《3.3 幾何概型》測(cè)試題部分
一、選擇題
1.(2011福建文)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查幾何概型的意義及其概率計(jì)算.
答案：C.
解析：所求概率為，故答案選C.
2.(2012遼寧理)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C．現(xiàn)作一矩形，其邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32的概率為( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查函數(shù)模型的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型的計(jì)算，以及分析問題的能力.
答案：C.
解析：設(shè)線段AC的長為cm，則線段CB的長為cm，矩形的面積為，由解得或.又∵，∴該矩形面積小于32的概率為，故選C.
3.(2012北京理)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是 ( ).
A. B. C. D.
考查目的：不等式組表示平面區(qū)域以及幾何概型的計(jì)算.
答案：D.
解析：題目中表示的區(qū)域表示正方形區(qū)域，而動(dòng)點(diǎn)D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一的圓的面積部分，因此，故選D.
二、填空題
4.(2010湖南文)在區(qū)間[-1，2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率為 .
考查目的：考查與長度有關(guān)的幾何概型問題的概率計(jì)算.
答案：.
解析：區(qū)間[0，1]的兩端點(diǎn)之間長度是1，區(qū)間[-1，2]的長度是3，故的概率是.
5.已知下圖所示的矩形，其長為12，寬為5.在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒1 000顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為550顆，則可以估計(jì)出陰影部分的面積約為 .
考查目的：了解隨機(jī)數(shù)的概念，與面積有關(guān)的幾何概型概率問題.
答案：33.
解析：設(shè)陰影部分的面積為S，由條件知矩形面積為60，則，解得.
6.將一條5米長的繩子隨機(jī)地切斷成兩條，事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件，事件T發(fā)生的概率 .
考查目的：考查隨機(jī)事件是否為幾何概型的判斷.
答案：.
解析：類似于古典概型，先找到基本事件組，既找到其中每一個(gè)基本事件.注意到每一個(gè)基本事件都與唯一一個(gè)斷點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，故基本事件組中的基本事件就與線段上的.點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，若把離繩首尾兩端距離為1的點(diǎn)記作M、N，則顯然事件T所對(duì)應(yīng)的基本事件所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段MN上.由于在古典概型中事件T的概率為T包含的基本事件個(gè)數(shù)/總的基本事件個(gè)數(shù)，但這兩個(gè)數(shù)字(T包含的基本事件個(gè)數(shù)、總的基本事件個(gè)數(shù))是無法找到的，所以用線段MN的長除以線段AB的長表示事件T的概率，即.
三、解答題
7.如圖，在單位圓O的某一直徑上隨機(jī)的取一點(diǎn)Q，求過點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率．
考查目的：考查幾何概型問題的概率計(jì)算，以及對(duì)立事件概率計(jì)算等.
答案：.
解析：弦長不超過1，即，而Q點(diǎn)在直徑AB上是隨機(jī)的，事件.由幾何概型的概率公式得.
∴弦長不超過1的概率為.
8.甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率.
考查目的：考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型概率問題解決的能力.
答案：.
解析：以軸和軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會(huì)面滿足的條件是.在如圖所示平面直角坐標(biāo)系下，(，)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形區(qū)域，而事件A“兩人能夠會(huì)面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示.由幾何概型的概率公式得.
高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：雙曲線方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
雙曲線方程
1. 雙曲線的第一定義：
�、泞匐p曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：. 一般方程：.
�、脾賗. 焦點(diǎn)在x軸上：
頂點(diǎn)： 焦點(diǎn)： 準(zhǔn)線方程 漸近線方程：或
ii. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：. 焦點(diǎn)：. 準(zhǔn)線方程：. 漸近線方程：或，參數(shù)方程：或 .
�、谳S為對(duì)稱軸，實(shí)軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. ③離心率. ④準(zhǔn)線距(兩準(zhǔn)線的距離);通徑. ⑤參數(shù)關(guān)系. ⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線方程(分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn))
“長加短減”原則：
構(gòu)成滿足(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào))
�、堑容S雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.
�、裙曹楇p曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.
�、晒矟u近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.
例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程?
解：令雙曲線的方程為：，代入得.
�、手本�與雙曲線的位置關(guān)系：
區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條;
區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條;
區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條;
區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條;
區(qū)域⑤：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線.
小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.
(2)若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).
�、巳鬚在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m = n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m?n.
簡證： =,高中英語.
常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.
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