用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)論文
數(shù)學(xué)的概念和定理比較多，而且比較抽象，數(shù)學(xué)的證明要進(jìn)行邏輯推理，做數(shù)學(xué)題需要掌握概念、定理和方法，這些使得不少學(xué)生感到數(shù)學(xué)比較難學(xué)。通常的數(shù)學(xué)教學(xué)一開始給出數(shù)學(xué)概念的定義，接著寫出有關(guān)的定理，然后對(duì)定理進(jìn)行證明。這種教學(xué)方式可以讓學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)的概念和定理，可以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力。但是學(xué)生不知道概念是怎么提出來(lái)的，不知道定理是怎么發(fā)現(xiàn)的，因此培養(yǎng)不出學(xué)生的創(chuàng)新能力。本人根據(jù)四十多年的教學(xué)和科研工作的經(jīng)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)就可以既使數(shù)學(xué)比較好學(xué)，又可以在教學(xué)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。
數(shù)學(xué)的思維方式是一個(gè)全過(guò)程：觀察客觀現(xiàn)象，抓住主要特征，抽象出概念；提出要研究的問(wèn)題，運(yùn)用“解剖麻雀”、直覺、歸納、類比、聯(lián)想和邏輯推理等進(jìn)行探索，猜測(cè)可能有的規(guī)律；經(jīng)過(guò)深入分析，只使用公理、定義和已經(jīng)證明了的定理進(jìn)行邏輯推理來(lái)嚴(yán)密論證，揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律，從而使紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序。
用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)，我們的主要做法有以下幾點(diǎn)。
1.觀察客觀現(xiàn)象自然而然地引出概念，講清楚為什么要引進(jìn)這些概念
線性空間的概念是高等代數(shù)中最重要的概念之一。我們讓學(xué)生觀察幾何空間（以定點(diǎn)0為起點(diǎn)的所有向量組成的集合）中有加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且滿足8條運(yùn)算法則；向量的坐標(biāo)是3元有序?qū)崝?shù)組，為了用坐標(biāo)來(lái)做向量的加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，很自然地在所有3元有序?qū)崝?shù)組組成的集合R3中引進(jìn)加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且也滿足8條運(yùn)算法則。幾何空間是3維空間，時(shí)一空空間是4維空間。有沒有維數(shù)大于4的空間？為了對(duì)數(shù)域K上的n元線性方程組直接從系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒有解和有多少解，從矩陣的初等行變換把線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣可以判斷線性方程組的解的情況受到啟發(fā)，很自然地在所有n元有序數(shù)組組成的集合Kn中引進(jìn)加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且也滿足8條運(yùn)算法則。Kn就是一個(gè)n維空間。我們抓住幾何空間，R3，Kn的共同的主要特征：“有加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且滿足8條運(yùn)算法則”，便自然而然地引出了線性空間的概念。為了使線性空間為數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的研究提供廣闊天地，需要把線性空間的結(jié)構(gòu)搞清楚。
幾何空間的結(jié)構(gòu)是，任意取定3個(gè)不共面的向量，空間中任一向量都可以由它們線性表出，并且表示方式唯一。由此受到啟發(fā)，對(duì)于線性空間V，如果有一族向量S使得V中每一個(gè)向量都可以由S中有限多個(gè)向量線性表出，并且S是線性無(wú)關(guān)的（這保證了表法唯一），那么稱S是V的一個(gè)基�；茄芯烤�性空間的結(jié)構(gòu)的第一條途徑。
幾何空間中給了過(guò)定0的一個(gè)平面和過(guò)定點(diǎn)0與n相交的一條直線1。在n上取兩個(gè)不共線的向量dpd2,在1上取一個(gè)非零向量d3，則^丸是幾何空間的一個(gè)基。于是幾何空間的每一個(gè)向量可以唯一地表示成n上的一個(gè)向量與1上的一個(gè)向量的和。由此引出了線性空間V的子空間的直和的概念；猜測(cè)并且證明了線性空間V等于它的若干個(gè)子空間％,…，Vm的直和當(dāng)且僅當(dāng)％的一個(gè)基Vm的一個(gè)基合起來(lái)是V的一個(gè)基。直和分解是研究線性空間的結(jié)構(gòu)的第二條途徑。
幾何空間的每一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于它在給定的一個(gè)基下的坐標(biāo)是幾何空間到R3的一個(gè)雙射，并且它保持加法和數(shù)量乘法運(yùn)算。由此受到啟發(fā)，引出了線性空間的同構(gòu)的概念；猜測(cè)并且證明了數(shù)域K上的n維線性空間都與Kn同構(gòu)。線性空間的同構(gòu)是研究線性空間的結(jié)構(gòu)的第三條途徑。
幾何空間J中給了過(guò)定點(diǎn)0的一個(gè)平面&，則與％平行或重合的所有平面給出了幾何空間J的一個(gè)劃分。由此受到啟發(fā)，數(shù)域K上的線性空間V中，給了一個(gè)子空間W，在V上建立一個(gè)二元關(guān)系：13?a當(dāng)且僅當(dāng)13-aGW。容易證明這是V上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。于是所有等價(jià)類組成的集合就給出了V的一個(gè)劃分，這個(gè)集合也稱為V對(duì)于W的商集，記作V/W。在V/W中可以規(guī)定加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且滿足8條運(yùn)算法則，從而V/W成為數(shù)域K上的一個(gè)線性空間，稱它為V對(duì)于W的商空間。幾何空間J中與過(guò)定點(diǎn)0的平面&平行或重合的所有平面組成的集合是J對(duì)于A的商空間。過(guò)點(diǎn)0作與&相交的一條直線1，則把與&平行或重合的每一個(gè)平面對(duì)應(yīng)于這個(gè)平面與1的交點(diǎn)是商空間J/&到直線1的一個(gè)雙射，并且它保持加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，從而商空間J/&與直線1同構(gòu)。于是
dim(J/兀0)=dim1=1=3-2=dimJ-dim兀0.
由此受到啟發(fā)，我們猜測(cè)并且證明了對(duì)于數(shù)域K上的n維線性空間V有
dim(V/W)=dimV-dimW.
這使得我們可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明線性空間中有關(guān)被商空間繼承的性質(zhì)的結(jié)論。
在商空間J/&中取一個(gè)基令1是過(guò)點(diǎn)0且方向?yàn)閮傻闹本�，則J=7TQ?1。由此受到啟發(fā)，我們猜測(cè)并且證明了對(duì)于數(shù)域K上的線性空間V和它的一個(gè)子空間W，如果商空間V/W有一個(gè)基Pi+W，…，pt+w,令U是由V中的向量組p!,…，pt生成的子空間，那么V=W?U，并且p!,…，pt是U的一個(gè)基。這表明只要商空間V/W是有限維的，并且知道了商空間V/W的一個(gè)基，那么線性空間V就有一個(gè)直和分解式。
上述兩方面表明商空間是研究線性空間的結(jié)構(gòu)的第四條途徑。
2.提出要研究的問(wèn)題，探索并且論證可能有的規(guī)律
高等代數(shù)研究的一個(gè)重要問(wèn)題是對(duì)于域F上n維線性空間V上的線性變換A，能不能找到V的一個(gè)基，使得A在此基下的矩陣具有最簡(jiǎn)單的形式？
如果能找到V的一個(gè)基使得線性變換A在此基下的矩陣是對(duì)角矩陣，那么稱A可對(duì)角化。直接計(jì)算可得，A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。由此可得，A可對(duì)角化的充分必要條件是V能分解成A的特征子空間的直和：…?V、，其中,▽&是A的全部不同的特征值。
對(duì)于不可對(duì)角化的線性變換A，它的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示是什么樣子？從A的特征子空間的定義受到啟發(fā)，引出A的不變子空間的概念。類比A可對(duì)角化的充分必要條件是V能分解成A的特征子空間的直和，我們?nèi)ヌ剿鳎喝绻鸙能分解成A的不變子空間的直和，那么在每個(gè)不變子空間中取一個(gè)基，它們合起來(lái)是V的一個(gè)基，A在此基下的矩陣是一個(gè)分塊對(duì)角矩陣。于是解決A的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示的問(wèn)題分為兩步。
第一步去尋找A的非平凡不變子空間，使得它們的和是直和，并且等于V。利用“如果V上的線性變換B與A可交換，那么B的核KerB是A的不變子空間”這個(gè)結(jié)論，對(duì)于域F上的任意一個(gè)一元多項(xiàng)式f(x)，不定元x用A代入，得到的f(A)與A可交換，從而Kerf(A)是A的不變子空間。fjx)與f2(x)滿足什么條件才能使Kerfi(A)+Kerf2(A)是直和呢？這只要Ker4(八)門Kerf2(A)=0?直覺猜測(cè)若fjx)與f2(x)互素，是否有可能滿足這個(gè)要求？此時(shí)存在u(x),v(x)eFW使得u(x)f2(x)=1。于是不定元X用A代入便得到u(A)_+,講)=1.
從而若eeKerfi(A)nKerf2(A)，貝ijP=IP=u(A)fi(A)P+v(A)f2(A)13=0。因此
Kerf]_(A)flKerf2(A)=0，從而Ker(A)+Kerf2(A)是直和。這個(gè)和等于什么呢？從上面的恒等變換I的分解式受到啟發(fā)，令任取aGKerf(A),有
a=Ia=U(A)fi(A)a+v(A)f2(A)a.
令a廣V(A)f2(A)a，a2=u(A)f1(A)a，則a=aa2,JLf1(A)a^=0,f2(A)a2=0。因此Kerf(A)=Kerf^A)?Kerf2(A)。由此受到啟發(fā)，設(shè)fi(x),…，fs(x)eF[x],且它們兩兩互素，令fOOzfJx)…fs(X)，則用數(shù)學(xué)歸納法可以證明Kerf(A)=Kerfx(A)?...?Kerfs(A).
由于KerO=V，因此若f(x)使得f(A)=0，貝ljV=Kerfi(A)?…?Kerfs(A).
這就把V分解成了A的若干個(gè)非平凡不變子空間的直和。
域F上的一個(gè)一元多項(xiàng)式f(；x)如果使得f(A)=0，那么稱f(；x)是A的一個(gè)零化多項(xiàng)式。容易證明域F上的n維線性空間V上的任一線性變換A都有零化多項(xiàng)式。還可以證明線性變換A的特征多項(xiàng)式就是A的一個(gè)零化多項(xiàng)式。事物的臨界狀態(tài)往往決定事物的本質(zhì)。于是我們考慮A的所有非零的零化多項(xiàng)式中次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式m(；A)，稱它為A的最小多項(xiàng)式。如果m(A)在F[A]中的標(biāo)準(zhǔn)分解式為m(2)=(A-Al)k---(A-A^)ls,那么V=Ker(A-I)*i?…?Ker(A-XSI)^.
記Wj=Ker((A-XjI)1)，則V=?...?Ws。于是在Wj中取一個(gè)基，j=1,2,…，s,它們合起來(lái)是V的一個(gè)基，A在此基下的矩陣A是一個(gè)分塊對(duì)角矩陣AsdiagfAi,…,As}，其中Aj是A在Wj上的限制A|Wj在Wj的上述基下的矩陣。
第二步工作是在Wj中找一個(gè)合適的基，使得A|Wj在此基下的矩陣Aj具有最簡(jiǎn)單的形式。由于V=VW?...?Ws，因此可以證明A的最小多項(xiàng)式m(A)是A|Wj的最小多項(xiàng)式mj(A)，j=1,2,…,s，的最小公倍式。利用這個(gè)結(jié)論和唯一因式分解定理可以得出，A|Wj的最小多項(xiàng)式從而A|Wj=XjI+Bj，其中Bj是Wj上的冪零變換，其冪零指數(shù)為lj。于是只要在Wj中找到一個(gè)合適的基使得Bj在此基下的矩陣Bj具有最簡(jiǎn)單的形式，則A|Wj在此基下的矩陣Aj,I+Bj也就最簡(jiǎn)單了。這樣問(wèn)題歸結(jié)為去研究?jī)缌阕儞Q的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示。
設(shè)B是域F上的r維線性空間W上的一個(gè)冪零變換，其冪零指數(shù)為1，用Wo表示B的屬于特征值0的特征子空間。對(duì)于任意aGW且a#0，一定存在正整數(shù)t使得Bta=0，而Bt-ia乒0。于是Bt-ici,Ba,a線性無(wú)關(guān)，從而它是子空間的一個(gè)基。我們把稱為B-強(qiáng)循環(huán)子空間，其中Bt_1aeW0。B在上的限制在基Bt_1a,Ba,a下的矩陣是一個(gè)Jordan塊，其主對(duì)角元全為0。我們探索W是否能分解成若干個(gè)B-強(qiáng)循環(huán)子空間的直和？若能夠這樣分解，則由每個(gè)B-強(qiáng)循環(huán)子空間的第一個(gè)基向量組成的向量組線性無(wú)關(guān)；又的一個(gè)基中每個(gè)向量都屬于某個(gè)B-強(qiáng)循環(huán)子空間，因此我們猜測(cè)W能分解成dmiWo個(gè)B-強(qiáng)循環(huán)子空間的直和。我們利用商空間對(duì)于研究線性空間的結(jié)構(gòu)的兩個(gè)方面，用數(shù)學(xué)歸納法證明了這個(gè)猜測(cè)是真的。從而在每個(gè)B-強(qiáng)循環(huán)子空間中取上述這樣的基，它們合起來(lái)是W的一個(gè)基，B在此基下的矩陣為由若干個(gè)Jordan塊組成的分塊對(duì)角矩陣，稱它為B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。進(jìn)而得到：域F上的n維線性空間V上的線性變換A如果它的最小多項(xiàng)式m(；入）在F[A]中能分解成一次因式的乘積，那么存在V的一個(gè)基，使得A在此基下的矩陣為由若干個(gè)Jordan塊組成的分塊對(duì)角矩陣，稱它為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。由于主對(duì)角元為的t級(jí)Jordan塊的最小多項(xiàng)式為(X-Xj)1,因此根據(jù)“分塊對(duì)角矩陣A=diag{Al5…,As}的最小多項(xiàng)式m(人）是Aj的最小多項(xiàng)式mj(A)，j=1,2,…，s，的最小公倍式”便得到，如果A有Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J，那么J的最小多項(xiàng)式m(人）是一次因式的'乘積，m(A)也是A的最小多項(xiàng)式。從而如果A的最小多項(xiàng)式)在F[A]中的標(biāo)準(zhǔn)分解式有次數(shù)大于1的不可約因式，那么A沒有Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。我們用類比的方法證明了此時(shí)A有有理標(biāo)準(zhǔn)形。這樣我們就徹底解決了域F上n維線性空間V上的線性變換A的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示的問(wèn)題。
3.通過(guò)“解剖麻雀”，講清楚數(shù)學(xué)的深刻理論是怎么想出來(lái)的
伽羅瓦在1829?1831年間徹底解決了一元n次方程是否可用根式求解的問(wèn)題。他給出了方程可用根式求解的充分必要條件，創(chuàng)立了深刻的理論（后人稱之為伽羅瓦理論），由此引發(fā)了代數(shù)學(xué)的革命性變化。古典代數(shù)學(xué)以研究方程的根為中心。伽羅瓦理論創(chuàng)立以后，代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)橐匝芯扛鞣N代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（即保持運(yùn)算的映射）為中心，由此創(chuàng)立了近世代數(shù)學(xué)（也稱為抽象代數(shù)學(xué)）。
我們?cè)诮来鷶?shù)課的教學(xué)中，通過(guò)“解剖麻雀”，講清楚伽羅瓦理論是怎么想出來(lái)的�？紤]4次一般方程
x4+px2+q=0,(1)
其中p,q是兩個(gè)無(wú)關(guān)不定元。方程(1)的系數(shù)所屬的域?yàn)镼[p,q]的分式域Q(p,q)，簡(jiǎn)記作K，把K稱為方程(1)的系數(shù)域。方程(1)有4個(gè)根：
.._|-P+VP2-4q.._|-p+Vp2-4qX1_a]2，X22，
.._|-p-VP2-4q.._|-p-VP2-4qX3_a]2，X42'
這表明方程(1)可用根式求解。我們來(lái)仔細(xì)分析方程(1)可用根式求解的過(guò)程。先要開平方Vp2-4q，把它記作d，則d2eK，但是d不屬于K.令K(d)={a+bdIa,beK},則K(d)是一個(gè)域，稱它為K
添加d得到的域，記作&。接著要開平方
把它記作4，則42eK1；$K2=Ki(dO。還要
開平方把它記作4，則I2ek2，$k3=k2
(d2)。于是
xi=x2=-<!]_,x3=d2,x4=_d2.從而x1;x2,x3,x4GK3。因此在K3[x]中多項(xiàng)式x4
+px2+q可以分解成一次因式的乘積，從而&是x4+pX2+q的分裂域，并且有KgKicK2cK3o由此抽象出下述概念：
設(shè)f(x)是域F上次數(shù)大于0且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，并且f(x)的分裂域?yàn)镋，如果存在一
個(gè)域LgE，且有FgFr+1=L，
其中Fi+1=Fi(di),且dinieFii=l,…,r，那么方程f(x)=0稱為在域F上是根式可解的。
于是按照上述定義方程(1)是根式可解的。現(xiàn)在來(lái)探索為什么方程(1)是根式可解的。觀察方程(1)的4個(gè)根，發(fā)現(xiàn)它們之間有系數(shù)屬于K的下述關(guān)系：
X]+X。-0?X3+X4-0.(2)
把x^x^x^xdii成的集合記作Q={1,2,3,4}。在4元對(duì)稱群54中，有且只有下述8個(gè)置換保持(2)式成立：
(1),(12),(34),(12)(34),(13)(24),
(14)(23),(1423),(1324),
它們組成的集合0是54的一個(gè)子群，稱它為方程
(1)關(guān)于域K的群。
方程(1)的4個(gè)根其系數(shù)屬于1^的關(guān)系除了
(2)式外還有：
Xi2-x32=d,X12-x42=d,x22-x42=d,x22-x32=d,(3)
G中保持⑶式成立的所有置換組成的集合H1={⑴,(12),(34),(12)(34)}是G的一個(gè)子群，稱它為方程(1)關(guān)于域A的群。
方程(1)的4個(gè)根其系數(shù)屬于&的關(guān)系除了(2)、（3)式外還有：
x廠x2=2dl5(4)
札中保持(4)式成立的所有置換組成的集合比={(1),(34)}是札的一個(gè)子群，稱它為方程(1)關(guān)于域&的群。
方程(1)的4個(gè)根其系數(shù)屬于&的關(guān)系除了(2)、（3)、（4)式外還有：
x3-x4=2d2,(5)
H2中保持⑶式成立的所有置換組成的集合丨是4的一個(gè)子群，稱它為方程⑴關(guān)于域k3的群。
由于指數(shù)為2的子群是正規(guī)子群，因此1^是G的正規(guī)子群，比是札的正規(guī)子群，士是比的正規(guī)子群。又有G/Hi,H1/H2,H2/H3都是交換群，因此G是可解群。由此猜測(cè)有下述結(jié)論：
方程根式可解的判別準(zhǔn)則：在特征為0的域F上的方程f(x)=0根式可解的充分必要條件是
這個(gè)方程關(guān)于域F的群是可解群。
為了論證這個(gè)猜測(cè)，我們繼續(xù)“解剖麻雀”。方程(1)關(guān)于域K的群G中每個(gè)元素0保持方程(1)的根之間其系數(shù)屬于K的全部代數(shù)關(guān)系不變，從而0保持K的任一元素不變，即。在K上的限制是K上的恒等變換。由于&是多項(xiàng)式x4+px2+q的分裂域，即&是包含方程(1)的全部根X1;X2,X3,X4的最小的域，且d=Xi2-X32,d1=x1,d2=X3，以及oes4，因此0引起了k3到自身的一個(gè)雙射。還可以證明。引起的這個(gè)映射(仍記作0)保持K3的加法和乘法運(yùn)算，因此0是K3的一個(gè)自同構(gòu)。于是引出一個(gè)概念：
設(shè)域E包含域F，域E的一個(gè)自同構(gòu)如果在F上的限制是F上的恒等變換，那么把它稱為域E的一個(gè)F-自同構(gòu)。容易看出，域E的所有F-自同構(gòu)組成的集合對(duì)于映射的乘法成為一個(gè)群，稱它為E在F上的伽羅瓦群，記作Gal(E/F)。
于是。eGal(K3/K)，從而GcGal(K3/K)。反之，任給TGGal(K3/K)，由于X^X2,X3,X4兩兩不等，因此t可以看成是D={1,2,3,4}上的一個(gè)置換，并且t保持方程(1)的根之間其系數(shù)屬于K的全部代數(shù)關(guān)系不變，從而TGG。因此G=Gal(K3/K)。同理，&=Gal(K3/K±)，H2=Gal(K3/K2)，H3=Gal(K3/K3)。這樣我們看到了一個(gè)有趣的事情：
KcKicK2cK3,
Gal(K3/K)^Gal(K3/K±)^Gal(K3/K2)^Gal(K3/K3).
設(shè)G是域E的一個(gè)自同構(gòu)群，E中被G的每個(gè)元素保持不動(dòng)的元素組成的集合是E的一個(gè)子域，稱它為G的不動(dòng)域，記作Inv(G)。
設(shè)域E包含域F，則稱E是F上的域擴(kuò)張，記作E/F;E的包含F(xiàn)的任一子域稱為E/F的中間域。在上述例子中，Gal(K^K)的不動(dòng)域恰好是K，Gal(K3/Ki)的不動(dòng)域恰好是&，Gal(K3/K2)的不動(dòng)域恰好是&，Gal(&/K3)的不動(dòng)域恰好是K3，由此引出一個(gè)概念：
如果域擴(kuò)張E/F的伽羅瓦群Gal(E/F)的不動(dòng)域恰好是F，那么稱E/F為一個(gè)伽羅瓦擴(kuò)張。從上述有趣的事情我們猜測(cè)有下述結(jié)論：
設(shè)E/F為一個(gè)有限伽羅瓦擴(kuò)張，記G=Gal(E/F)，則在E/F的所有中間域組成的集合與G的所有子群組成的集合之間存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng)：中間域K對(duì)應(yīng)于Gal(E/K)，子群H對(duì)應(yīng)于它的不動(dòng)域Inv(H)，Inv(Gal(E/K))=K;這個(gè)一一對(duì)應(yīng)是反包含的，即
KicK2^Gal(E/Ki)^Gal(E/K2).
伽羅瓦發(fā)現(xiàn)并且證明了這個(gè)結(jié)論，現(xiàn)在稱它為伽羅瓦基本定理（這里沒有寫出伽羅瓦基本定理的其它3個(gè)結(jié)論）。伽羅瓦運(yùn)用這個(gè)基本定理證明了方程根式可解的判別準(zhǔn)則。
4.抓住主線，全局在胸，科學(xué)地安排講授體系
高等代數(shù)課程的主線是研究線性空間及其態(tài)射（即線性映射）。為了自然而然地引出線性空間的概念，《高等代數(shù)》（丘維聲著，科學(xué)出版社）的第一章講線性方程組的解法和解的情況的判定;第二章講行列式，給出了n個(gè)方程的n元線性方程組有唯一解的充分必要條件；第三章為了對(duì)數(shù)域K上的n元線性方程組直接從系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒有解和有多少解，在所有n元有序數(shù)組組成的集合Kn中引進(jìn)加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，它們滿足8條運(yùn)算法則，我們抓住幾何空間，Kn的共同的主要特征自然而然地引出了線性空間的概念，然后去研究線性空間的結(jié)構(gòu)。講完線性空間之后，一種講法是立即講線性映射。但是研究線性映射一方面是從映射的角度講線性映射的運(yùn)算，線性映射組成的集合的結(jié)構(gòu)，以及線性映射的核與像；另一方面是研究線性映射的矩陣表示，特別是研究線性變換的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示。因此我們?cè)诘谒恼轮v矩陣的運(yùn)算，既為研究線性映射打下基礎(chǔ)，又為信息時(shí)代迅速崛起的離散數(shù)學(xué)中應(yīng)用越來(lái)越廣泛的矩陣加強(qiáng)了矩陣的分塊、矩陣的打洞的訓(xùn)練。為了研究線性變換的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示，需要用到一元多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)，因此我們?cè)诘谖逭轮v一元多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其通用性質(zhì)，并且水到渠成地引出了環(huán)和域的概念。第六章講線性映射（包括線性變換和線性函數(shù)）。為了在線性空間中引進(jìn)度量概念，第七章講雙線性函數(shù)，并且用到研究二次型上。第八章講具有度量的線性空間，以及與度量有關(guān)的變換。第九章講n元多項(xiàng)式環(huán)。
解析幾何課程的主線是研究幾何空間的線性結(jié)構(gòu)和度量結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上并且用變換的觀點(diǎn)研究圖形的性質(zhì)和分類。
近世代數(shù)課程的主線是研究代數(shù)系統(tǒng)（群，環(huán)，域，模）的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（即保持運(yùn)算的映射）。群論的主線是群同態(tài)；環(huán)論的主線是環(huán)的理想；域論的主線是域擴(kuò)張，其目標(biāo)是伽羅瓦理論。
5.精心設(shè)計(jì)板書，清晰現(xiàn)思維過(guò)程
例如，我在講了線性空間V的子空間的交與和的概念后，一邊講述，一邊板書如下：
[板書第1行，預(yù)留11個(gè)字的空位]設(shè)％,V2是數(shù)域K上線性空間V的有限維子空間，則[講述]有％與?2的和與交；[板書第2行，在每個(gè)子空間前面預(yù)留3個(gè)字母的空位]Vi+v2Viv2Vinv2[講述]%+v2是不是有限維的？如果是，它的維數(shù)與mn4的維數(shù)有什么關(guān)系？
[在板書第2行的每個(gè)子空間前面上填寫3個(gè)字母]
(11111(3^+V2)dimV±dimV2dim(ViHV2)
[講述]讓我們解剖一個(gè)“麻雀”：幾何空間中，設(shè)與7T2是過(guò)定點(diǎn)0的兩個(gè)相交平面，在板書第1，2行的右側(cè)畫圖，本文就不畫了]
[一邊講述，一邊在圖上繼續(xù)畫]幾何空間中，任意一個(gè)向量a可以表示成a=a±+a2，其中a2eji：2。于是％+?等于幾何空間。又%n712是過(guò)定點(diǎn)0的一條直線，因此
[在圖下方板書]dim(ji：i+jt2)=3=2+2-1=dimjt!+dimjt2-fljt2)-
[講述]由此我們猜測(cè)對(duì)于線性空間V的有限維子空間V2有下述結(jié)論：
[在板書第2行上填寫]dim(+V2)=dim+dimV2-dim(ViHV2)
[講述]下面我們來(lái)證明這個(gè)猜測(cè)是真的。
[板書證明過(guò)程，本文就不寫出了]
[講述]這樣我們得到了子空間的交與和的維數(shù)公式：
[在板書第1行預(yù)留的11個(gè)字的空位上填寫]定理1(子空間的維數(shù)公式）設(shè)％,%是數(shù)域K上線性空間V的有限維子空間，則這樣講課和板書是提出了問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生去探索，從幾何空間的例子，猜測(cè)出子空間的維數(shù)公式，然后才去證明。這有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。
以上是我們?cè)趲资甑慕虒W(xué)中用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)的一些做法，與老師們交流。
【用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)論文】相關(guān)文章：
教學(xué)反思：用詩(shī)的方式教詩(shī)01-03
思維方式?jīng)Q定成敗09-15
小學(xué)教育中的學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式培養(yǎng)論文10-08
數(shù)學(xué)論文——數(shù)學(xué)的廣泛09-08
思維方式?jīng)Q定成敗美文04-22
談?wù)剣宓乃季S方式論文05-04
文秘公文寫作的思維方式04-12
蜜蜂的思維方式哲理故事10-01