論數(shù)學(xué)分析與概率論的相互關(guān)系論文
0引言
概率論與數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)的兩個(gè)不同分支,數(shù)學(xué)分析是確定性數(shù)學(xué)的典型代表,概率論則是隨機(jī)數(shù)學(xué)的典型代表。由于兩者所研宄的方向不同，故它們的發(fā)展道路大相徑庭,但是在各自的發(fā)展過(guò)程中二者卻又緊密地結(jié)合在一起,數(shù)學(xué)分析的發(fā)展為概率論奠定了基礎(chǔ)，而概率論中隨機(jī)性、反因果論也逐漸滲透到數(shù)學(xué)分析當(dāng)中，推動(dòng)著數(shù)學(xué)分析的發(fā)展。研宄概率論與數(shù)學(xué)分析兩者之間的相互關(guān)系，并尋繹概率論在解決數(shù)學(xué)分析中某些比較困難的問(wèn)題的方法、思想，是很有意義的。
1.數(shù)學(xué)分析對(duì)概率論的滲透與推動(dòng)
1933年，蘇俄數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛞约险�、測(cè)度論為依據(jù)，導(dǎo)入了概率論的公理化體系，概率論得以迅猛發(fā)展,在其迅猛發(fā)展的道路上，數(shù)學(xué)分析的思想與方法隨處可見(jiàn)。
1.1集合論與概率論的公理化體系
由于數(shù)學(xué)的研究對(duì)象一般都是具有某種性質(zhì)或結(jié)構(gòu)。世紀(jì)數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)密化過(guò)程當(dāng)中培育出來(lái)的，兩者之間是源和流的關(guān)系；又由于勒貝格積分建立了集合論與測(cè)度論的聯(lián)系，進(jìn)而形成了概率論的公理化體系；因而集合論對(duì)概率論的滲透，可視為微積分對(duì)概率論的一次較有力的推動(dòng)。
數(shù)學(xué)分析中主要有黎曼積分和勒貝格積分兩種。黎曼積分處理性質(zhì)良好的函數(shù)時(shí)得心應(yīng)手,但對(duì)于級(jí)數(shù)、多元函數(shù)、積分與極限交換次序等較為棘手的問(wèn)題時(shí)，常常比較困難。勒貝格積分的出現(xiàn),使黎曼積分遇到的難題迎刃而解,微積分隨之進(jìn)化到了實(shí)變函數(shù)論的新階段。有了勒貝格積分理論以后,集合測(cè)度與事件概率之間的相似性便顯示出來(lái)了。不僅如此,測(cè)度論中的幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂,實(shí)質(zhì)上就是弱大數(shù)定律與強(qiáng)大數(shù)定律中的收斂。1933年,蘇俄數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸颍⒘嗽跍y(cè)度論基礎(chǔ)上的概率論的公理化體系2,統(tǒng)一了原先概率的古典定義、幾何定義及頻率定義紛爭(zhēng)不一的局面。他建立的公理化體系，具備了獨(dú)立性、無(wú)矛盾性、完備性的公理化特征,確定了事件與集合、概率與測(cè)度的關(guān)系，使集合論加盟概率論。概率論在堅(jiān)實(shí)的公理化基礎(chǔ)上，已成為一門(mén)嚴(yán)格的演繹科學(xué),取得了與其他數(shù)學(xué)分支同等的地位，并通過(guò)集合論與其他數(shù)學(xué)分支密切地聯(lián)系著。
1.2傅立葉變換與特征函數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中十分有效的工具。事實(shí)上，不僅是傅立葉級(jí)數(shù),還有傅立葉積分、傅立葉變換等等也都是數(shù)學(xué)分析中的重要工具。它們除了在數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域內(nèi)發(fā)揮著重要的作用之外，也已滲透到了概率論領(lǐng)域當(dāng)中。其中，把傅立葉變換應(yīng)用于分布函數(shù)或密度函數(shù)，就產(chǎn)生了所謂的“特征函數(shù)”于是，對(duì)于處理獨(dú)立隨機(jī)變量和與隨機(jī)變量序列的問(wèn)題,就顯得十分方便了。
在數(shù)學(xué)分析中有如下定理：
正是由于概率論運(yùn)用了傅立葉變換的這些相關(guān)知識(shí)，構(gòu)造和引進(jìn)了特征函數(shù),使多維隨機(jī)變量分布、極限分布研宄更便捷,從而把概率論的理論研宄推進(jìn)一個(gè)嶄新的階段。
1.3雅可比行列式與隨機(jī)變量函數(shù)的分布在數(shù)學(xué)分析當(dāng)中，我們所接觸的函數(shù)大多是顯函數(shù)，但除了顯函數(shù)外，也常會(huì)遇到另一種形式的函數(shù)一隱函數(shù),尤其是隱函數(shù)組。為了確定所給方程組的隱函數(shù)組是否存在,德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比在偏微分方程的研宄中，引進(jìn)了“雅可比行列式”對(duì)此問(wèn)題給予了解決。同樣，在概率論中，應(yīng)用雅可比行列式J,可以一下子解決多維隨機(jī)變量（X,)的函數(shù)zU,)的概率分布問(wèn)題。
1.4同階數(shù)量級(jí)與極限定理大數(shù)定律與中心極限定理是概率論研宄的中心問(wèn)題，
也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的理論基礎(chǔ)。由于兩者討論的都是隨機(jī)變量序列的極限問(wèn)題,這與數(shù)學(xué)分析中的'數(shù)列極限、函數(shù)列極限極為相似且聯(lián)系十分密切，因此,對(duì)于數(shù)學(xué)分析中的同階數(shù)量級(jí)方法在解決概率論的大數(shù)定律與中心極限定理的有關(guān)問(wèn)題中同樣是適用的。
1.5函數(shù)與隨機(jī)變量、分布函數(shù)
函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中最基本的概念之一，當(dāng)它被引入概率論領(lǐng)域以后,概率論中的許多問(wèn)題便得到了簡(jiǎn)化，從而使概率論進(jìn)入了一個(gè)嶄新的階段。
隨機(jī)變量與分布函數(shù)是概率論中最為重要的兩個(gè)概念,并且都是函數(shù),其中，隨機(jī)變量X為集函數(shù)，分布函數(shù)為實(shí)函數(shù)。在函數(shù)關(guān)系的對(duì)應(yīng)下，隨機(jī)事件先是被簡(jiǎn)化為集合，繼之被簡(jiǎn)化為實(shí)數(shù)，隨著樣本空間轉(zhuǎn)化為數(shù)集,概率相應(yīng)地由集函數(shù)約化為實(shí)函數(shù)。以函數(shù)的觀點(diǎn)衡量分布函數(shù),分布函數(shù)的性質(zhì)是十分良好的：?jiǎn)握{(diào)有界、可積、幾乎處處連續(xù)、幾乎處處可導(dǎo)。此外，隨機(jī)變量X的數(shù)字特征、概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系、連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率計(jì)算等等，同樣運(yùn)用了微積分的現(xiàn)成成果。
隨機(jī)變量與分布函數(shù)的導(dǎo)入,從理論上結(jié)束了概率的古典時(shí)代。概率論的公理化、體系化的動(dòng)力源，不僅是集合論和測(cè)度論,更重要、更基本的,仍然是數(shù)學(xué)分析那一套理論。概率論形成體系后的快速發(fā)展,不妨視作概率論向著微積分的靠攏與回歸。
盡管隨機(jī)變量X的導(dǎo)入方式有一定的自由度，不具備唯一性;盡管隨機(jī)變量X的取值需服從一定的概率分布;盡管分布函數(shù)可以視為集函數(shù)，可以描述任何種類(lèi)的隨機(jī)變量X的隨機(jī)性質(zhì)，但是在函數(shù)的范疇內(nèi)，它們的本質(zhì)是一致的，既然都是函數(shù)家族的成員，就具備了確定性和因果律。
綜上可見(jiàn),數(shù)學(xué)分析的思想方法，已經(jīng)滲透到了概率論的各個(gè)方面。沒(méi)有微積分的推動(dòng)，就沒(méi)有概率論的公理化與系統(tǒng)化,概率論就難以形成一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科。
2概率方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用
從上可知,在數(shù)學(xué)分析的滲透與推動(dòng)作用下，概率論得到了飛快地發(fā)展。與此同時(shí)，由于概率論本身所具有的特征,使得數(shù)學(xué)分析中某些比較困難的問(wèn)題得以高效簡(jiǎn)捷性地解決。
2.1數(shù)學(xué)期望與不等式不等式是數(shù)學(xué)分析中的重要內(nèi)容,在數(shù)學(xué)分析中不等式問(wèn)題經(jīng)常碰到,例如級(jí)數(shù)不等式、積分不等式等等。數(shù)學(xué)分析中可以使用多種方法進(jìn)行證明這些不等式，可是證明起來(lái)卻相當(dāng)不容易。然而倘若巧妙地運(yùn)用概率論中數(shù)學(xué)期望性質(zhì)，數(shù)學(xué)分析中的不等式問(wèn)題便可以很輕易地得到證明。
概率論中數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：
2.2中心極限定理在數(shù)學(xué)分析中的特殊作用
概率論的中心極限定理為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,林德貝格-勒維中心極限定理，林德貝格中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理[3]。這4個(gè)中心極限定理的建立不僅為概率論的發(fā)展開(kāi)辟了廣闊的前景，同時(shí)使概率論與數(shù)學(xué)分析保持著密切地聯(lián)系。
極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ),微積分中一系列重要的概念和方法,都與極限關(guān)系密切，數(shù)學(xué)分析中有一些復(fù)雜的極限問(wèn)題,用通常的數(shù)學(xué)分析方法是難以計(jì)算的，但應(yīng)用概率論中的中心極限定理則可較簡(jiǎn)便地得以解決。
由此可見(jiàn),概率論不僅能解決隨機(jī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，同樣也可以解決一些確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題,是一門(mén)同時(shí)包含著確定性和非確定性二重品格的特殊的數(shù)學(xué)學(xué)科。
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