關(guān)于勾股定理的研究性論文
第一篇勾股定理論文：
勾股定理的內(nèi)容是aZ+bZ=eZ(a、b、e是直角三角形的三條邊)。我們以三角形的三條邊組成三個(gè)正方形,通過(guò)割補(bǔ)移位,使兩個(gè)正方形面積之和等于第三個(gè)正方形面積的形式,制作一幅投影片,用來(lái)配合勾股定理的推導(dǎo),對(duì)教學(xué)十分有益。
一、片型
抽拉旋轉(zhuǎn)片
二、制作方法
1、底片。畫(huà)一個(gè)直角三角形,標(biāo)出三條邊a、b、“。以“、b、“為稗長(zhǎng)畫(huà)三個(gè)正方形,其中“邊組成的正方形用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出,均勻地涂上藍(lán)色。其他兩個(gè)正方形用虛線(xiàn)畫(huà)出,不涂色彩。見(jiàn)圖1。
圖1
2、抽片(一)。取一條長(zhǎng)膠片,長(zhǎng)約等于底片長(zhǎng)的一倍半,寬等于底片寬的一半。以b為邊長(zhǎng),用實(shí)線(xiàn)畫(huà)一個(gè)正方形,均勻涂上紅色,見(jiàn)圖2。
圖2
3、抽片(二)。取一條長(zhǎng)膠片,長(zhǎng)等于底片長(zhǎng)的2倍,寬等于底片的寬。以c為邊長(zhǎng),用實(shí)線(xiàn)畫(huà)一個(gè)正方形,在正方形內(nèi)留出兩個(gè)直角三角形的空白,三角形的大小與圖l中的直角三角形相同,其余部分均勻涂上黃色,見(jiàn)圖3。
圖3
4、轉(zhuǎn)片(一)。用膠片剪一個(gè)直角三角形,大小與圖1中的直角三角形相同,涂上黃色,以斜邊和長(zhǎng)直角邊的交點(diǎn)為軸心打孔,準(zhǔn)備裝旋轉(zhuǎn)鉚釘,見(jiàn)圖4。
圖4
5、轉(zhuǎn)片(二)。同4所述,剪一個(gè)直角三角形,涂上黃色,以斜邊和短直角邊的交點(diǎn)為軸心打孔,準(zhǔn)備裝鉚釘,見(jiàn)圖5。
圖5
6、將圖4、圖5所示的兩個(gè)三角形,放在圖3所示的正方形內(nèi),用鉚釘分別將兩個(gè)三角形固定在正方形的兩個(gè)頂角上,使之能轉(zhuǎn)動(dòng)。注意兩個(gè)三角形的黃色與正方形內(nèi)黃色一致,看上去是一個(gè)完整的正方形,見(jiàn)圖6。
圖6
7、將圖2所示的抽片(一)水平插入圖1所示的片框內(nèi),使圖2中的正方形與圖l中的b邊組成的虛線(xiàn)正方形重合,能向右抽動(dòng),見(jiàn)圖7下部。
圖7
將圖6所示的抽片(二)按與底片直角三角形的斜邊c垂直的方向,插人圖1所示的片框內(nèi),使圖6中的正方形與底片。邊組成的正方形重合,并能向右下方抽動(dòng),見(jiàn)圖7。
三、使用方法
1.如圖7所示,講直龍三角形的三條邊分別是a、b、“,以氛b、c、為邊一長(zhǎng)的藍(lán)色、紅色、黃色三個(gè)正方形分別代表aZ、bZ、eZ。
2.向右拉動(dòng)紅色的正方形,向右下方拉動(dòng)黃色的正方形,至圖8所示的位置。說(shuō)明紅、黃兩個(gè)正方形的位置變了,但面積大小沒(méi)有變。指出黃色正方形與藍(lán)色正方形及紅色正方形有一部分已經(jīng)重合,如果其他部分也完全重合,就證明面積相等了。
圖8
3.將圖4所示的三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9。。,將圖5所示的三角形順時(shí)視旋轉(zhuǎn)90。,如圖9所示,會(huì)出現(xiàn)以。
邊組成的黃色正方形,通過(guò)移位、分解、旋轉(zhuǎn)后,與a邊組成藍(lán)色正方形,和與b邊組成的紅色正方形完全重合,從而直觀的表示:a+b=c。
圖9
第二篇勾股定理論文：《淺談勾股定理因材施教》
摘 要：勾股定理又名商高定理，也名畢達(dá)哥拉斯定理。從兩千多年前至今都有人在研究，其證明方法多達(dá)500種，并且在實(shí)際生活中有廣泛應(yīng)用。在中學(xué)階段，勾股定理是幾何部分最重要的定理之一，不僅是教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)，而且也是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，除此之外，還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)拓學(xué)生知識(shí)面，提升學(xué)生思維水平。
關(guān)鍵詞：勾股定理 中學(xué)生 心理特征 證明方法 解題思路。
一、勾股定理介紹
在古代中國(guó)，數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》開(kāi)頭，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話(huà)：昔者周公問(wèn)于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”商高答曰：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日”這是中國(guó)古代對(duì)勾股定理的最早記錄。在《九章算術(shù)》中，“勾股術(shù)曰：勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，即弦．又股自乘，以減弦自乘，其余開(kāi)方除之，即勾．又勾自乘，以減弦自乘，其余開(kāi)方除之，即股”。畢達(dá)哥拉斯參加一次餐會(huì)，餐廳鋪著正方形大理石地磚，他凝視這些排列規(guī)則、美麗的方形磁磚，但畢達(dá)哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和"數(shù)"之間的關(guān)系，于是拿了畫(huà)筆并且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對(duì)角線(xiàn) 為邊畫(huà)一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和。這是西方對(duì)畢達(dá)哥拉斯定理最早的描述。
二、中學(xué)生心理特征
中學(xué)階段的學(xué)生正處于發(fā)育的第二高峰期，在生理和心理上都有很大的變化，在心理上的普遍特征：1.有意注意發(fā)展顯著，注意的范圍擴(kuò)大，穩(wěn)定性和集中性增強(qiáng)；2.記憶力隨著年齡的增長(zhǎng)而增加，對(duì)圖片、音頻等感性的記憶較好，對(duì)公式、定理等純理論的記憶較差，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科，基礎(chǔ)的理論公式很多，學(xué)生很容易記混淆；3.抽象思維的能力有提升，處于形式運(yùn)算階段，但對(duì)事物的思考基本還停留在事物表面，沒(méi)有完全形成自主有意識(shí)的抽象思維傾向；4.自制力有所提升，他們開(kāi)始喜歡崇拜有意志力、自控力的人，但是自身的自制力比較薄弱。雖然我并不贊成把學(xué)生分為優(yōu)等生、中等生和差等生，但是在實(shí)際的教育中，是存在這樣的分化，并且學(xué)生都存在上述的四個(gè)普遍特征，也存在一些差異：學(xué)習(xí)能力、思維方式、自制力等不同。優(yōu)等生在各個(gè)方面普遍比中等生好，而中等生又普遍比差等生好，我們應(yīng)該從這些差異點(diǎn)著手，因材施教，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)能力，引導(dǎo)自主學(xué)習(xí)，減少學(xué)生之間的'差異，使學(xué)生健康成長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值。
三、勾股定理的典型證明方法
勾股定理是全人類(lèi)文明的一個(gè)象征，也是平面幾何學(xué)的一顆明珠，在實(shí)際生活中也有廣泛應(yīng)用。兩千年以來(lái)，人們從來(lái)沒(méi)有停止對(duì)勾股定理的研究。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，勾股定理的證明方法多達(dá)500種，每一種方法都有優(yōu)點(diǎn)，每一種方法都包含全人類(lèi)的智慧。但在中學(xué)教學(xué)中，我們不可能做到面面俱到，只能教給學(xué)生一些典型、基礎(chǔ)的證明方法，通過(guò)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，自主探索。
說(shuō)明：第一種證明方法有兩個(gè)要點(diǎn)：1.幾何圖形的變化；2.確定等量關(guān)系。初中生可以理解這兩個(gè)要點(diǎn)，因此，我們可以以探究的形式讓學(xué)生自己做，一來(lái)可以提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣，二來(lái)也符合當(dāng)下的教育理念——探究學(xué)習(xí)。對(duì)于基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生而言，在掌握基本知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，可以增加他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，減少對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼情緒，對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生而言，他們可以通過(guò)這種證明方法，自學(xué)勾股定理的基本知識(shí)。第二、三種方法分別結(jié)合了相似三角形和圓的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，在教授相似三角形和圓的相關(guān)定理時(shí)，提出他們?cè)诠垂啥ɡ碜C明中的運(yùn)用。把前后知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，差等生可以回顧勾股定理，加深理解，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，中等生和優(yōu)等生可以構(gòu)建不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，形成知識(shí)體系，提升他們的抽象思維能力，對(duì)后繼學(xué)習(xí)有很大幫助。
四、勾股定理的典型解題思路
本題先通過(guò)不變量尋找等量關(guān)系，再利用勾股定理求解問(wèn)題。引導(dǎo)基礎(chǔ)較差的學(xué)生通過(guò)折疊尋找圖形中的不變量，建立等量關(guān)系，提升其處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的信心，學(xué)會(huì)一些數(shù)學(xué)的基本方法和思維方式；引導(dǎo)基礎(chǔ)較好的學(xué)生復(fù)習(xí)對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，適當(dāng)提煉解題思路，構(gòu)建知識(shí)體系。
說(shuō)明：題目本身很簡(jiǎn)單，由題目容易想到勾股數(shù)3、4、5，而忽略分類(lèi)討論。我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生突破慣性思維，不能過(guò)于片面、主觀，應(yīng)認(rèn)真仔細(xì)省題。初中生對(duì)問(wèn)題有思考，但思考的深度不夠。通過(guò)這道題可以告訴學(xué)生：突破慣性思維，全面思考問(wèn)題，不懼怕數(shù)學(xué)題，使他們?cè)敢庵鲃?dòng)思考數(shù)學(xué)題。本題運(yùn)用到分類(lèi)討論思想，這個(gè)思想在數(shù)學(xué)上的運(yùn)用十分廣泛。
五、結(jié)語(yǔ)
勾股定理是中學(xué)階段最重要的定理之一，本文從中學(xué)生的心理特征，以及不同層次的學(xué)生的不同學(xué)習(xí)特點(diǎn)、心理特點(diǎn)出發(fā)，立足縮小學(xué)生間的層次差異、實(shí)現(xiàn)學(xué)生自我價(jià)值的觀點(diǎn)，討論勾股定理在實(shí)際教學(xué)中的不同證明方法的教法，和一些典型題型的解題思路，以及如何在教課過(guò)程中引導(dǎo)不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí)，產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系。
參考文獻(xiàn)：
[1]《周髀算經(jīng)》[M].文物出版社1980年3月.據(jù)宋代嘉靖六年本影印.
[2]《九章算術(shù)》[M].重慶大學(xué)出版社.2006年10月.
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