博雅計(jì)劃試題

博雅計(jì)劃試題

　　"博雅計(jì)劃”是北京大學(xué)2015年推出的高考自主招生改革計(jì)劃，很多人都會(huì)需要試題，這是小編找的試題，希望能對(duì)你有所幫助。

　　博雅計(jì)劃試題

　　選擇題共20小題.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在表格中，選對(duì)得5分，選錯(cuò)扣1分，不選得0分.

　　1.直線y=-x+2與曲線y=-ex+a相切，則a的值為（ ）

　　A.-3B.-2C.-1D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　2.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則下面四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

　�。�1）以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定存在

　�。�2）以a2，b2，c2為邊長(zhǎng)的三角形一定存在

　�。�3）以a+b2，b+c2，c+a2為邊長(zhǎng)的三角形一定存在

　�。�4）以a-b+1，b-c+1，c-a+1為邊長(zhǎng)的三角形一定存在

　　A.2B.3C.4D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　3.設(shè)AB，CD是⊙O的兩條垂直直徑，弦DF交AB于點(diǎn)E，DE=24，EF=18，則OE等于（ ）

　　A.46B.53

　　C.62D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　4.函數(shù)

　　f（x）=1p，若x為有理數(shù)qp，p與q互素，

　　0，若x為無(wú)理數(shù)，

　　則滿足x∈（0，1）且f（x）>17的x的個(gè)數(shù)為（ ）

　　A.12B.13C.14D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　5.若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，則a+b-2c的值為（ ）

　　A.-13B.-9C.-5D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　6.已知k≠1，則等比數(shù)列a+log2k，a+log4k，a+log8k的公比為（ ）

　　A.12B.13C.14D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　7.cosπ11cos2π11…cos10π11的值為（ ）

　　A.-116B.-132

　　C.-164D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　8.設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，a，c≠0，方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)虛數(shù)根為x1，x2滿足x21x2為實(shí)數(shù)，則∑2015k=0x1x2k等于（ ）

　　A.1B.0C.3iD.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　9.將12個(gè)不同物體分成3堆，每堆4個(gè)，則不同的分法種類為（ ）

　　A.34650B.5940

　　C.495D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　10.設(shè)A是以BC為直徑的圓上的一點(diǎn)，D，E是線段BC上的點(diǎn)，F(xiàn)是CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，已知BF=4，BD=2，BE=5，∠BAD=∠ACD，∠BAF=∠CAE，則BC的長(zhǎng)為（ ）

　　A.11 B.12 C.13 D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　11.兩個(gè)圓內(nèi)切于K，大圓的弦AB與小圓切于L，已知AK∶BK=2∶5，AL=10，則BL的.長(zhǎng)為（ ）

　　A.24 B.25 C.26 D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　12.f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，滿足2f（x）+f（x2-1）=1，x∈R，則f（-2）等于（ ）

　　A.0 B.12 C.13 D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　13.從一個(gè)正9邊形的9個(gè)頂點(diǎn)中選3個(gè)使得它們是一個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的方法是（ ）

　　A.30 B.36 C.42 D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　14.已知正整數(shù)a，b，c，d滿足ab=cd，則a+b+c+d有可能等于（ ）

　　A.101B.301C.401D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　15.三個(gè)不同的實(shí)數(shù)x，y，z滿足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，則x+y+z等于（ ）

　　A.-1B.0C.1D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　16.已知a+b+c=1，則4a+1+4b+1+4c+1的最大值與最小值的乘積屬于區(qū)間（ ）

　　A.[10，11）B. [11，12）

　　C. [12，13）D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　17.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BD=6，∠ABD=∠CBD=30°，則四邊形ABCD的面積等于（ ）

　　A.83 B.93

　　C.123D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　18.1！+2！+…+2016！除以100所得的余數(shù)為（ ）

　　A.3B. 13C.27D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　19.方程組x+y2=z3，

　　x2+y3=z4，

　　x3+y4=z5，的實(shí)數(shù)解組數(shù)為（ ）

　　A.5B.6C.7D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　20.方程x3+x33+x3+x3=3x的所有實(shí)根的平方和等于（ ）

　　A.0B.2C.4D.前三個(gè)答案都不對(duì)

　　參考答案

　　1.A.由切點(diǎn)在切線y=-x+2上，可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，2-x0）.又切點(diǎn)（x0，2-x0）在曲線y=-ex+a上，可得2-x0=-ex0+a.

　　再由y=-ex+a，得y′=-ex+a，可得曲線y=-ex+a在切點(diǎn)（x0，2-x0）處切線的斜率為-ex0+a.又切線y=-x+2的斜率為-1，所以-ex0+a=-1.進(jìn)而可得2-x0=-ex0+a=-1，x0=3，a=-3.

　　2.B.可不妨設(shè)0c.

　　結(jié)論（1）正確：因?yàn)榭傻胊+2ab+b>c，（a+b）2>（c）2，a+b>c.

　　結(jié)論（2）錯(cuò)誤：2，3，4是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但22，32，42不會(huì)是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).

　　結(jié)論（3）正確：因?yàn)榭傻胊+b2≤c+a2≤b+c2，a+b2+c+a2>b+c2.

　　結(jié)論（4）正確：因?yàn)閨a-b|+1=b-a+1，

　　|b-c|+1=c-b+1，|c-a|+1=c-a+1，

　　所以|a-b|+1≤|c-a|+1，

　　|b-c|+1≤|c-a|+1，

　�。▅a-b|+1）+（|b-c|+1）≥|（a-b）+（b-c）|+2>|c-a|+1.

　　3.解法1C.如圖1所示，設(shè)⊙O的半徑為r，由相交弦定理和勾股定理，可得

　　24·18=AE·EB=（r+OE）（r-OE）=r2-OE2，

　　242=r2+OE2，

　　把它們相加后，可求得OE=62.

　　4.D.由x∈（0，1）知，在f（x）的解析式中可不妨設(shè)p，q∈N，p>q，（p，q）=1.

　　由f（x）>17，可得x=qp，f（x）=1p>17；p=2，3，4，5，6，進(jìn)而可得

　　x=12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56

　　所以滿足題設(shè)的x的個(gè)數(shù)為11.

　　5.A.解法1D.因?yàn)閤4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x+a+10）+（3a+b+33）x+a+c+10，所以由題意，得方程x2-3x-1=0的兩個(gè)根3+132，3-132均是方程（3a+b+33）x+a+c+10=0的根，所以3a+b+33=a+c+10=0.得a+b-2c=（3a+b+33）-2（a+c+10）-13=-13.

　　解法2D.由題設(shè)，可得（x2-3x-1）（x4+ax2+bx+c）.又注意到x4+ax2+bx+c不含x3項(xiàng)，所以x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x-c），x4+ax2+bx+c=x4-（c+10）x2+3（c-1）x+c.

　　8.B.因?yàn)閷?shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，所以可設(shè)x1=r（cosθ+isinθ），x2=r[cos（-θ）+isin（-θ）]（r>0）.

　　得x21x2=r（cos3θ+isin3θ），

　　因?yàn)閤21x2為實(shí)數(shù)，所以θ=kπ3（k∈Z），再得

　　x1x2=cos2kπ3+isin2kπ3≠1

　　x1x22016=cos2kπ3·2016+isin2kπ3·2016

　　=cos（2kπ·672）+isin（2kπ·672）=1，

　　所以∑2015k=0x1x2k=1-x1x220161-x1x2=0.

　　9.D.這是均勻分組問(wèn)題，不同的分法種類為

　　C412C48C443！=5775.

　　10.A.如圖3所示，由∠BAF=∠CAE，∠BAC=90°，得∠EAF=90°.

　　又因?yàn)椤螧AD=∠ACD，所以AD⊥BC.得

　　DE·DF=AD2=BD·DC，

　�。�5-2）（4+2）=2DC，

　　DC=9，

　　BC=BD+DC=2+9=11.

　　圖3圖411.B.如圖4所示，設(shè)BK與小圓交于點(diǎn)M，連結(jié)ML，設(shè)CD為兩圓在公共點(diǎn)K處的公切線.

　　由弦切角定理，得∠BAK=∠DKM=∠KLM.

　　又因?yàn)椤螷LA=∠KML，所以∠AKL=∠BKL.

　　再由三角形角平分線性質(zhì)，可得ALBL=AKBK，

　　可求得BL=25.

　　12.C.在題設(shè)所給的等式中分別令x=0，1，-1，

　　得2f（0）+f（-1）=1，

　　2f（1）+f（0）=1，

　　2f（-1）+f（0）=1，

　　可解得f（0）=f（1）=f（-1）=13.

　　再在題設(shè)所給的等式中令x=-2，得2f（-2）+f（1）=1，所以f（-2）=13.

　　圖513.A.在圖5所示的正9邊形ABCDEFGHI中，以A為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形有且僅有4個(gè)（△ABI，△ACH，△ADG，△AEF），其中有且僅有△ADG是正三角形.

　　所以所求答案是3·9+93=30.

　　14.B.考慮a=mn，b=pq，c=mp，d=nq（m，n，p，q∈N*），得a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=（m+q）（n+p），所以只要選a+b+c+d是合數(shù)即可.

　　而101，401都是質(zhì)數(shù)，且301=7·43=（1+6）（1+42），

　　所以取m=1，q=6，n=1，p=42，得a=1，b=252，c=42，d=6，所以本題選B.

　　15.D.可設(shè)x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m，得x，y，z是關(guān)于t的一元三次方程t3-3t2-m=0的三個(gè)實(shí)數(shù)根.

　　由韋達(dá)定理，得x+y+z=3.

　　16.解法1C.設(shè)f（x）=4x+1，得

　　f′（x）=24x+1，f″（x）=-4（4x+1）-32<0，

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