小議抽象函數的性質論文
[摘 要]高中數學的重點章節,對函數性質的考察一直是高考的熱點。學生在此之前已經對函數的對稱性和周期性有了初步的理解,但是認識比較膚淺,缺乏全面深入的研究。
[關鍵詞]抽象函數 周期性 單調性 奇偶性
做抽象函數的題目需要有嚴謹的邏輯思維能力、豐富的想象力以及函數知識靈活運用的能力。近幾年高考中也常出現涉及抽象函數的題目,大多考查的是函數的單調性、奇偶性、對稱性和周期性。而在實際教學中我感覺同學們對于抽象函數周期性的判定和運用比較困難,所以先研究一下抽象函數的周期性問題。
預備知識:對于函數定義域內的每一個x,若存在某個常數T(T≠0),使f(x+T)=f(x)總成立,則f(x)是周期函數。T是f(x)的一個周期,若T是f(x)的一個周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是f(x)的周期。
一、函數的對稱性
定理1.若函數y=f (x)定義域為R,且滿足條件:f (a+x)=f (b-x),則函數y=f (x)的圖象關于直線x=對稱。
推論1.若函數y=f (x)定義域為R,且滿足條件:f (a+x)=f (a-x)
(或f (2a-x)= f (x) ),則函數y=f (x)的圖像關于直線x= a對稱。
定理2.若函數y=f (x)定義域為R,且滿足條件:f (a+x)+f (b-x)=c,(a,b,c為常數),則函數y=f (x)的圖象關于點對稱。
推論1.若函數y=f (x)定義域為R,且滿足條件:f (a+x)+f (a-x)=0,(a為常數),則函數y=f (x)的圖象關于點(a,0)對稱。
二、抽象函數周期的求法
由于抽象函數無具體的解析式,所以應根據周期函數的.定義來解決,大致分為以下幾個類型:
1.型如f(x+a)=f(x+b)(a≠b)
分析:用替換思想將條件等式化成定義形式.將原等式中的x用x-a(或x-b)來替換.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即f(x)=f[x+(b-a)]所以根據周期函數的定義得f(x)是周期函數且b-a是其一個周期.若用x-b替換x得f(x)=f[x+(a-b)]所以f(x)是周期函數且a-b是其一個周期。
2.型如f(x)=-f(x+a)(a≠0)
分析:條件與定義相比多了一個負號,故可用替換和代入的方法變為定義形式。將原等式中的x用x+a替換得f(x+a)=-f(x+2a),則所以f(x+2a)=-f(x+a)=f(x),所以f(x)是周期性函數且2a是其一個周期。
3.型如f(x)= (a≠0)
分析:與上一類型相仿用替換和代入的方法得到周期函數定義的形式.將原條件等式中的x用x+a替換得f(x+a)= ,則f(x+2a)= =f(x)
所以f(x)是周期函數,2a是其一個周期.
從以上可發現求周期,主要是用替換與代入的思想將原條件等式化成定義的形式得到周期.
三、抽象函數周期性與函數的奇偶性,對稱性的關系
2001年全國高考的第22題第2問就涉及這方面的知識,仔細分析發現其結論可推廣,在很多函數小題中有靈活運用。
1.設條件A:定義在R上的函數f(x)是一個偶函數。條件B:f(x)關于x=a對稱條件C:f(x)是周期函數,且2a是其一個周期.結論:已知其中的任兩個條件可推出剩余一個。證明:①已知A、B→C(2001年高考第22題第二問)∵f(x)是R上的偶函數∴f(-x)=f(x)又∵f(x)關于x=a對稱∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函數,且2a是其一個周期②已知A、C→B∵定義在R上的函數f(x)是一個偶函數∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一個周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)關于x=a對稱③已知C、B→A∵f(x)關于x=a對稱∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一個周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x)∴f(x)是R上的偶函數看來偶函數性質加上對稱性可推出同期性。那么奇函數是不是也可以呢?經分析可得:
2.定義在R上的奇函數f(x)關于x=a對稱,則f(x)是周期函數,4a是其一個周期。證明:∵定義在R上的奇函數f(x)∴f(-x)=-f(x)又∵f(x)關于x=a對稱∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=-f(x+2a)再根據周期求法中的第二類型可得f(x)=f(x+4a)(替換+代入)故f(x)是周期函數,4a是其一個周期。奇函數本身是一個中心對稱圖形,關于原點對稱那么若f(x)關于x軸上另一點線中心對稱,再加對稱性是否也可推出周期性嗎?經分析可得:
3.f(x)關于(a、0)成中心對稱且f(x)關于x=b成軸對稱(a≠b),則f(x)是周期函數且4(b-a)是其一個周期。若f(x)關于x軸上的兩個點成中心對稱呢?
4.定義在R上的f(x)關于(a、0)和(b、0)都成中心對稱則f(x)是周期函數且2(b-a)是一個周期。證明:∵定義在R上的f(x)關于(a、0)成中心對稱∴f(-x)=-f(x+2a)又∵定義在R上的f(x)關于(b、0)成中心對稱∴f(-x)=-f(x+2b)∴f(x)是周期函數且2(b-a)是其一個周期將原條件換成關于x=a,x=b對也行,結論成立。綜上可知函數的周期性、對稱性、奇偶性之間的關系相當緊密,靈活運用可簡化題目難度。
例1.f(x)是R上的奇函數f(x)=-f(x+3),x∈[0,3/2]時f(x)=x,則f(2003)=?解:方法一∵f(x)=-f(x+3)(替換、代入)∴f(x)=f(x+6)∴6是f(x)的一個周期f(x)∴f(2003)=f(334*6-1)=f(-1)=-f(1)=-1方法二∵f(x)=-f(x+3),f(x)是奇函數∴f(-x)=f(x+3)∴f(x)關于x=3/2對稱又∵f(x)是奇函數∴6是f(x)的一個周期,以下與方法一相同。
例2.f(x)是R上的偶函數,f(1-x)=f(x+1),x∈[-1,0]時f(x)=Log0.5(-x)則f(2003)=?解:∵f(x)是偶函數,f(1-x)=f(x+1)(即f(x)關于x=1對稱)∴根據結論1得2是f(x)的一個周期∴f(2003)=f(2*1002-1)=f(-1)=Log0.5(1)=0
例3.f(x)滿足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),若f(a)=-f(2000),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上單調。求a的值。解:∵f(x)=-f(6-x)∴f(x)關于(3,0)對稱∵f(x)=f(2-x)∴f(x)關于x=1對稱∴根據結論3得8是f(x)的一個周期∴f(2000)=f(0)又∵f(a)=-f(2000)∴f(a)=-f(0)又∵f(x)=-f(6-x)∴f(0)=-f(6)∴f(a)=f(6)∴a=6
利用周期函數的周期求解函數問題是基本的方法,此類問題的解決應注意到周期函數定義、緊扣函數圖象特征,尋找函數的周期,從而解決問題。
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