中小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)觀的調(diào)查研究論文
1前言
數(shù)學(xué)觀是人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和看法。由于研宄領(lǐng)域、研宄視角等方面的不同，研宄者對(duì)數(shù)學(xué)觀的內(nèi)涵有著不同的分析。在哲學(xué)范疇里，數(shù)學(xué)觀是世界觀的一部分，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。而在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域里，數(shù)學(xué)觀是學(xué)習(xí)與教學(xué)觀念系統(tǒng)中的一種。綜合索梅(Schommer)對(duì)一般學(xué)習(xí)觀的分析以及舍恩費(fèi)爾德(Schoenfeld)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)觀的研宄，劉儒德等人提出中小學(xué)生的數(shù)學(xué)觀由數(shù)學(xué)知識(shí)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀和數(shù)學(xué)自我概念三部分構(gòu)成。其中，數(shù)學(xué)知識(shí)觀涉及對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性問題、簡(jiǎn)單性問題、社會(huì)性問題以及數(shù)學(xué)的價(jià)值等認(rèn)識(shí)|1]。張奠宙等人有著類似的看法。他們認(rèn)為學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的信念或觀念涉及到三個(gè)方面:關(guān)于數(shù)學(xué)的信念、關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念、關(guān)于自己的信念|21。
學(xué)生的數(shù)學(xué)觀作為一種元認(rèn)知知識(shí)，是學(xué)生先前經(jīng)驗(yàn)中重要的組成部分。學(xué)生的數(shù)學(xué)觀制約數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)策略、學(xué)習(xí)成績(jī)等。同時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)觀也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果之一，是在學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)展起來的。香港中文大學(xué)以黃毅英為主的數(shù)學(xué)觀研宄小組的一些研宄結(jié)果表明，許多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是符號(hào)與數(shù)字的運(yùn)算，涉及思考且有實(shí)用性因而他們的問題解決方式十分機(jī)械化，問題解決行為被“數(shù)學(xué)課堂文化”。國(guó)外不少研宄表明學(xué)生的數(shù)學(xué)觀與學(xué)校數(shù)學(xué)經(jīng)歷緊密相關(guān)，因而一些教學(xué)干預(yù)研宄希望通過改變數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)環(huán)境來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)觀。
目前，國(guó)內(nèi)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)觀進(jìn)行理論探討的比較多，而微觀層次上的實(shí)證性研宄比較少而且深度不夠，一些描述性結(jié)論還需要進(jìn)一步的驗(yàn)證。比如我國(guó)中小學(xué)生數(shù)學(xué)觀是否存在差異？不同數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平學(xué)生的數(shù)學(xué)觀是否存在差異？這些方面都還缺乏直接的實(shí)證證據(jù).
本研宄旨在探討中小學(xué)生數(shù)學(xué)觀中的數(shù)學(xué)知識(shí)觀。具體地來說，本研宄選取小學(xué)六年級(jí)和初二學(xué)生作為研宄對(duì)象借鑒黃毅英的研宄材料，采用假設(shè)性情境題目和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)問卷分析中小學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)觀，同時(shí)考察兩個(gè)研宄變量：年級(jí)和學(xué)業(yè)水平。我們希望能夠了解中小學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)觀的特點(diǎn)及發(fā)展，為后繼研宄累積資料。
2研究方法
2.1被試
有效被試為溫州市一所小學(xué)的六年級(jí)兩個(gè)班共90名學(xué)生，以及一所中學(xué)的初二年級(jí)兩個(gè)班共106名學(xué)生.其中，男生101人，女生95人。請(qǐng)這四個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)教師根據(jù)學(xué)生的平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，取數(shù)學(xué)成績(jī)排名前面的約20%學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)生，數(shù)學(xué)成績(jī)排名后面的約20%學(xué)生為后進(jìn)學(xué)生，中間的60%為中等學(xué)生，結(jié)果區(qū)分出優(yōu)秀學(xué)生38人，中等學(xué)生125人，后進(jìn)學(xué)生33人。
22測(cè)查工具
本研宄所采用的問卷由兩部分構(gòu)成。第一部分是12道假設(shè)性情境題目，取材于黃毅英所使用的研宄材料。請(qǐng)學(xué)生判斷這12種假設(shè)性情境是不是在做數(shù)學(xué)或用數(shù)學(xué)，回答“是”記1分，回答‘否’記0分。第二部分是改編的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)問卷。參考黃毅英等人對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)觀的分析|31，問卷包括三個(gè)維度維度一是“數(shù)學(xué)涉及運(yùn)算”，包括3個(gè)項(xiàng)目，Cronbacha系數(shù)為0.572考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)與運(yùn)算關(guān)系所持的態(tài)度。維度二是‘?dāng)?shù)學(xué)涉及思考”，包括8個(gè)項(xiàng)目，Cronbacha系數(shù)為0.620,旨在考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)涉及思考的認(rèn)i識(shí)維度三是“數(shù)學(xué)具有實(shí)用性”，包括9個(gè)項(xiàng)目，Cronbacha系數(shù)為0.883,旨在考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)具有實(shí)用性的認(rèn)識(shí)。一共由20道題目，部分取材于東北師范大學(xué)于卓的碩士論文。題目采用利克特量表五級(jí)評(píng)定：很不同意”、“比較不同意”、“不確定”、“比較同意”、“很同意’，分別記分為“1”、“234”、“5”；否定性題目反向計(jì)分。
23調(diào)查過程
問卷施測(cè)是在兩所學(xué)校放學(xué)后以班級(jí)為單位集中進(jìn)行的，整個(gè)過程約需15-20分鐘。
24數(shù)據(jù)處理
采用SPSS10.0統(tǒng)計(jì)軟件處理和分析數(shù)據(jù)。
3研究結(jié)果
31被試對(duì)假設(shè)性情境回答的人數(shù)百分比
表1為被試認(rèn)同12道假設(shè)性情境是做數(shù)學(xué)或用數(shù)學(xué)的人數(shù)百分比�？傮w上看，按照被試認(rèn)同做數(shù)學(xué)或用數(shù)學(xué)的人數(shù)百分比從高到低，題目排列為Ts>T4>T6>T12>T1>T2>T7>T0>T11>T3=T9。被試對(duì)假設(shè)性情境認(rèn)同程度
差異比較大，可分為三個(gè)水平，前面的T5、T4、T6這3道題的認(rèn)同程度均在80%以上；中間的T12、T1、T2、T7這4道題認(rèn)同程度約在50%-60%之間；后面的TK)、Tn、T8、丁3、乃這5道題學(xué)生認(rèn)同程度低于三分之一(33.3%)另外，在每道題目上初二年級(jí)的認(rèn)同程度都高于小學(xué)六年級(jí)。按照認(rèn)同程度，六年級(jí)學(xué)生的題目排列為Ts>T4>T6>Ti2>T1>Tx>T7>
由表2可見，從總體上看，年級(jí)主效應(yīng)極其顯著初二學(xué)生認(rèn)同程度顯著地高于六年級(jí)學(xué)生，學(xué)業(yè)水平的主效應(yīng)不顯著也不存在年級(jí)與學(xué)業(yè)水平的交互作用。就具體題目而言，T2、T5、T6、T7、T9、T12這6道題存在顯著或極顯著的年級(jí)差異，題
表3運(yùn)算、思考、實(shí)用性
目T12存在顯著的學(xué)業(yè)水平的差異，題目T4、Ti〇存在顯著的年級(jí)和學(xué)業(yè)水平的交互作用.
33被試在數(shù)學(xué)涉及運(yùn)算、思考、實(shí)用性三個(gè)維度上得分的方差分析
被試在數(shù)學(xué)涉及運(yùn)算、數(shù)學(xué)涉及思維、數(shù)學(xué)的實(shí)用性三個(gè)維度得分的描述性分析及方差分析的結(jié)果見表3、表4。
由表3可見，就總體而言，被試在數(shù)學(xué)涉及運(yùn)算維度上平均得分是10.06在從最低分3分到最高分15分的連續(xù)體上處于中上位置;在數(shù)學(xué)涉及思考維度上平均得分是31.26在從最低分8分到最高分40分的連續(xù)體上處于高分位置;在數(shù)學(xué)實(shí)用性維度上平均得分是37.32從最低分9分到最高分45分的連續(xù)體上處于高分位置。
由表4可見在數(shù)學(xué)涉及運(yùn)算維度上，年級(jí)主效應(yīng)不顯著，學(xué)業(yè)水平的主效應(yīng)顯著，不存在年級(jí)與學(xué)業(yè)之間的交互作用；事后分析表明，中等生的得分最高，并且顯著地高于后進(jìn)生(p=0.014)在數(shù)學(xué)涉及思考維度上，年級(jí)主效應(yīng)沒有達(dá)到顯著水平;學(xué)業(yè)水平的主效應(yīng)不顯著；不存在年級(jí)與學(xué)業(yè)水平之間的交互作用。在數(shù)學(xué)實(shí)用性維度上，年級(jí)主效應(yīng)極顯著，六年級(jí)學(xué)生的得分顯著地高于初二學(xué)生;學(xué)業(yè)水平的主效應(yīng)不顯著;不存在年級(jí)與學(xué)業(yè)水平之間的交互作用。
4討論
4.1學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)觀的基本情況分析
在假設(shè)性情境判斷中，認(rèn)同程度超過80%的3道題目所涉及的內(nèi)容是長(zhǎng)度測(cè)量、分?jǐn)?shù)大小比較、用計(jì)算器進(jìn)行加法計(jì)算這些都是屬于數(shù)學(xué)課程中的基本內(nèi)容。認(rèn)同程度在50%一60%之間的題目所涉及的內(nèi)容是估算估計(jì)、抽象的圖形（正弦曲線）這些是屬于數(shù)學(xué)課程中的選學(xué)內(nèi)容或高年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。認(rèn)同程度低于三分之一的題目所涉及的內(nèi)容是單純的觀察、生活中的判斷選擇、具體的圖形，這些內(nèi)容及其表述都
相當(dāng)生活化，很少出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材中。
由于算術(shù)運(yùn)算是數(shù)學(xué)課程中的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容，因此學(xué)生在判斷各種假設(shè)性情境時(shí)，無論是估算、測(cè)量還是數(shù)字比較，都有很強(qiáng)的做運(yùn)算的傾向，如果覺得這些情境中會(huì)有數(shù)學(xué)運(yùn)算，就判斷是做數(shù)學(xué)或用數(shù)學(xué)。這一點(diǎn)驗(yàn)證了黃毅英等人提到的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是‘可計(jì)’的研宄結(jié)果|3)。例如，題目Ti、T7、Tn的內(nèi)容都涉及到估計(jì)，但學(xué)生的認(rèn)同程度分別屬于三個(gè)水平，這說明學(xué)生在判斷時(shí)并不認(rèn)為估計(jì)本身就是數(shù)學(xué)，而主要是看是否涉及數(shù)字與運(yùn)算。另外，值得注意的是題目T6表明學(xué)生己經(jīng)普遍接受利用計(jì)算器來進(jìn)行計(jì)算，而在黃毅英1996年的研宄中不少學(xué)生不贊成用計(jì)算器計(jì)算是做數(shù)學(xué)，因?yàn)椤皇撬约核�，是機(jī)器算出來的”。這說明隨著時(shí)代的發(fā)展計(jì)算器與計(jì)算機(jī)己經(jīng)進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂。另一方面，黃毅英等人研宄認(rèn)為學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)受到壓抑;在本研宄中，學(xué)生對(duì)圖形還是區(qū)別對(duì)待的，他們比較能夠認(rèn)同抽象的曲線而不是具體的拼圖。
在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的三個(gè)維度上，學(xué)生在很大程度上肯定了數(shù)學(xué)涉及思考、數(shù)學(xué)的實(shí)用性，表現(xiàn)出比較高的理論認(rèn)識(shí)水平；而只是在中等程度上肯定數(shù)學(xué)涉及運(yùn)算，這說明隨著數(shù)學(xué)課程經(jīng)驗(yàn)的積累，高年級(jí)小學(xué)生和初中生己經(jīng)不再把數(shù)學(xué)狹隘地理解為等同于運(yùn)算，或者說學(xué)生認(rèn)識(shí)到涉及運(yùn)算的是數(shù)學(xué)但是數(shù)學(xué)不等于運(yùn)算。
在本研宄中，假設(shè)性情境判斷與數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)問卷結(jié)果之間存在某些不一致性。比如，雖然學(xué)生在回答問卷時(shí)相當(dāng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與社會(huì)實(shí)踐以及日常生活之間的聯(lián)系，但在判斷假設(shè)性情境時(shí)卻傾向于把在日常生活有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)如記錄、觀察、數(shù)學(xué)決定等方面看成是與數(shù)學(xué)無關(guān)的。對(duì)此的解釋是學(xué)生對(duì)假設(shè)性情境的判斷折射出的是一種對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)性質(zhì)的素樸、內(nèi)隱的認(rèn)識(shí);學(xué)生對(duì)問卷題目的回答直接反映了一種對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)性質(zhì)的理論上的認(rèn)識(shí)。學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)觀作為一種個(gè)體認(rèn)知的結(jié)果，未必是一種系統(tǒng)的整合的觀念系統(tǒng)，至少存在兩個(gè)層次的認(rèn)識(shí):一個(gè)層次是素樸、直覺、內(nèi)隱的認(rèn)識(shí)，不一定能夠有意識(shí)地提取但卻能支配數(shù)學(xué)行為，來源于個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的表面的直覺的概括;另一個(gè)層次是理論上的認(rèn)識(shí)，直接來源于學(xué)校教育。劉儒德等人在解釋開放式問卷與封閉式問卷所反映出的數(shù)學(xué)知識(shí)觀之間的不一致性時(shí)有過類似的分析|6]。
42中小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)觀的比較
在對(duì)假設(shè)性情境的'判斷上，初二學(xué)生的認(rèn)同程度顯著地高于六年級(jí)學(xué)生。這種年級(jí)效應(yīng)直接驗(yàn)證了學(xué)生數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)在很大程度上影響他們的數(shù)學(xué)知識(shí)觀。小學(xué)生的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主要是算術(shù)知識(shí)與簡(jiǎn)單的幾何圖形，而初二學(xué)生開始比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)代數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)，因而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的豐富性有更充分的認(rèn)識(shí).
在數(shù)學(xué)涉及運(yùn)算和數(shù)學(xué)涉及思考兩個(gè)維度上，初二學(xué)生的肯定程度都比六年級(jí)學(xué)生高但沒有表現(xiàn)出顯著差異。在數(shù)學(xué)實(shí)用性上初中學(xué)生的肯定程度卻顯著下降。對(duì)此可能的解釋是:其一，初中的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容更具有抽象性。小學(xué)的算術(shù)知識(shí)與日常生活的聯(lián)系很直接學(xué)生接觸到數(shù)學(xué)語言與曰常語言比較接近;而初中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活之間直接聯(lián)系比較少而且學(xué)生需要熟悉不同于日常語言的數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)。其二，由于面臨學(xué)生升入高中的考試壓力等，我國(guó)初中數(shù)學(xué)教育的目的帶有更多的功利性特點(diǎn)而遠(yuǎn)離其實(shí)用‘性。
43學(xué)業(yè)水平與學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)觀
許多研宄調(diào)查了學(xué)生的學(xué)習(xí)觀、知識(shí)觀與學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)過程及學(xué)業(yè)成績(jī)之間的關(guān)系，結(jié)果都表明，學(xué)生是否具備正確的和成熟的學(xué)習(xí)觀與他們的學(xué)業(yè)表現(xiàn)有非常密切的聯(lián)系111。而在本研宄中，不管是假設(shè)性處境判斷還是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)問卷的結(jié)果都不能表明學(xué)業(yè)水平對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)觀的明確的影響。對(duì)于這種現(xiàn)象，我們的解釋是:其一，不同學(xué)業(yè)水平學(xué)生的數(shù)學(xué)觀的差異，主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀與數(shù)學(xué)自我概念上而在數(shù)學(xué)知識(shí)觀上則表現(xiàn)出較多的一致性其二，在特定的學(xué)校文化環(huán)境中，由教師和各個(gè)學(xué)生組成了學(xué)習(xí)共同體。學(xué)習(xí)共同體中的成員相互影響，形成某些共識(shí)。而這些共識(shí)一旦確立，就獲得了很強(qiáng)的生命力，在很大程度上制約個(gè)體行為。學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)觀正是這些共識(shí)中的一類內(nèi)容。其三本研宄中假設(shè)性情境判斷題目所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)難度并不高。如果增加數(shù)學(xué)知識(shí)的難度，學(xué)生學(xué)業(yè)水平對(duì)其判斷的影響可能加強(qiáng)。比如，題目乃2存在學(xué)業(yè)水平的顯著差異而內(nèi)容涉及到的是正弦曲線。
5結(jié)論
51中小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)觀形成及發(fā)展與學(xué)校數(shù)學(xué)課程內(nèi)容緊密相關(guān)。同時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)觀既有素樸、直覺、內(nèi)隱的認(rèn)識(shí)層次也有理論上的認(rèn)識(shí)層次。
52中小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)觀存在差異。在對(duì)假設(shè)性情境的判斷上，初二學(xué)生的認(rèn)同程度顯著地高于六年級(jí)學(xué)生；在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)問卷上，在數(shù)學(xué)涉及運(yùn)算、數(shù)學(xué)涉及思考兩個(gè)維度上不存在年級(jí)差異，在數(shù)學(xué)實(shí)用性上，六年級(jí)學(xué)生的肯定程度顯著地高于初二學(xué)生。
53從總體上看，學(xué)生的學(xué)業(yè)水平與數(shù)學(xué)知識(shí)觀的關(guān)系不大。
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