錯位相減法畢業(yè)論文素材

錯位相減法畢業(yè)論文素材

　　導(dǎo)語：錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法。應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。下面是小編收集整理的錯位相減法畢業(yè)論文素材，歡迎參考！

　　【錯位相減法畢業(yè)論文素材一】

　　一、問題的提出

　　a1(1-qn)我們都知道，高一課本第一冊(上)在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式Sn= 1-q，隨即在書中的第137頁復(fù)習(xí)參考題三B(q≠1)的過程中運用了著名的“錯位相減法”。

　　組中出現(xiàn)了運用該方法來解決的求和問題：6、S=1+2x+3x2+??+nxn-1。 這類數(shù)列的主要特征是：已知數(shù)列{Cn}滿足Cn=an?bn其中{an}等差，{bn}等比且公比不等于1，老師們形象地稱這類數(shù)列{Cn}為“等差乘等比型”數(shù)列。求這類數(shù)列前n項的和時通常在和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的`公比，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法即所謂的“錯位相減法”。 而且近年來的各地乃至全國高考的試卷中頻頻出現(xiàn)此類型的數(shù)列的求和問題，解法當(dāng)然是不變的“錯位相減法”，而且老師在平時的講題中也一再強調(diào)該類型的前n項和只能用錯位相減法來解決，似乎成了“自古華山一條道”的絕法。難道真的沒有其他的解決方法了嗎?這的確沒有讓我墨守成規(guī)，反而激起了我無限的探索欲。

　　二、特例解決帶來的啟發(fā)

　　當(dāng)q≠1時等比數(shù)列{an}通項an=a1qn-1可變形為an=a1qn-1?a1-q=1(qn-1-qn) 1-q1-q

　　于是前n項和Sn=a1a[(1-q1)+(q1-q2)+?+(qn-1-qn)]=1(1-qn) 1-q1-q

　　受到上面變形的啟發(fā)，我想既然等比數(shù)列的通項可以裂成兩項的差的形式，那么公比不為1的“等差乘等比型”數(shù)列的通項如果也能裂成類似的形式，那么讓我苦思冥想的那個求和方法不就神奇的找到了嗎?在此之前，我們老師還一再強調(diào)此類數(shù)列的求和不能用裂項相消，如果這一設(shè)想成功的話，算不算是觀念和方法上的一次突破。

　　三、一個方法的發(fā)現(xiàn)

　　裂項求和也是數(shù)列求和中最常用的一種方法，它的本質(zhì)是將數(shù)列中的每一項都化為兩項之差，并且前一項的減數(shù)恰好與后一項被減數(shù)相同，求和時中間項相抵消。

　　【錯位相減法畢業(yè)論文素材二】

　　數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，在現(xiàn)行高中教材中，只對等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進行了計算推導(dǎo)，而數(shù)列種類繁多，形式復(fù)雜，絕大多數(shù)既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，也就不能直接用公式來求解。很多同學(xué)遇到數(shù)列求和問題總是感到力不從心，甚至有的同學(xué)把它看作是自己的死穴，覺得即使思考也做不出來，何必耽誤時間，因此遇到這類問題就直接跳過。在這中間，錯位相減是一個比較重要的內(nèi)容，也是一個及其有效的解決數(shù)列求和的簡便方法，但是由于它的計算量比較大，同時要反復(fù)列出幾個式子并且不斷求解，有的題目一眼看上去不容易找出公比，更加導(dǎo)致一些同學(xué)放棄或者只計算其中的一部分。實際上，通過分層次練習(xí)，總結(jié)經(jīng)驗，并找到規(guī)律，這類問題的求解會變得相當(dāng)?shù)暮唵巍?/p>

　　一、錯位相減理論分析

　　錯位相減是高中數(shù)學(xué)教材中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和的一種思想方法，它在解決由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項之積所構(gòu)成的數(shù)列求和，具有非常重要的意義。由于它的獨特性與實用性，并且與課本知識緊密結(jié)合，所以，在高考中占有十分重要的地位。它所遵從的思想是一種轉(zhuǎn)化的思想，經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以把它轉(zhuǎn)化成為等比問題求解。乘以相同的公比得到新式子，再同舊式子錯位相減，就得到了一個含有等比數(shù)列的等式，細心計算，便不難求解。

　　二、錯位相減題目舉例

　　首先，我們先看一道最簡單的例題，從簡單題中得到啟發(fā)。

　　例1.已知數(shù)列an=nλnλ，求數(shù)列的和。

　　解：∵Tn=λ+2λ2+…+n-1)λn-1+nλn，JY①

　　兩邊同時乘以λ，得

　　λTn=λ2+2λ3+…+n-1)λn+nλn+1，JY②

　�、�-②，得

　　JZ1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1，

　　JZ∴1-λ)Tn=SXλ1-λn)1-λSX)-nλn+1，

　　JZ∴Tn=SXλ1-λn)1-λ)2SX)-SXnλn+11-λSX).

　　這是一個最簡單的錯位相減，同時也是解決錯位相減問題的一個基礎(chǔ)題目。

　　下面，我們來看一道有些麻煩的題目。

　　例二.an=1-2n)2n，求Sn.

　　解：由題意知，JZan=(1-2n)2n，

　　JZ∴Sn=a1+a2+a3+…+an，

　　即

　　DKSn=(1-2)2+(1-4)22+(1-6)23+…+(1-2n)2nDK)JY①

　�、佟�2得

　　DK2Sn=(1-2)22+(1-4)23+…+(3-2n)2n+(1-2n)2n+1DK)JY②

　�、�-①得

　　JZSn=2+222+23+…+22n-(2n-1)2n+1

　　JZ=2+2SX4(1-2n-1)1-2SX)-(2n-1)2n+1

　　JZ=(1-n)2n+2+2n+1-6

　　例二是一個具體化的錯位相減問題，對于這些直接列出的題目，大多數(shù)的學(xué)生都可以做出來，出錯率也比較的低，但是，在如今這樣一個考驗學(xué)生綜合素質(zhì)=的社會中，我們遇到的大多都是多個知識點結(jié)合的題目。下面我們通過一道高考題來進一步認識一下錯位相減。

　　例三.已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為-4.

　　(1)求數(shù)列的通項公式.

　　(2)設(shè)bn=(4-an)qn-1q≠0，n∈求數(shù)列的前n項和.

　　解：(1)設(shè){an}的公差為d，則由已知得

　　JZJB{a1+a2+a3=6a1+a2+…+a8=-4，JB)即JB{3a1+3d=68a1+28d=-4，JB)

　　解得a1=3，d=-1，故an=3-n-1)=4-n.

　　(2)由(1)知，bn=nqn-1，

　　于是JZSn=1q0+2q1+3q2+…+nqn-1，

　　若q≠1，上式兩邊同時乘以q.

　　JZqSn=1q1+2q2+3q3+…+nqn-1，

　　兩式相減得：

　　JZ(1-q)Sn=1+q1+q2+…+qn-1-nqn=SX1-qn1-qSX)-nqn.

　　JZ∴Sn=SX1-qn(1-q)2SX)-SXnqn1-qSX)=SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX).

　　若q=1，則Sn=1+2+3+…+n=SXnn+1)2SX)，

　　JZ∴Sn=JB{HL2SXn(n+1)2SX)(q=1)

　　SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX)q≠1)HL)JB)

　　針對這個問題，許多同學(xué)容易忽視對于q的討論致使題目出錯。這個問題的關(guān)鍵是對于等比數(shù)列的定義的認識，若是忽視了等比數(shù)列定義中對于公比的界定，則很容易導(dǎo)致問題出錯。我們回顧例一可以發(fā)現(xiàn)，在例一中我們對公比進行了限定，因此，在下面的解題中就不需要進行討論。

　　三、方法總結(jié)

　　A.分析題型，確定類型。錯位相減問題具有很強的規(guī)律性，當(dāng)然也適應(yīng)特定的題目，所以，在做題之前首先需要明確題目的類型，錯位相減法是否使用。首先，確定是否為數(shù)列類型的題目;其次再確定是否為求和問題;最后，通過觀察通項的`類型，確定是否可以使用錯位相減法解決問題。錯位相減法是等差數(shù)列和等比數(shù)列的有效結(jié)合，即

　　JZTn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn

　　其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列。

　　B.錯位相減的做題方法

　　以例1為例，即

　　Tn=λ+2λ2+…+(n-1)λn-1+nλnJY①

　　λTn=λ2+2λ3+…+(n-1)λn+nλn+1JY②

　　(1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1JY③

　　1.①×公比λ得②式(或乘以公比的倒數(shù)，解題方法類似);

　　2.①-②得③(③式為：留①頭，減②尾，中間對應(yīng)次數(shù)相減的同系數(shù));

　　3.③里面含有n+1項;

　　4.按照等比數(shù)列求和方法求③式的前n項的和，減去第n-1項;

　　5.③式兩邊同時除以SX1λ-1SX)得最后的結(jié)果。

　　在使用錯位相減求和時，一定要善于識別這類題目，準確的識別是正確解題的關(guān)鍵。同時要十分注意等比數(shù)列的公比為負數(shù)的情形，此外，一定要注意在書寫的時候注意將①②兩式的“錯項對齊”，即將相同冪指數(shù)的項對齊，這樣有一個式子(即式①)前面空出一項，另外一個式子(即式②)后面就會多出一項，①②兩式相減得到③式，在式③中除了第一項和最后一項，剩下的n-1項是一個等比數(shù)列。當(dāng)然認真細致，悉心體會，記住規(guī)律，耐住性子也是相當(dāng)重要的。

　　“知行統(tǒng)一”的重要性大家應(yīng)該都知道，當(dāng)我們記住了理論的知識，勤加練習(xí)，反復(fù)運用才會使我們事倍功半，恰巧，錯位相減正需要我們的大量練習(xí)，在不斷的練習(xí)，反復(fù)的刺激我們的記憶細胞下才有可能使我們在做題的時理論練習(xí)實際，減少出錯率。

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