圓的標準方程教學設計

圓的標準方程教學設計（精選8篇）

　　作為一位杰出的老師，時常要開展教學設計的準備工作，借助教學設計可以促進我們快速成長，使教學工作更加科學化。一份好的教學設計是什么樣子的呢？下面是小編為大家收集的圓的標準方程教學設計，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　圓的標準方程教學設計 1

　　一、教材分析

　　本章將在上章學習了直線與方程的基礎上，學習在平面直角坐標系中建立圓的代數方程，運用代數方法研究直線與圓，圓與圓的位置關系，了解空間直角坐標系，在這個過程中進一步體會數形結合的思想，形成用代數方法解決幾何問題的能力。

　　二、教學目標

　　1、 知識目標：使學生掌握圓的標準方程并依據不同條件求得圓的方程。

　　2、 能力目標：

　　(1)使學生初步熟悉圓的標準方程的用途和用法。

　　(2)體會數形結合思想，形成代數方法處理幾何問題能力。

　　(3)培養學生觀察、比較、分析、概括的思維能力。

　　三、重點、難點、疑點及解決辦法

　　1、重點：圓的標準方程的推導過程和圓的標準方程特點的明確。

　　2、難點：圓的方程的應用。

　　3、解決辦法 充分利用課本提供的2個例題，通過例題的解決使學生初步熟悉圓的標準方程的用途和用法。

　　四、學法

　　在課前必須先做好充分的預習，讓學生帶著疑問聽課，以提高聽課效率。采取學生共同探究問題的學習方法。

　　五、教法

　　先讓學生帶著問題預習課文，對圓的方程有個初步的認識，在教學過程中，主要采用啟發性原則，發揮學生的思維能力、空間想象能力。在教學中，還不時補充練習題，以鞏固學生對新知識的理解，并緊緊與考試相結合。

　　六、教學步驟

　　（一）導入新課 首先讓學生回顧上一章的直線的方程是怎么樣求出的。

　　（二）講授新課

　　1、新知識學習在學生回顧確定直線的要素——兩點（或者一點和斜率）確定一條直線的基礎上，回顧確定圓的幾何要素——圓心位置與半徑大小，即圓是這樣的一個點的集合在平面直角坐標系中，圓心 可以用坐標 表示出來，半徑長 是圓上任意一點與圓心的距離，根據兩點間的距離公式，得到圓上任意一點 的坐標 滿足的關系式。經過化簡，得到圓的標準方程

　　2、知識鞏固

　　學生口答下面問題

　　1、求下列各圓的標準方程。

　　① 圓心坐標為（-4，-3）半徑長度為6；

　　② 圓心坐標為（2，5）半徑長度為3；

　　2、求下列各圓的圓心坐標和半徑。

　　3、知識的延伸根據“曲線與方程”的意義可知，坐標滿足方程的點在曲線上，坐標不滿足方程的點不在曲線上，為了使學生體驗曲線和方程的思想，加深對圓的標準方程的理解，教科書配置了例1。

　　例1要求首先根據坐標與半徑大小寫出圓的標準方程，然后給一個點，判斷該點與圓的`關系，這里體現了坐標法的思想，根據圓的坐標及半徑寫方程——從幾何到代數；根據坐標滿足方程來看在不在圓上——從代數到幾何。

　　（三）知識的運用

　　例2給出不在同一直線上的三點，可以畫出一個三角形，三角形有唯一的外接圓，因此可以求出他的標準方程。由于圓的標準方程含有三個參數，因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓。引導學生找出求三個參數的方法，讓學生初步體驗用“待定系數法”求曲線方程這一數學方法的使用過程。

　　（四）小結一、知識概括

　　1、 圓心為 ，半徑長度為 的圓的標準方程為

　　2、 判斷給出一個點，這個點與圓什么關系。

　　3、 怎樣建立一個坐標系，然后求出圓的標準方程。

　　4、思想方法

　　（1）建立平面直角坐標系，將曲線用方程來表示，然后用方程來研究曲線的性質，這是解析幾何研究平面圖形的基本思路，本節課的學習對于研究其他圓錐曲線有示范作用。

　　（2）曲線與方程之間對立與統一的關系正是“對立統一”的哲學觀點在教學中的體現。

　　圓的標準方程教學設計 2

　　教學目的：

　　掌握圓的標準方程，并能解決與之有關的問題

　　教學重點：

　　圓的標準方程及有關運用

　　教學難點：

　　標準方程的靈活運用

　　教學過程：

　　一、導入新課，探究標準方程

　　二、掌握知識，鞏固練習

　　練習：

　　⒈說出下列圓的方程

　　⑴圓心（3，-2）半徑為5⑵圓心（0，3）半徑為3

　　⒉指出下列圓的圓心和半徑

　　⑴（x-2）2+(y+3)2=3

　　⑵x2+y2=2

　　⑶x2+y2-6x+4y+12=0

　　⒊判斷3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置關系

　　⒋圓心為（1，3），并與3x-4y-7=0相切，求這個圓的方程

　　三、引伸提高，講解例題

　　例1、圓心在y=-2x上，過p(2,-1)且與x-y=1相切求圓的方程（突出待定系數的.數學方法）

　　練習：

　　1、某圓過(-2,1)、(2,3)，圓心在x軸上，求其方程。

　　2、某圓過A(-10,0)、B(10,0)、C(0,4)，求圓的方程。

　　例2：某圓拱橋的跨度為20米，拱高為4米，在建造時每隔4米加一個支柱支撐，求A2P2的長度。

　　例3、點M(x0,y0)在x2+y2=r2上,求過M的圓的切線方程(一題多解,訓練思維)

　　圓的標準方程教學設計 3

　　（一）教材

　　1、教材結構編排：

　　本節課位于直線方程之后和圓的一般方程之前，學習直線方程為后邊學習圓的方程奠定了基礎，而學好圓的標準方程是為了進一步學習圓的一般方程和切線方程打好基礎，因此在結構上起承上啟下的作用。

　　2、教學目標

　　知識目標：

　　（1）掌握圓的標準方程，并能根據圓的標準方程寫出圓心坐標和半徑、

　　（2）已知圓心和半徑會寫出圓的標準方程、

　　能力目標：

　　（1）培養學生數形結合能力、

　　（2）培養學生應用數學知識解決實際問題的能力

　　情感目標：

　　（1）培養學生主動探究知識，合作交流的意識。

　　（2）在體驗數學美的過程中激發學生學習的興趣。

　　3、教學重點

　　（1）圓的標準方程

　　（2）已知圓的標準方程會寫出圓的圓心和半徑

　　（3）已知圓心坐標和半徑會寫出圓的標準方程

　　4、教學難點

　　（1）圓的標準方程的推導

　　（2）圓的標準方程的應用

　　（二）教法

　　本節課采用講練結合，啟發式教學

　　（三）學法

　　1、 主動探究學習

　　2、 小組合作學習

　　（四）教學過程

　　1、導入

　　通過鐘表的圖片讓學生了解鐘表的指針頭運行的軌跡是一個圓，第二個鐘表是讓學生了解圓是一系列的點來構成的，第三個圖是抽象出圓是由動點運行的軌跡有此形成圓的定義。

　　2、知識銜接

　　（1）圓的.定義，圓上的點具備的特征性質

　　（2）平面上兩點間的距離公式

　　通過復習為后邊推導圓的標準方程奠定基礎，降低難度。

　　3、新課學習

　　（1）推導圓的標準方程（化解難點）

　　怎么推出圓的標準方程，為了降低難度，可以把圓看成一個動點，既然是動點，那他的坐標是變化的，就用（x，y）表示，既然是圓上的點就應具備圓的特征性質即|CM|＝r接下來就容易推出圓的標準方程。

　　（2）圓的標準方程（突出重點）

　　先分析它的結構，圓心的橫縱坐標及半徑與圓的標準方程之間的關系。為了鞏固這個知識安排兩個練習，練習一是已知圓心坐標及半徑寫出圓的標準方程，練習二是已知圓的標準方程寫出圓的圓心坐標和半徑

　　（3）為了加強知識的應用，我加了一道用圓的標準方程解決實際問題的例子。這道題也是有難度的，為了降低難度，我給學生建立坐標系，讓學生寫出圓的標準方程，分組討論，最后得出結論。

　　（4）小結本節的重點知識

　　（5）根據所學為了加強鞏固，適當的布置作業

　　（五）板書設計

　　正中間是題目圓的標準方程，左邊是圓的標準方程，及確定圓的條件，右邊是例子及演板的地方，這樣設計的目的是醒目，大家一看就知道本節課的重要內容。

　　圓的標準方程教學設計 4

　　教學目標

　　(一)知識目標

　　1.掌握圓的標準方程：根據圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求出圓心坐標和半徑；

　　2.理解并掌握切線方程的探求過程和方法。

　　(二)能力目標

　　1．進一步培養學生用坐標法研究幾何問題的能力；

　　2. 通過教學，使學生學習運用觀察、類比、聯想、猜測、證明等合情推理方法，提高學生運算能力、邏輯思維能力；

　　3. 通過運用圓的標準方程解決實際問題的學習，培養學生觀察問題、發現問題及分析、解決問題的能力。

　　(三)情感目標

　　通過運用圓的知識解決實際問題的學習，理解理論來源于實踐，充分調動學生學習數學的熱情，激發學生自主探究問題的興趣，同時培養學生勇于探索、堅忍不拔的意志品質。

　　教學重、難點

　　(一)教學重點

　　圓的標準方程的理解、掌握。

　　(二)教學難點

　　圓的標準方程的應用。

　　教學方法

　　選用引導?探究式的教學方法。

　　教學手段

　　借助多媒體進行輔助教學。

　　教學過程

　　Ⅰ.復習提問、引入課題

　　師：前面我們學習了曲線和方程的關系及求曲線方程的方法。請同學們考慮：如何求適合某種條件的點的軌跡？

　　生：①建立適當的直角坐標系，設曲線上任一點M的坐標為(x，y)；②寫出適合某種條件p的點M的集合P＝｛M ?p（M）｝；③用坐標表示條件，列出方程f(x,y)=0；④化簡方程f(x,y)=0為最簡形式。⑤證明以化簡后方程的解為坐標的點都是曲線上的點（一般省略）。［多媒體演示］

　　師：這就是建系、設點、列式、化簡四步曲。用這四步曲我們可以求適合某種條件的任何曲線方程，今天我們來看圓這種曲線的方程。［給出標題］

　　師：前面我們曾證明過圓心在原點，半徑為5的圓的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.

　　若半徑發生變化，圓的方程又是怎樣的？能否寫出圓心在原點，半徑為r的圓的方程？

　　生：x2+y2=r2.

　　師：你是怎樣得到的？（引導啟發）圓上的點滿足什么條件？

　　生：圓上的任一點到圓心的距離等于半徑。即 ，亦即 x2+y2=r2.

　　師：x2+y2=r2 表示的圓的位置比較特殊：圓心在原點，半徑為r.有時圓心不在原點，若此圓的圓心移至C（a,b）點（如圖），方程又是怎樣的？

　　生：此圓是到點C(a,b)的距離等于半徑r的點的集合，

　　由兩點間的距離公式得

　　即：（x-a）2+(y-b)2= r2

　　Ⅱ.講授新課、嘗試練習

　　師：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圓的標準方程.

　　特別：當圓心在原點，半徑為r時，圓的標準方程為：x2+y2=r2.

　　師：圓的標準方程由哪些量決定？

　　生：由圓心坐標（a,b）及半徑r決定。

　　師：很好！實際上圓心和半徑分別決定圓的位置和大小。由此可見，要確定圓的方程，只需確定a、b、r這三個獨立變量即可。

　　1、 寫出下列各圓的標準方程：［多媒體演示］

　　① 圓心在原點，半徑是3 ：________________________

　　② 圓心在點C（3，4），半徑是 ：______________________

　　③ 經過點P（5，1），圓心在點C（8，－3）：_______________________

　　2、 變式題［多媒體演示］

　　① 求以C（1，3）為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。

　　答案：(x-1)2 + (y-3)2 =

　　② 已知圓的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,寫出圓心坐標和半徑。

　　答案： C（a,0）, r=|a|

　　Ⅲ.例題分析、鞏固應用

　　師：下面我們通過例題來看看圓的標準方程的應用.

　　［例1］ 已知圓的方程是 x2+y2=17，求經過圓上一點P（，）的切線的方程。

　　師：你打算怎樣求過P點的切線方程？

　　生：要求經過一點的直線方程，可利用直線的點斜式來求。

　　師： 斜率怎樣求？

　　生：

　　師：已知條件有哪些？能利用嗎？不妨結合圖形來看看（如圖）

　　生：切線與過切點的半徑垂直，故斜率互為負倒數

　　半徑OP的斜率 K1＝， 所以切線的斜率 K＝－＝－

　　所以所求切線方程：y-= －(x-)

　　即：x+y=17 (教師板書)

　　師：對照圓的方程x2+y2=17和經過點P（，）的切線方程x+y=17，你能作出怎樣的猜想？

　　生：

　　師：由x2+y2=17怎樣寫出切線方程x+y=17,與已知點P（，）有何關系？

　　（若看不出來，再看一例）

　　［例1/］ 圓的方程是x2+y2=13，求過此圓上一點（2，3）的切線方程。

　　答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0

　　師：發現規律了嗎？（學生紛紛舉手回答）

　　生：分別用切點的橫坐標和縱坐標代替圓方程中的一個x和一個y，便得到了切線方程。

　　師：若將已知條件中圓半徑改為r，點改為圓上任一點（xo,yo）,則結論將會發生怎樣的變化？大膽地猜一猜！

　　生：xox+yoy=r2.

　　師：這個猜想對不對？若對，可否給出證明？

　　生：

　　［例2］已知圓的方程是 x2+y2=r2，求經過圓上一點P（xo,yo）的切線的方程。

　　解：如圖(上一頁)，因為切線與過切點的半徑垂直，故半徑OP的.斜率與切線的斜率互為負倒數

　　∵半徑OP的斜率 K1＝，∴切線的斜率 K＝－＝－

　　∴所求切線方程：y-yo= － (x-xo)

　　即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2. (教師板書)

　　當點P在坐標軸上時，可以驗證上面方程同樣適用。

　　歸納總結：圓的方程可看成 x.x+y.y=r2,將其中一個x、y用切點的坐標xo、yo 替換，可得到切線方程

　　［例3］右圖為某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造時每隔4M需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度。（精確到0.01M）

　　引導學生分析，共同完成解答。

　　師生分析：①建系； ②設圓的標準方程（待定系數）；③求系數（求出圓的標準方程）；④利用方程求A2P2的長度。

　　解：以AB所在直線為X軸，O為坐標原點，建立如圖所示的坐標系。則圓心在Y軸上，設為（0，b）,半徑為r，那么圓的方程是 x2+(y-b)2=r2.

　　∵P(0,4),B(10,0)都在圓上，于是得到方程組：

　　解得：b=-10.5 ,r2=14.52

　　∴圓的方程為 x2+(y＋10.5)2=14.52.

　　將P2的橫坐標x=-2代入圓的標準方程

　　且取y>0

　　得：y=

　　≈14.36-10.5=3.86 (M)

　　答：支柱A2P2的長度約為3.86M。

　　Ⅳ.課堂練習、課時小結

　　課本Ｐ77練習2，3

　　師：通過本節學習，要求大家掌握圓的標準方程，理解并掌握切線方程的探求過程和方法，能運用圓的方程解決實際問題.

　　Ⅴ.問題延伸、課后作業

　　(一)若P（xo,yo）在圓（x-a）2+(y-b)2= r2上時，?求過P點的圓的切線方程。

　　課本Ｐ81習題7.7 : 1，2，3，4

　　(二)預習課本Ｐ77～Ｐ79

　　圓的標準方程教學設計 5

　　一、教材分析

　　圓是解析幾何中一類重要的曲線，是在學生學習了直線與方程的基礎知識之后，知道了在直角坐標系中通過建立方程可以達到研究圖形性質，圓的標準方程正是這一知識運用的延續，為后面學習其他圓錐曲線的方程奠定了基礎。本節內容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位，在許多實際問題中也有著廣泛的應用。

　　二、教學目標

　　1、知識與技能：

　　(1)會用定義推導圓的標準方程并掌握圓的標準方程的特征．

　　(2)會由圓的標準方程寫出圓的半徑和圓心坐標，能根據條件寫出圓的標準方程.

　　(3)會判斷點與圓的位置關系.

　　2、過程與方法：滲透數形結合思想，加深對數形結合思想的理解和加強待定系數法的運用，注意培養學生觀察問題和解決問題的能力.

　　3、情感態度和價值觀：通過運用圓的知識解決實際問題的學習，從而激發學生學習數學的熱情和興趣.

　　三、教學重點

　　掌握圓的標準方程的特征，能根據條件寫出圓的標準方程.

　　四、教學難點

　　根據已知條件，會利用待定系數法和幾何法求圓的標準方程.

　　五、教學方法

　　采用“合作探究”教學法.

　　六、教學過程設計

　　問題

　　師生活動

　　設計意圖

　　我們已經學習了圓的概念和平面直角坐標系，若將圓放到平面直角坐標系內，如何借助坐標描述圓的方程呢？

　　回憶前面學習的要點，引入這節課所要學習的內容.

　　從圓的定義引出圓的方程。

　　具有什么性質的點的軌跡稱為圓？

　　學生回答

　　（平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合）

　　復習圓的定義，為后面推導圓的方程作鋪墊.

　　在直角坐標系中，確定圓的條件是什么？

　　學生集體回答

　　（圓心和半徑）

　　師生合作，復習舊知識，引出新知識

　　已知圓心坐標（a,b），半徑為r，如何寫出圓的方程？

　　師生共同推導出圓的標準方程.

　　（設點M

　　(x,y)為圓C上任一點，則圓上所有點的集合為：

　　P={M||MC|=r}

　　則

　　即(x-a)2+(y-b)2=r2（xx）

　　因此,

　　(1)點M的坐標適合方程（xx）

　　(2)方程（xx）說明點M與圓心C的距離為r，即點M在圓C上。）

　　讓學生體會圓的方程的推導過程.

　　例1：求圓心和半徑

　　⑴圓(x+3)2+y2=5

　　⑵圓(x+1)2+(y-3)2=9

　　⑶圓x2+y2=4

　　學生集體回答，并及時根據學生的回答過程中出現的問題進行糾正.

　　讓學生初步應用圓的標準方程，體會圓的'標準方程帶來的信息.

　　練習:分別求滿足下列各條件的圓的方程:

　　(1)圓心是原點，半徑是3；

　　(2)圓心為C(3,4)，半徑是；

　　(3)經過點P(5,1)，圓心是點C(8，-3)

　　學生個別回答，并及時糾正學生出現的問題.

　　讓學生體會到要想求圓的標準方程，關鍵是求出圓心和半徑.

　　例2:已知圓的方程為x2+y2=4，判斷點A（1,1）、B(3,0)、C()是否在這個圓上.

　　學生說出圓的方程，老師引導學生得出判斷點是否在圓上的方法：把點的坐標代入圓的方程，看看方程是否成立.

　　學會應用圓的方程判斷點和圓的位置關系.

　　探究：點Mc(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上、內、外的條件是什么？

　　引導學生從點到圓心的距離和半徑的大小關系來判斷點和圓的位置條件：

　　(x0-a)2+(y0-b)2=r2點M0在圓上；

　　(x0-a)2+(y0-b)2

　　(x0-a)2+(y0-b)2>r2點M0在圓外.

　　讓學生體會數形結合思想在解析幾何的應用.

　　例3：求經過點A(1,-1)和B(-1,1)

　　兩點，且圓心C在直線l:

　　x+y-2=0上的圓的標準方程.

　　學生會用待定系數法求圓的方程.

　　引導學生從弦的垂直平分線過圓心（定義法）來求圓的方程：

　　（1）先確定圓心的位置

　　（弦的垂直平分線的交點）；

　　（2）求出圓心的坐標；

　　（3）求出半徑；

　　（4）寫出圓的方程。

　　再一次讓學生體會用數形結合的思想來解決數學問題.

　　求圓的標準方程：

　　（1）待定系數法；

　　（2）定義法.

　　師生共同總結兩種方法的優缺點

　　（待定系數法思路清晰，但計算比較繁雜；幾何法計算比較簡單，比較常用）

　　對兩種方法進行總結，比較其優缺點的不同.

　　練習：

　　(1)已知兩點P1(4,9),P2(6,3)，求以線段P1P2為直徑的圓的方程。

　　(2)已知△AOB的頂點坐標是A(4,0),B(0,3),C(0,0)，求△AOB外接圓的方程.

　　學生練習，體會兩種方法的優缺點，教師點評.

　　讓學生更進一步去體會和理解兩種方法的不同.

　　小結：

　　(1)圓的標準方程

　　(2)點與圓的位置關系

　　(3)求圓的標準方程2鐘方法:待定系數法和定義法

　　師生共同總結本節課的主要內容.

　　總結歸納主要內容.

　　作業：練習冊相應內容

　　鞏固本節所學知識

　　七、板書設計

　　2.1圓的標準方程

　　1.圓心圓心是C(a,b),半徑是r的圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

　　2.點Mc(x0,y0)和圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系：

　　(x0-a)2+(y0-b)2=r2點M0在圓上；

　　(x0-a)2+(y0-b)2

　　(x0-a)2+(y0-b)2>r2點M0在圓外。

　　3.求圓的標準方程方法：

　　（1）待定系數法；

　　（2）定義法；

　　例3:

　　（待定系數法）

　　（定義法）

　　八、教學反思

　　利用圓的標準方程由淺入深的解決問題，增強學生應用數學的意識。為了培養學生的理性思維，在例題3中用一題多解的探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯系，培養了學生創新精神，同時鍛煉了學生的思維能力。

　　圓的標準方程教學設計 6

　　1、教學目標

　　（1）知識目標：

　　1、在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程；

　　2、會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心，能根據條件寫出圓的方程；

　　3、利用圓的方程解決與圓有關的實際問題.

　　（2）能力目標：

　　1、進一步培養學生用解析法研究幾何問題的能力；

　　2、使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解；

　　3、增強學生用數學的意識.

　　（3）情感目標：培養學生主動探究知識、合作交流的意識，在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣.

　　2、教學重點、難點

　　（1）教學重點：圓的標準方程的.求法及其應用.

　　（2）教學難點：

　　①會根據不同的已知條件，利用待定系數法求圓的標準方程

　　②選擇恰當的坐標系解決與圓有關的實際問題.

　　3、教學過程

　　（一）創設情境（啟迪思維）

　　問題一：

　　已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2.7m，高為3m的貨車能不能駛入這個隧道？

　　[引導]：畫圖建系

　　[學生活動]：嘗試寫出曲線的方程（對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習）

　　解：以某一截面半圓的圓心為坐標原點，半圓的直徑ab所在直線為x軸，建立直角坐標系，則半圓的方程為x2＋y2＝16（y≥0）

　　將x＝2.7代入，得

　　即在離隧道中心線2.7m處，隧道的高度低于貨車的高度，因此貨車不能駛入這個隧道。

　　（二）深入探究（獲得新知）

　　問題二：

　　1、根據問題一的探究能不能得到圓心在原點，半徑為的圓的方程？

　　答：x2＋y2＝r2

　　2、如果圓心在，半徑為時又如何呢？

　　[學生活動]：探究圓的方程。

　　[教師預設]：方法一：坐標法

　　如圖，設m（x,y）是圓上任意一點，根據定義點m到圓心c的距離等于r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r}

　　由兩點間的距離公式，點m適合的條件可表示為 ①

　　把①式兩邊平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2

　　方法二：圖形變換法

　　方法三：向量平移法

　　（三）應用舉例（鞏固提高）

　　i．直接應用（內化新知）

　　問題三：1、寫出下列各圓的方程（課本p77練習1）

　　（1）圓心在原點，半徑為3；

　　（2）圓心在，半徑為

　　（3）經過點，圓心在點

　　2、根據圓的方程寫出圓心和半徑

　　（1） （2）

　　ii．靈活應用（提升能力）

　　問題四：

　　1、求以為圓心，并且和直線相切的圓的方程.

　　[教師引導]由問題三知：圓心與半徑可以確定圓.

　　2、求過點，圓心在直線上且與軸相切的圓的方程.

　　[教師引導]應用待定系數法尋找圓心和半徑.

　　3、已知圓的方程為，求過圓上一點的切線方程.

　　[學生活動]探究方法

　　[教師預設] [多媒體課件演示]

　　方法一：待定系數法（利用幾何關系求斜率—垂直）

　　方法二：待定系數法（利用代數關系求斜率—聯立方程）

　　方法三：軌跡法（利用勾股定理列關系式）

　　方法四：軌跡法（利用向量垂直列關系式）

　　4、你能歸納出具有一般性的結論嗎？

　　已知圓的方程是，經過圓上一點的切線的方程是：

　　iii．實際應用（回歸自然）

　　問題五：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度ab=20m，拱高op=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱的長度（精確到0.01m）。

　　圓的標準方程教學設計 7

　　教學目標：

　　1、掌握圓的標準方程，能根據圓心、半徑寫出圓的標準方程。

　　2、會用待定系數法求圓的標準方程。

　　教學重點：

　　圓的標準方程

　　教學難點：

　　會根據不同的已知條件，利用待定系數法求圓的標準方程。

　　教學過程：

　　（一）、情境設置：

　　在直角坐標系中，確定直線的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什么呢？什么叫圓？在平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一個二元一次方程來表示，那么，圓是否也可用一個方程來表示呢？如果能，這個方程又有什么特征呢？

　　探索研究：

　　（二）、探索研究：

　　確定圓的基本條件為圓心和半徑，設圓的圓心坐標為A（a，b），半徑為r。（其中a、b、r都是常數，r>0）設M（x，y）為這個圓上任意一點，那么點M滿足的條件是（引導學生自己列出）P={M||MA|=r}，由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的條件①

　　化簡可得：②

　　引導學生自己證明為圓的方程，得出結論。

　　方程②就是圓心為A（a，b），半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標準方程。

　　（三）、知識應用與解題研究

　　例1．（課本例1）寫出圓心為，半徑長等于5的圓的方程，并判斷點是否在這個圓上。

　　分析探求：可以從計算點到圓心的距離入手。

　　探究：點與圓的關系的.判斷方法：

　　（1）>，點在圓外

　　（2）=，點在圓上

　　（3）<，點在圓內

　　解：

　　例2．（課本例2）的三個頂點的坐標是求它的外接圓的方程。

　　師生共同分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓。從圓的標準方程可知，要確定圓的標準方程，可用待定系數法確定三個參數。

　　解：

　　例3．（課本例3）已知圓心為的圓經過點和，且圓心在上，求圓心為的圓的標準方程。

　　師生共同分析：如圖，確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大小。圓心為的圓經過點和，由于圓心與A，B兩點的距離相等，所以圓心在線段AB的垂直平分線m上，又圓心在直線上，因此圓心是直線與直線m的交點，半徑長等于或。

　　解：

　　總結歸納：（教師啟發，學生自己比較、歸納）比較例2、例3可得出圓的標準方程的兩種求法：

　　1、根據題設條件，列出關于的方程組，解方程組得到的值，寫出圓的標準方程。

　　②﹑根據確定圓的要素，以及題設條件，分別求出圓心坐標和半徑大小，然后再寫出圓的標準方程。

　　（四）、課堂練習（課本P120練習1，2，3，4）

　　歸納小結：

　　1、圓的標準方程。

　　2、點與圓的位置關系的判斷方法。

　　3、根據已知條件求圓的標準方程的方法。

　　作業布置：課本習題4.1A組第2，3，4題。

　　圓的標準方程教學設計 8

　　課名

　　《圓的標準方程》

　　教師

　　賈偉

　　學科（版本）

　　北師大版的數學必修2

　　章節

　　第二章第2節

　　學時

　　1學時

　　年級

　　高一年級

　　教材分析

　　圓是學生在初中已初步了解了圓的知識及前面學習了直線方程的基礎上來進一步學習《圓的標準方程》，它既是前面圓的知識的復習延伸，又是后繼學習圓與直線的位置關系奠定了基礎。因此，本節課在本章中起著承上啟下的重要作用。

　　教學目標

　　1、知識與技能：探索并掌握圓的標準方程，能根據方程寫出圓的坐標和圓的半徑。

　　2、過程與方法：通過圓的標準方程的學習，掌握求曲線方程的方法，領會數形結合的思想。

　　3、情感態度與價值觀：激發學生學習數學的興趣，感受學習成功的喜悅。

　　教學重點難點以及措施

　　教學重點：圓的標準方程理解及運用

　　教學難點：根據不同條件，利用待定系數求圓的`標準方程。

　　根據教學內容的特點及高一年級學生的年齡、認知特征，緊緊抓住課堂知識的結構關系，遵循“直觀認知――操作體會――感悟知識特征――應用知識”的認知過程，設計出包括：觀察、操作、思考、交流等內容的教學流程。并且充分利用現代化信息技術的教學手段提高教學效率。以此使學生獲取知識，給學生獨立操作、合作交流的機會。學法上注重讓學生參與方程的推導過程，努力拓展學生思維的空間，促其在嘗試中發現，討論中明理，合作中成功，讓學生真正體驗知識的形成過程。

　　學習者分析

　　高一年級的學生從知識層面上已經掌握了圓的相關性質；從能力層面具備了一定的觀察、分析和數據處理能力，對數學問題有自己個人的看法；從情感層面上學生思維活躍積極性高，但他們數學應用意識和語言表達的能力還有待加強。

　　教法設計

　　問題情境引入法啟發式教學法講授法

　　學法指導

　　自主學習法討論交流法練習鞏固法

　　教學準備：

　　一、教學環節

　　二、教學內容

　　三、教師活動

　　四、學生活動

　　五、設計意圖

　　六、情景引入

　　七、回顧復習（2分鐘）

　　1、觀賞生活中有關圓的圖片

　　2、回顧復習圓的定義，并觀看圓的生成flash動畫。

　　八、提問：

　　直線可以用一個方程表示，那么圓可以用一個方程表示嗎？

　　教師創設情景，引領學生感受圓。

　　教師提出問題。引導學生思考，引出本節主旨。

　　學生觀賞圓的圖片和動畫，思考如何表示圓的方程。

　　生活中的圖片展示，調動學生學習的積極性，讓學生體會到園在日常生活中的廣泛應用

　　九、自主學習（5分鐘）

　　1、介紹動點軌跡方程的求解步驟：

　　（1）建系：在圖形中建立適當的坐標系；

　　（2）設點：用有序實數對（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標；

　　（3）列式：用坐標表示條件P（M）的方程；

　　（4）化簡：對P（M）方程化簡到最簡形式；

　　2、學生自主學習圓的方程推導，并完成相應學案內容，

　　教師介紹求軌跡方程的步驟后，引導學生自學圓的標準方程

　　自主學習課本中圓的標準方程的推導過程，并完成導學案的內容，并當堂展示。

　　培養學生自主學習，獲取知識的能力

　　十、合作探究（10分鐘）

　　1、根據圓的標準方程說明確定圓的方程的條件有哪些？

　　2、點M（x0，y0）與圓（x、a）2+（y、b）2=r2的關系的判斷方法：

　　（1）點在圓上

　　（2）點在圓外

　　（3）點在圓內

　　教師引導學生分組探討，從旁巡視指導學生在自學和探討中遇到的問題，并鼓勵學生以小組為單位展示探究成果。

　　學生展開合作性的探討，并陳述自己的研究成果。

　　通過合作探究和自我的展示，鼓勵學生合作學習的品質

　　十一、當堂訓練（18分鐘）

　　1、求下列圓的圓心坐標和半徑

　　C1：x2+y2=5

　　C2：（x、3）2+y2=4

　　C3：x2+（y+1）2=a2（a≠0）

　　2、以C（4，、6）為圓心，半徑等于3的圓的標準方程

　　3、設圓（x、a）2+（y、b）2=r2則坐標原點的位置是（）

　　A、在圓外B、在圓上

　　C、在圓內D、與a的取值有關

　　4、寫出下列各圓的標準方程

　　（1）圓心在原點，半徑等于5

　　（2）經過點P（5，1），圓心在點C（6，、2）；

　　（3）以A（2，5），B（0，、1）為直徑的圓、

　　5、下列方程分別表示什么圖形

　　（1）x2+y2=0

　　（2）（x、1）2 =8、（y+2）2

　　（3）圓的標準方程

　　6、鞏固提升：已知圓心為C的圓經過點A（1，1）和B（2，2），且圓心在直線l：x、y+1=0上，求圓C的標準方程并作圖

　　指導學生就不同條件下給出的圓心和半徑關系，求解圓的標準方程這兩個要素展開訓練。

　　學生自主開展訓練，并糾正學習中所遇到的問題

　　鞏固所學知識，并查缺補漏。

　　十二、回顧小結

　　（1分鐘）

　　1、你學到了哪些知識？

　　2、你掌握了哪些技能？

　　3、你體會到了哪些數學思想？

　　采用提問的形式幫助學生回顧和分析本節所學。

　　學生思考并從知識、技能和思想方法上回顧總結。

　　培養學生歸納總結能力

　　十三、作業布置（1分鐘）

　　課本87頁習題2、2

　　A組的第1道題

　　布置訓練任務

　　標記并完成相應的任務

　　檢測學生掌握知識情況。

　　十四、教學反思

　　本節教學主要遵循“回、導、學、展、講、練、結”的高效課堂教學模式，遵循學生學習的主體地位，鼓勵學生自主思考和探討。

　　教學中要積極鼓勵學生多思考總結，在判斷點與圓的位置關系中，要遵從學生個性化的發展思路，鼓勵學生創造性的解決問題。

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