積公式.
答案：.
解析：根據(jù)題意，可設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，由得.由余弦定理得，解得(舍去)，∴
6.如圖，某炮兵陣地位于點(diǎn)，兩觀察所位于兩點(diǎn)，已知為正三角形，且，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在時(shí)，測(cè)得，則炮兵陣地與目標(biāo)的距離約為 (精確到).
考查目的：考查利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
答案：.
解析：如圖，，在中，由正弦定理得，∴.在中，，由余弦定理得
三、解答題：
7.(2007海南、寧夏)如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)側(cè)點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)得，，并在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋笏撸?/p>
考查目的：考查正弦定理、直角三角形的邊角關(guān)系以及空間想象能力和運(yùn)算求解能力.
答案：.
解析：在中，．由正弦定理得，∴.在中，．
8.(2010福建理)某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上. 在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西且與該港口相距海里的處，并以海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛. 假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)小時(shí)與輪船相遇.
�、湃粝Ｍ嘤鰰r(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
�、萍僭O(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向與航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由.
考查目的：考查利用直角三角形的邊角關(guān)系、余弦定理解三角形，以及綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.
答案：⑴海里/小時(shí)，⑵航行方向是北偏東，航行速度為海里/小時(shí).
解析：(方法一)⑴設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為海里，則 ，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小.
�、圃O(shè)小艇與輪船在處相遇，則，∴. ∵，∴，即，解得.又∵時(shí)，，故時(shí)，取得最小值，且最小值等于.
此時(shí)，在中，有，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向是北偏東，航行速度為海里/小時(shí)，這樣，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.
(方法二)⑴若相遇時(shí)小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎狈较�，設(shè)小艇與輪船在處相遇. 在中，，；又，，此時(shí)，輪船航行時(shí)間，即小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小.
�、撇孪霑r(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船在處相遇，此時(shí).又∵，∴，解得.
據(jù)此可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度的大小為海里/小時(shí)，這樣，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇. 證明如下：
如圖，由⑴得，故，且對(duì)于線段上任意點(diǎn)，有. 而小艇的最高航行速度只能達(dá)到海里/小時(shí)，故小艇與輪船不可能在，之間(包含)的任意位置相遇.
設(shè)，則在中，.由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為和，∴，由此可得，.又∵，∴，從而，由于時(shí)，取得最小值，于是當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.
(方法三)⑴同方法一或方法二.
⑵設(shè)小艇與輪船在處相遇，依題意得，∴.
(i)若，則由得，，∴.①當(dāng)時(shí)，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
�、诋�(dāng)時(shí)，同理可得. 由①②得，當(dāng)時(shí)，.
(ii)若，則.
綜合(i)(ii)可知，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)，在中，，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.
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