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極限思想在數(shù)學(xué)課堂中的滲透論文
摘 要：極限思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中有著相當(dāng)重要的地位和作用，靈活的運(yùn)用極限思想，可以將有些數(shù)學(xué)問(wèn)題化難為簡(jiǎn)，避免一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，探索出新的解題方向或轉(zhuǎn)化途徑，還可以幫助學(xué)生有效地提高自己的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。
關(guān)鍵詞：極限思想；無(wú)限分割；數(shù)學(xué)；滲透
【正文】極限思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中有著相當(dāng)重要的地位和作用，在數(shù)學(xué)課堂中有意識(shí)的給學(xué)生滲透基本的數(shù)學(xué)思想就顯得尤為的重要。而且，極限思想還可以幫助學(xué)生有效地提高自己的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，靈活的運(yùn)用極限思想，可以將有些數(shù)學(xué)問(wèn)題化難為簡(jiǎn)，避免一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，探索出新的解題方向或轉(zhuǎn)化途徑。那么，如何把極限思想有效地滲透到數(shù)學(xué)課堂中呢？我將根據(jù)我的數(shù)學(xué)教學(xué)的具體實(shí)踐談?wù)剺O限思想在數(shù)學(xué)課堂中的滲透。
一、 在介紹數(shù)學(xué)史上的三大數(shù)學(xué)危機(jī)中的悖論思想時(shí)滲透極限思想
數(shù)學(xué)史上出現(xiàn)了三次大的數(shù)學(xué)危機(jī)，也正是這三次大的數(shù)學(xué)危機(jī)促使數(shù)學(xué)有了更快、更大的發(fā)展。其中的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)中的悖論思想也給數(shù)學(xué)界帶來(lái)了翻天覆地的變化。關(guān)于悖論思想，有這樣一個(gè)小故事：兔子和烏龜賽跑，起初烏龜在兔子前100米，兔子每分走10米，烏龜每分走1米，兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜。兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)睦碛墒牵寒?dāng)兔子走完100米的時(shí)候，烏龜已經(jīng)向前走了10米，當(dāng)兔子再向前走10米的時(shí)候，烏龜又向前走了1米，當(dāng)兔子繼續(xù)向前走1米的時(shí)候，烏龜又向前走了0.1米，當(dāng)兔子再向前走0.1米的時(shí)候，烏龜又向前走了0.01米，……所以兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜。學(xué)生顯然不能接受“兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜”這個(gè)觀點(diǎn)，其實(shí)兔子追上烏龜?shù)臅r(shí)間是10+1+0.1+0.01+0.001+……= (分)，也就是說(shuō)兔子和烏龜之間的距離越來(lái)越小，兔子追上烏龜上一次的終點(diǎn)所用的時(shí)間越來(lái)越短，最后達(dá)到一種無(wú)限接近的狀態(tài)，這也是一種極限思想的影射。
在生活中也不乏這樣的實(shí)例：一個(gè)蘋(píng)果，今天吃它的一半，明天吃它的一半的一半，后天吃它的一半的一半的一半，……如果這樣下去，這個(gè)蘋(píng)果吃得完嗎？這個(gè)蘋(píng)果是永遠(yuǎn)吃不完的，理論上是這樣，實(shí)際上也是這樣，盡管蘋(píng)果越來(lái)越小，但還是有的（只要你有耐心，米粒大的物質(zhì)是有的）。我們只能說(shuō)，這個(gè)蘋(píng)果的極限為零，但卻絕不為零。這些問(wèn)題都使極限理論中的無(wú)窮的概念在學(xué)生的腦海中產(chǎn)生了朦朧的定義，這樣的教學(xué)卻可以使學(xué)生在頭腦中初步萌生出極限的概念。
二、 在數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)中滲透極限思想
要推導(dǎo)一個(gè)圓的面積公式，可以把它轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過(guò)的圖形。首先把圓平均分成兩個(gè)部分，再沿著圓心繼續(xù)平分成4個(gè)、8個(gè)、16個(gè)、32個(gè)、64個(gè)……完全相同的小扇形，并把圖拼成近似于長(zhǎng)方形的圖形，通過(guò)課件演示，讓學(xué)生看一看、想一想、如果一直這樣分下去，拼下去會(huì)怎樣？因?yàn)樯刃蔚幕≡絹?lái)越短、也越來(lái)越直，最后拼成的圖形就真的變成了長(zhǎng)方形。
要推導(dǎo)圓柱的體積公式，可以將圓柱的底面平均分成無(wú)數(shù)多份，它的底面就轉(zhuǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方形，整個(gè)圓柱也就成了一個(gè)長(zhǎng)方體，將圓柱沿高的方向切分成無(wú)窮多個(gè)細(xì)長(zhǎng)的長(zhǎng)方體，每個(gè)長(zhǎng)方體的體積都是“底面積×高”，根據(jù)乘法分配律，這無(wú)窮多個(gè)小長(zhǎng)方體的體積之和正好是“它們的底面積之和×高”，也即是圓柱體的“底面積×高”。
以上兩個(gè)計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，都是采用“化圓為方”、“變曲為直”的極限分割思想。在觀察有限分割的基礎(chǔ)之上，可以想象無(wú)限的細(xì)分，根據(jù)圖形分割組合的變化趨勢(shì)，想想它們的終極狀態(tài)。這樣不僅可以是學(xué)生形象的掌握?qǐng)A的面積和圓柱的體積公式的推導(dǎo)過(guò)程，而且在這種變化的過(guò)程中、在曲與直的矛盾轉(zhuǎn)化中形象的感受了無(wú)限逼近的極限思想。
三、 在教學(xué)新的知識(shí)點(diǎn)時(shí)滲透極限思想
許多人認(rèn)為0.99……這個(gè)數(shù)無(wú)論小數(shù)點(diǎn)后面9的個(gè)數(shù)怎樣增多，它始終只能越來(lái)越接近1，而不等于1。我在教學(xué)過(guò)程中從兩方面來(lái)說(shuō)明0.99……等于1。首先學(xué)生很容易理解1÷3=0.33……，2÷3=0.66……，因?yàn)椋?÷3）+（2÷3）=1，所以0.33……+0.66……=1，也就是0.99……=1；其次，0.99……和1比較大小，讓學(xué)生找大于0.99……而小于1的數(shù)，學(xué)生找不到這樣的數(shù)，從而告訴學(xué)生0.99……=1。
當(dāng)然，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠挖掘滲透極限思想的地方還有很多，比如說(shuō)：空間集合體中，棱柱、棱臺(tái)、棱錐之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，棱錐是棱柱的上底逐漸縮小的一種極限狀態(tài)；同樣，圓柱、圓臺(tái)、圓錐之間也是可以相互轉(zhuǎn)化的，圓錐也是圓柱的上底逐漸縮小的一種極限狀態(tài)。這種集合體之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系就體現(xiàn)了一種動(dòng)態(tài)的極限思想。
總之，極限思想是人類思想文化寶庫(kù)中的一朵奇葩，它不光是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的反映，也是吧知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的一種紐帶。我們可以在教學(xué)中更多的挖掘極限思想的滲透，讓學(xué)生去體會(huì)和感受這種思想方法，這樣學(xué)生沉淀下來(lái)的就不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，更主要的是一種數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，為他們以后構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，進(jìn)一步拓寬數(shù)學(xué)的空間，獨(dú)立學(xué)習(xí)和研究更高深的數(shù)學(xué)理論打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
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