2017華杯賽試題及答案
１．?dāng)z制組從A市到B市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，由于堵車，中午才趕到一個小鎮(zhèn)，只行駛了原計劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息，司機說，再走從C市到這里路程的三分之一就到達目的地了.問:A、B兩市相距多少千米？
2．問：（a）1995年全年有幾個星期日？全年有幾個月有五個星期日？
�。╞）1996年全年有幾個星期日？全年有幾個月有五個星期日？
3． 甲、乙、丙三個班人數(shù)相同，在班之間舉行象棋比賽，將各班同學(xué)都按1，2，3，，編號．當(dāng)兩個班比賽時，具有相同編號的同學(xué)在同一臺對壘，在甲、乙兩班 比賽時，有15臺是男、女生對壘；在乙、丙兩班比賽時，有9臺是男、女生對壘．試說明在甲、丙兩班比賽時，男、女生對壘的臺數(shù)不會超過24．什么情況下， 正好是24？
4．用0，1，2，3，4五個數(shù)字，組成四位數(shù)，每個四位數(shù)中的數(shù)字不同（如1023，2341），求全體這樣的四位數(shù)之和．
5． 某幼兒園的小班人數(shù)最少，中班有27人，大班比小班多6人，春節(jié)分橘子25箱，每箱橘子不超過60個，不少于50個，橘子總數(shù)的個位數(shù)是7，若每人分19 個，則橘子數(shù)不夠，現(xiàn)在大班每人比中班每人多分一個，中班每人比小班每人多分一個，剛好分完，問這時大班每人分多少橘子？小班有多少人？
6．一個圓周上有12個點，，，，．以它們?yōu)轫旤c連三角形，使每個點恰是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交．問有多少種連法？
參考答案
1．A，B兩市相距600千米 2．（a）1995年共有53個星期日，全年有五個月有五個星期日，（b）1996年共有52個星期日，全年只有四個月有五個星期日． 3．略 4．259980 5．大班每人分得18個橘子；小班有25人． 6．共有55種不同的連法
1.【解】如圖所示．設(shè)小鎮(zhèn)為D點，傍晚到達E點，F(xiàn)為AB中點.
AD是AC的三分之一，即DC＝2×AD，EB是CE的二分之一，即CE＝2×EB，所以DE＝DC＋CE＝2×(AD十EB)
已知DE＝400，所以AD＋EB＝400÷2＝200，從而AB＝400＋200＝600(千米)
答：A、B兩市相距600千米
【注】本題中，“計劃上午比下午多走100千米”這一條件是多余的
2.【解】(a)1995年1月1日是星期日，1995年全年有365天，每7天有且僅有一個星期日7×52＝364，因此，從1995年1 11 2日到1995年12月31日．這364天中有52個星期日，加上1995年1月1日這個星期日，共是53個星期日.
最小的月有28天，最大的月有31天，因此無論哪個月都最少有4個星期日，最多有5個星期日.53＝12×4＋5，因此，1995年中有五個月有五個星期日.
(b)1995年1月1日是星期日，經(jīng)過364天后，1995年12月31日也是星期日.所以1996年1月1日是星期一.1996年是閏年，2月有29天，經(jīng)過364天后，1996年12月30日是星期一，所以1996年全年共有52個星期日，全年只有四個月有五個星期日.
3.【解】我們可以把乙班同學(xué)分成三部分，第一部分為與甲班相同編號的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為15人），第二部分為與丙班相同編號的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為9人），其余為第三部分.設(shè)A同學(xué)屬于第三部分，他與甲班相同編號的同學(xué)通性，與丙班相同編號的同學(xué)也為同性，所以，與A相同編號的甲班和丙班同學(xué)必為同性.由此可知，甲、丙兩班比賽時，男、女生對壘的臺數(shù)不會超過24.只有當(dāng)與乙班第一部分相同編號的丙班同學(xué)均與乙班同學(xué)同性，并且與乙班第二部分相同編號的甲班同學(xué)也均與乙班同學(xué)同性時，甲、丙兩班比賽中，男、女生對壘的臺數(shù)正好是24.
4.【解】千位數(shù)字是1的有4×3×2＝24個(因為百位數(shù)字可從0、2、3、4中選擇，有4種，百位確定后，十位有3種選擇，百位，十位確定后，個位有2種選擇)．千位數(shù)字是2、3、4的也有24種。
百位數(shù)字是1的有3×3×2＝18個(因為千位數(shù)字可從2、3、4中選擇，有3種。千位確定后，十位數(shù)字也有3種選擇(可以為0)，千位、十位確定后，個位數(shù)字有兩種選擇)百位數(shù)字是2、3、4的也有18個。同樣，十位數(shù)字、個位數(shù)字是1、2、3、4的也各有18個 因此，所求的和是(1000＋2000＋3000＋4000)×24＋18×(1＋2＋3＋4)×(1＋10＋100)＝259980
5.【解】第一步，估計全園人數(shù)的上界
因為小班人數(shù)少于中班27人，最多為26人所以大班最多為32人，全園人數(shù)最多為26＋27＋32＝85(人)．
第二步，計算中班每人分得的橘子數(shù)．
假如大班每人拿出一個橘子，小班每人多分一個橘子，全園小朋友每人分得橘子一樣多，還余6個因此19＞中班每人分得橘子數(shù)＝＞＞14.6
所以中班每人分得橘子數(shù)只可能是15，16，17，18.
橘子總數(shù)的個位數(shù)是7，(橘子總數(shù)－6)的個位數(shù)字是1，所以(全園人數(shù)×中班每人分得橘子教)的個位數(shù)字是1.因此，中班分得橘子數(shù)不能是15，16，18，只能是17.
第三步，計算全園人數(shù) 85≥全園人數(shù)＝＞＞73.
再由(全園人數(shù)×17)的個位數(shù)字是1，可知全園人數(shù)的個位數(shù)字是3，從而：全園人數(shù)＝83(人)
第四步，計算小班人數(shù)
大班人數(shù)＋小班人數(shù)＝83－27＝56(人)，大班人數(shù)一小班人數(shù)＝6(人)
所以小班人數(shù)＝＝25(人)
答：大班每人分得18個橘子，小班有25人.
6.【解】我們采用遞推的方法
(1)如果圃上只有3個點；那么只有一種連法
(2)如果圓上有6個點，除點所在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在所在三角形的一條邊所對應(yīng)的圓弧上，表1給出這時有可能的連法,
表1:
共有3種連法
(3)如果圓上有9個點，考慮所在的三角形此時，其余的6個點可能分布在①所在三角形的一個邊所對的弧上；②也可能三個點在一個邊所對應(yīng)的弧上，另三個點在另一邊所對的弧上。在表2中用“＋”號表示它們分布在不同的邊所對的弧。如果是情形①，則由(2)，這六個點有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個點都只能有一種連法.
表2
共有12種連法.
(4)最后考慮圓周上有12個點。同樣考慮
①每三個點在所在三角形．剩下9個點的分布有三種可能，所在三角形的一條邊對應(yīng)的孤上；②有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上；③9個點都在同一段孤上。得到表3．
表3
共有12＋3＋3＋12＋3＋1＋3＋3＋3＋12＝55種 答：共有55種不同的連法
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