直線的兩點(diǎn)式方程教學(xué)困惑解惑與感悟教育論文
一、問(wèn)題提出
在上到必修2第三章《直線與方程》時(shí)，我們學(xué)校同年級(jí)教文科的一位新教師問(wèn)我“直線的兩點(diǎn)式方程要不要上”？對(duì)于她問(wèn)這個(gè)問(wèn)題的原因我可以理解，甚至有同感，教給學(xué)生干嗎呢？理由一：既然已經(jīng)學(xué)了點(diǎn)斜式方程，直接由直線上的兩點(diǎn)、求出直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式不就把方程求出來(lái)了嘛。理由二：兩點(diǎn)式方程結(jié)構(gòu)復(fù)雜，即使教給學(xué)生，學(xué)生也未必能記住，如果記錯(cuò)了還不如不教，得不償失。理由三：兩點(diǎn)式方程限制條件多，垂直于坐標(biāo)軸的直線不能用兩點(diǎn)式來(lái)表示。正巧，我們學(xué)校和海鹽高級(jí)中學(xué)、平湖當(dāng)湖中學(xué)期中考試時(shí)是三校聯(lián)考的，到平湖當(dāng)湖中學(xué)去商討期中考試的范圍時(shí)，借此機(jī)會(huì)我也拿這個(gè)問(wèn)題請(qǐng)教了兩所學(xué)校的備課組長(zhǎng)，一致認(rèn)為直線的兩點(diǎn)式該弱化處理，學(xué)生容易算錯(cuò)。種種理由顯示直線的兩點(diǎn)式方程似乎沒(méi)有“立足之地”了。在新課標(biāo)下到底如何定位、把握直線的兩點(diǎn)式方程的教學(xué)呢？
二、課前分析
1.學(xué)情分析
在初中，學(xué)生學(xué)了一點(diǎn)平面幾何的知識(shí)，那時(shí)他們還僅限于圖形的處理。到了高中從《直線與方程》、《圓與方程》到選修1-1《圓錐曲線》這三章他們開始接觸解析幾何。解析幾何的本質(zhì)就是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。在《直線與方程》這一章中，以平面直角坐標(biāo)系為平臺(tái)，給直線插上方程的“翅膀”，通過(guò)直線的方程研究直線之間的位置關(guān)系：平行、垂直，以及兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)到直線的距離公式等等。
從幾何直觀到代數(shù)表示從代數(shù)表示到幾何直觀
�。ń⒅本�的方程）（通過(guò)方程研究幾何性質(zhì)和度量）
直線的方程起了一個(gè)“橋梁”的作用。直線的方程重要性不言而喻了。
2.兩點(diǎn)式本身的優(yōu)點(diǎn)分析
直線的兩點(diǎn)式體現(xiàn)了“兩點(diǎn)確定一條直線”這一樸素的數(shù)學(xué)理念；斜率不存在時(shí)的直線方程可用兩點(diǎn)式的變形寫出，向直線的一般式方程完成過(guò)渡；研究?jī)牲c(diǎn)式方程的目的不是說(shuō)這種形式比較簡(jiǎn)單或是好用，兩點(diǎn)式方程起著承上啟下的作用，它保持了知識(shí)的完整性和系統(tǒng)性，在思想與方法層面上，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng)應(yīng)該有好處；兩點(diǎn)式方程的表達(dá)式工整，結(jié)構(gòu)優(yōu)美，如果設(shè)它等于一個(gè)參數(shù)，馬上可以得到直線的參數(shù)方程，為將來(lái)選修模塊中的直線的參數(shù)方程做了鋪墊，這是其它方程所不能代替的。
如果按照點(diǎn)斜式的程度來(lái)上這節(jié)課的話，會(huì)不會(huì)真的“上了還不如不上”呢？帶著這個(gè)困惑我決定進(jìn)行一次“詳細(xì)上這堂課”的教學(xué)嘗試。
三、上課實(shí)錄
因?yàn)樯瞎?jié)課學(xué)過(guò)了直線方程的點(diǎn)斜式，所以我上課一開始給出了一道小練習(xí)：已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),求直線的方程.讓學(xué)生獨(dú)立當(dāng)場(chǎng)完成。做完之后我統(tǒng)計(jì)了一下，用點(diǎn)斜式方法來(lái)求的占，還有的同學(xué)是用初中學(xué)過(guò)的待定系數(shù)設(shè)求一次函數(shù)的方法。前者用時(shí)較短，后者用時(shí)較長(zhǎng)。看到這個(gè)結(jié)果，我基本心中有數(shù)，故意不做點(diǎn)評(píng)我開始了新課的教學(xué)。
師：前面我們已經(jīng)探索了確定直線位置的幾何要素有哪些？
生眾：兩點(diǎn)確定一條直線。
師：對(duì)。還有嗎？
生：已知一個(gè)點(diǎn)和傾斜角。
師：很好。傾斜角和斜率都表示直線的傾斜程度，所以已知一個(gè)點(diǎn)和直線的斜率也可以確定一條直線。已知直線過(guò)點(diǎn)和它的斜率（或傾斜角）可以求出直線的方程為，我們把這個(gè)方程稱為直線的點(diǎn)斜式，那么已知直線過(guò)了兩個(gè)點(diǎn)怎么求直線的方程呢？比如開頭那個(gè)小練習(xí)，我們可以怎么做呢？
讓兩個(gè)學(xué)生起立作答。對(duì)于這兩種做法我都給予了肯定。那么已知直線上兩點(diǎn)求直線方程有沒(méi)有更快捷的方法呢？我們一起探討吧。
師：已知、，如何求直線的方程？
生1：先求出直線的斜率，再寫出直線的點(diǎn)斜式方程：。
師：能不能變形？上式的形式不便于記憶及應(yīng)用，可以把上式進(jìn)行變形，使它的形式比較對(duì)稱和美觀，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。你認(rèn)為什么形式更美觀些？
生2：。
師：這是等價(jià)變形嗎？?jī)蛇叧詴r(shí)，必須。
生3：。
師：同理時(shí)才為等價(jià)變形。我們可以用方程
表示過(guò)兩點(diǎn)、的直線方程了。這個(gè)方程形式體現(xiàn)了“對(duì)稱美”，突出了兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線所過(guò)的兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以立即寫出直線的方程，所以我們就把這個(gè)形式的方程就叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式。
師：注意到方程后面的兩個(gè)限制條件，兩點(diǎn)式方程不能表示哪些直線呢？
生：當(dāng)時(shí)，直線傾斜角是90°，當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角是0°。這兩種直線不能用兩點(diǎn)式方程表示。
師：真聰明。那這兩種直線就沒(méi)有方程嗎？
生：有的。當(dāng)，直線傾斜角是90°時(shí)，直線垂直于軸，直線上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)都是，所以可用表示。同理當(dāng)，直線的傾斜角是0°時(shí)，直線可用方程表示。
師：非常好。直線的兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線，就如同直線的點(diǎn)斜式不能表示斜率不存在的直線一樣，有點(diǎn)殘缺美。但是有沒(méi)有辦法彌補(bǔ)這點(diǎn)小遺憾呢？把直線的兩點(diǎn)式方程怎么變一變就能表示平面上的任意一條直線？ 生4：分式化成整式，去分母。沒(méi)有分母它就沒(méi)有限制條件了。
師：真的太棒了。對(duì)角相乘把方程化為就可以了。
書上之所以不化成這種形式，是為了講究和諧美和對(duì)稱美。以后大家在直接使用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)，可要看清楚兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)喲，能不能用兩點(diǎn)式表示才是關(guān)鍵。
�。ê竺婢褪抢}講解和練習(xí)的鞏固，在此省略。）
通過(guò)課堂上學(xué)生熱烈的討論探究以及例題講解、課后練習(xí)的鞏固，我發(fā)現(xiàn)教學(xué)前的困惑，基本消除了。上完了《直線的一般式》之后，我觀察學(xué)生的作業(yè)，再碰到已知兩點(diǎn)求直線的方程時(shí)，他們用的.多的還是直線方程的兩點(diǎn)式。不用擔(dān)心學(xué)生會(huì)算錯(cuò)，要算錯(cuò)的話不管什么方法都會(huì)算錯(cuò)。結(jié)構(gòu)復(fù)雜也不是問(wèn)題，一節(jié)課的探究下來(lái)，對(duì)結(jié)構(gòu)也是理解的比較清楚了。通過(guò)這節(jié)課的備課、教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)教科書給了我們一個(gè)新觀念、新方法，也為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了新思路。
四、課后反思
1、研讀課標(biāo)，準(zhǔn)確定位教學(xué)目標(biāo)
新課標(biāo)準(zhǔn)提出：“高中數(shù)學(xué)應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)含其中的思想方法；教學(xué)中要注意溝通各個(gè)部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，通過(guò)類比、聯(lián)想、知識(shí)的遷移和應(yīng)用等方式，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力�！�
課程標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)的依據(jù)，務(wù)必認(rèn)真、反復(fù)地研讀，深刻領(lǐng)會(huì)、把握課程標(biāo)準(zhǔn)的精神，領(lǐng)悟新課改的理念。教學(xué)必須以課程標(biāo)準(zhǔn)為“綱”，孰輕孰重，清清楚楚，才能切實(shí)地貫徹新課改的精神和課標(biāo)的理念。
通過(guò)兩點(diǎn)式方程的教學(xué)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“兩點(diǎn)確定一條直線”這一樸素的數(shù)學(xué)文化理念；讓學(xué)生知道直線的方程有五種形式，增強(qiáng)了知識(shí)的系統(tǒng)性，擴(kuò)大了學(xué)生的視野。教學(xué)中讓學(xué)生分析方程的不同，以便于學(xué)生形成批判性的思維習(xí)慣；通過(guò)分析兩點(diǎn)式方程的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。達(dá)成以上目標(biāo)只需十幾分鐘，如果放棄這么好的一個(gè)教學(xué)時(shí)機(jī)，對(duì)學(xué)生的終生發(fā)展會(huì)留有遺憾。
2、研讀教材，準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)
教科書是解讀課程標(biāo)準(zhǔn)的范本。它凝聚著編者對(duì)課標(biāo)的準(zhǔn)確理解的心血，蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)教育內(nèi)涵，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的科學(xué)性和編排的合理性、藝術(shù)性。作為一線教師只有研讀教科書，才能準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)，悟出教科書的精髓，發(fā)揮教科書的教育作用。
在人教A版中，直線的斜截式和截距式是通過(guò)兩道例題的形式給出的，在課標(biāo)中明確提到“根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系�！苯滩牡木帉懻咴诰帉懡滩臅r(shí)的良苦用心可見(jiàn)一斑。我們只有不斷對(duì)教材中的每個(gè)細(xì)節(jié)深入研究，領(lǐng)悟教材編寫者的意圖，才是真正的“用教材”，才能提高個(gè)人的教學(xué)水平，才能真正把課堂教學(xué)落到實(shí)處。
3、研究學(xué)法，提高效率、貫徹理念
對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，多進(jìn)行一些學(xué)法指導(dǎo)，在教學(xué)時(shí)盡可能遵循方法和知識(shí)雙重走向，讓學(xué)生體驗(yàn)教科書分段設(shè)計(jì)、分層推進(jìn)的策略，學(xué)會(huì)自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式，為后續(xù)學(xué)習(xí)提出一個(gè)模式，學(xué)生自然而然地適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。
在這節(jié)直線的兩點(diǎn)式教學(xué)課中，老師著眼于“引”，啟發(fā)學(xué)生“探”，把“引”和“探”有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，采用探究、討論的教學(xué)方式，通過(guò)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動(dòng)參與直線的兩點(diǎn)式方程的探索、應(yīng)用活動(dòng)。
通過(guò)這一節(jié)“直線的兩點(diǎn)式”的教學(xué)前的課前困惑、上課解惑、課后反思。筆者深刻地感悟到：教學(xué)就是一種過(guò)程的經(jīng)歷、一種過(guò)程的體驗(yàn)、一種過(guò)程的感悟。
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