任意角的三角函數教學設計

任意角的三角函數教學設計（精選15篇）

　　作為一位杰出的老師，有必要進行細致的教學設計準備工作，教學設計是實現教學目標的計劃性和決策性活動。我們應該怎么寫教學設計呢？下面是小編為大家整理的任意角的三角函數教學設計，希望能夠幫助到大家。

　　任意角的三角函數教學設計 1

　　【教學目標：】

　　1.通過對初中銳角三角函數定義的回憶，掌握任意角三角函數的定義法，并掌握用單位圓中的有向線段表示三角函數值。

　　2.掌握已知角終邊上一點坐標，求四個三角函數值。（即給角求值問題）

　　【教學重點：】

　　任意角的三角函數的定義。

　　【教學難點：】

　　任意角的三角函數的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數的幾何表示。

　　【教學用具：】

　　直尺、圓規、投影儀

　　【教學步驟：】

　　1.設置情境

　　角的范圍已經推廣，那么對任一角是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數呢？本節課就來討論這一問題。

　　2.探索研究

　　（1）復習回憶銳角三角函數

　　我們已經學習過銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值，定義了角的.正弦、余弦、正切、余切的三角函數，本節課我們研究當角是一個任意角時，其三角函數的定義及其幾何表示。

　　（2）任意角的三角函數定義

　　（3）三角函數是以實數為自變量的函數

　　對于確定的角，分別對應的比值各是一個確定的實數，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個角的集合到一個比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數，當采用弧度制來度量角時，每一個確定的角有惟一確定的弧度數，這是一個實數，所以這幾種三角函數也都可以看成是以實數為自變量，以比值為函數值的函數。

　　即：實數→角（其弧度數等于這個實數）→三角函數值（實數）

　　（4）三角函數的一種幾何表示

　　利用單位圓有關的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線。

　　設任意角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點，過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設它與角的終邊（當為第一、四象限時）或其反向延長線（當為第二、三象限時）相交于，當角的終邊不在坐標軸上時，我們把，都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段。由正弦、余弦、正切函數的定義有：

　　這幾條與單位圓有關的有向線段叫做角的正弦線、余弦線、正切線。當角的終邊在軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點；當角的終邊在軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在。

　　任意角的三角函數教學設計 2

　　教學目標

　　1、知識與技能

　　(1)理解并掌握正弦函數的定義域、值域、周期性、(小)值、單調性、奇偶性;

　　(2)能熟練運用正弦函數的性質解題。

　　2、過程與方法

　　通過正弦函數在R上的圖像，讓學生探索出正弦函數的性質;講解例題，總結方法，鞏固練習。

　　3、情感態度與價值觀

　　通過本節的'學習，培養學生創新能力、探索歸納能力;讓學生體驗自身探索成功的喜悅感，培養學生的自信心;使學生認識到轉化“矛盾”是解決問題的有效途經;培養學生形成實事求是的科學態度和鍥而不舍的鉆研精神。

　　教學重難點

　　重點:正弦函數的性質。

　　難點:正弦函數的性質應用。

　　教學工具

　　投影儀

　　教學過程

　　創設情境，揭示課題

　　同學們，我們在數學一中已經學過函數，并掌握了討論一個函數性質的幾個角度，你還記得有哪些嗎?在上一次課中，我們已經學習了正弦函數的y=sinx在R上圖像，下面請同學們根據圖像一起討論一下它具有哪些性質?

　　探究新知

　　讓學生一邊看投影，一邊仔細觀察正弦曲線的圖像，并思考以下幾個問題：

　　(1)正弦函數的定義域是什么?

　　(2)正弦函數的值域是什么?

　　(3)它的最值情況如何?

　　(4)它的正負值區間如何分?

　　(5)?(x)=0的解集是多少?

　　師生一起歸納得出：

　　1.定義域：y=sinx的定義域為R

　　2.值域：引導回憶單位圓中的正弦函數線，結論：|sinx|≤1(有界性)

　　再看正弦函數線(圖象)驗證上述結論，所以y=sinx的值域為[-1，1]

　　任意角的三角函數教學設計 3

　　知識目標：

　　1.理解銳角的正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的意義。

　　2.會由直角三角形的邊長求銳角的正、余弦，正、余切函數值。

　　能力、情感目標：

　　1.經歷由情境引出問題，探索掌握數學知識，再運用于實踐過程，培養學生學數學、用數學的意識與能力。

　　2.體會數形結合的數學思想方法。

　　3.培養學生自主探索的精神，提高合作交流能力。

　　重點、難點：

　　1.直角三角形銳角三角函數的意義。

　　2.由直角三角形的邊長求銳角三角函數值。

　　教學過程：

　　一、創設情境

　　前面我們利用相似和勾股定理解決一些實際問題中求一些線段的長度問題。但有些問題單靠相似與勾股定理是無法解決的。同學們放過風箏嗎？你能測出風箏離地面的高度嗎？

　　學生討論、回答各種方法。教師加以評論。

　　總結：前面我們學習了勾股定理，對于以上的問題中，我們求的是BC的長，而的AB的長是可知的，只要知道AC的長就可要求BC了，但實際上要測量AC是很難的。因此，我們換個角度，如果可測量出風箏的線與地面的夾角，能不能解決這個問題呢？學了今天這節課的內容，我們就可以很好地解決這個問題了。

　　（由一個學生比較熟悉的事例入手，引起學生的學習興趣，調動起學生的學習熱情。由此導入新課）

　　二、新課講述：

　　在Rt△ABC中與Rt△A1B1C1中∠C=90°，C1=90°∠A=∠A1，∠A的對邊、斜邊分別是BC、AB，∠A1的對邊、斜邊分別是B1C1、A1B2（學生探索，引導學生積極思考，利用相似發現比值相等）

　　若在Rt△A2B2C2中，∠A2=∠A，那么

　　問題1：從以上的探索問題的過程，你發現了什么？（學生討論）

　　結論：這說明在直角三角形中，只要一個銳角的大小不變，那么無論這個直角三角形的大小如何，該銳角的對邊與斜邊的比值是一個固定值。

　　在一個直角三角形中，只要角的大小一定，它的對邊與斜邊的比值也就確定了，與這個角所在的'三角形的大小無關，我們把這個比值叫做這個角的正弦，即∠A的正弦=，記作sinA，也就是：sinA=

　　幾個注意點：

　　①sinA是整體符號，不能所把看成sinA；

　　②在一個直角三角形中，∠A正弦值是固定的，與∠A的兩邊長短無關，當∠A發生變化時，正弦值也發生變化；

　　③sinA表示用一個大寫字母表示的一個角的正弦，對于用三個大寫字母表示的角的正弦時，不能省略角的符號“∠”；例如表示“∠ABC”的正弦時，應該寫成“sin∠ABC”；

　　④SinA=可看成一個等式。已知兩個量可求第三個量，因此有以下變形：a=csinA，c=

　　由此我們又可以知道，在直角三角形中，當一個銳角的大小保持不變時，這個銳角的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊、鄰邊與對邊的比值也是固定的。分別叫做余弦、正切、余切。

　　在Rt△ABC中

　　∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作

　　∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作

　　∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切，記作

　　（以上可以由學生自行看書，教師簡單講述）

　　銳角三角函數：以上隨著銳角A的角度變化，這些比值也隨著發生變化。我們把sinA、csA、tanA、ctA統稱為銳角∠A的三角函數。

　　問題2：觀察以上函數的比值，你能從中發現什么結論？

　　結論：

　　①、銳角三角函數值都是正實數；

　　②、0＜sinA＜1，0＜csA＜1；

　　③、tanActA=1。

　　三、實踐應用

　　例1求出Rt△ABC中∠A的四個三角函數值。

　　問題3：以上例子中，若求sinB、tanB呢？

　　問題4：已知：在直角三角形ABC中，∠C=90&rd;，sinA=4/5，BC=12，求：AB和csA

　　（問題3、4從實例加深學生對銳角三角函數的理解，以此再加以突破難點）

　　四、交流反思

　　通過這節課的學習，我們理解了在直角三角形中，當銳角一定時，它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊、鄰邊與對邊的比值是固定的，這幾個比值稱為銳角三角函數，它反映的是兩條線段的比值；它提示了三角形中的邊角關系。

　　五、課外作業：

　　同步練習

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　　教學目的：

　　1、掌握同角三角函數的基本關系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；

　　2、通過運用公式的訓練過程，培養學生解決三角函數求值、化簡、恒等式證明的解題技能，提高運用公式的靈活性；

　　3、注意運用數形結合的思想解決有關求值問題；在解決三角函數化簡問題過程中，注意培養學生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學過程中，注意培養學生分析問題的能力，從而提高邏輯推理能力。

　　教學重點：

　　同角三角函數的基本關系

　　教學難點：

　　(1)已知某角的一個三角函數值，求它的其余各三角函數值時正負號的選擇；

　　(2)三角函數式的化簡；

　　(3)證明三角恒等式。

　　授課類型：

　　新授課

　　教學過程

　　知識回顧：

　　同角三角函數的基本關系公式:

　　典型例題：

　　例1.已知sin=2，求α的其余三個三角函數值。

　　例2.已知：且，試用定義求的.其余三個三角函數值。

　　例3.已知角的終邊在直線=3x上，求sin和cs的值。

　　說明：已知某角的一個三角函數值，求該角的其他三角函數值時要注意：

　　(1)角所在的象限；

　　(2)用平方關系求值時，所求三角函數的符號由角所在的象限決定；

　　(3)若題設中已知角的某個三角函數值是用字母給出的，則求其他函數值時，要對該字母分類討論。

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　　教學目的：

　　知識目標：

　　1.理解三角函數定義。

　　2.理解握各種三角函數在各象限內的符號。

　　3.理解終邊相同的角的同一三角函數值相等。

　　能力目標：

　　1.掌握三角函數定義。

　　2.掌握各種三角函數在各象限內的符號。

　　3.掌握終邊相同的角的同一三角函數值相等。

　　授課類型：

　　復習課

　　教學模式：

　　講練結合

　　教具：

　　多媒體、實物投影儀

　　教學過程：

　　一、復習引入：

　　1、三角函數定義。

　　2.確定下列各式的符號

　　(1)sin100°cs240°

　　(2)sin5+tan5

　　3.x取什么值時，有意義?

　　4.若三角形的兩內角，滿足sincs0，則此三角形必為……（）

　　A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D以上三種情況都可能

　　5.若是第三象限角，則下列各式中不成立的'是………………（）

　　A：sin+cs0B：tansin0

　　C：csct0D：ctcsc0

　　6.已知是第三象限角且，問是第幾象限角？

　　二、講解新課：

　　1、求下列函數的定義域：

　　2、已知，則為第幾象限角？

　　3、（1）若θ在第四象限，試判斷sin(csθ)cs(sinθ)的符號；

　　（2）若tan(csθ)ct(sinθ)>0，試指出θ所在的象限，并用圖形表示出的取值范圍。

　　三、課后作業：

　　1、利用單位圓中的三角函數線，確定下列各角的取值范圍：

　　(1)sinα

　　(2)|sinα|<|csα|。

　　2、角α的終邊上的點P與A（a，b）關于x軸對稱，角β的終邊上的點Q與A關于直線=x對稱。求sinαescβ+tanαctβ+secαcscβ的值。

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　　一、案例實施背景

　　本節課是九年級解直角三角形講完后的一節復習課

　　二、本章的課標要求：

　　1、通過實例銳角三角函數(sinA、cosA、tanA)

　　2、知道特殊角的三角函數值

　　3、會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，已知三角函數值求它對應的銳角

　　4、能運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題

　　此外，理解直角三角形中邊、角之間的關系會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形，進一步感受數形結合的數學思想方法，通過對實際問題的思考、探索，提高解決實際問題的能力和應用數學的意識。

　　三、課時安排：

　　1課時

　　四、學情分析：

　　本節是在學完本章的前提之下進行的總復習，因此本節選取三個知識回顧和四個例題，使學生將有關銳角三角函數基礎知識條理化，系統化，進一步培養學生總結歸納的能力和運用知識的能力。

　　因此，本節的重點是通過復習，使學生進一步體會知識之間的相互聯系，能夠很好地運用知識。進一步體會三角函數在解決實際問題中的作用，從而發展數學的應用意識和解決問題的能力。

　　五、教學目標:

　　知識與技能目標

　　1、通過復習使學生將有關銳角三角函數基礎知識條理化，系統化。

　　2、通過復習培養學生總結歸納的能力和運用知識的能力。

　　過程與方法：

　　1、通過本節課的復習，使學生進一步體會知識之間的相互聯系，能夠很好地運用知識。

　　2、通過復習銳角三角函數，進一步體會它在解決實際問題中的作用。

　　情感、態度、價值觀

　　充分發揮學生的積極性，讓學生從實際運用中得到鍛煉和發展。

　　六、重點難點:

　　1.重點：銳角三角函數的.定義;直角三角形中五個元素之間的相互聯系。

　　2.難點：知識的深化與運用。

　　七、教學過程:

　　知識回顧一：

　　(1)在Rt△ABC中，C=90，AB=6，AC=3，則BC=_________，sinA=_________，cosA=______，tanA=______，A=_______，B=________

　　知識回顧二：

　　(2)比較大小：sin50______sin70

　　cos50______cos70

　　tan50______tan70。

　　知識回顧三：

　　(3)若A為銳角，且cos(A+15)=，則A=________。

　　本環節的設計意圖：通過三個小題目回顧：

　　1、銳角三角函數的定義：

　　在Rt△ABC中，C=90

　　銳角A的正弦、余弦、和正切統稱A的銳角三角函數。

　　2、直角三角形的邊角關系：

　　(1)三邊之間的關系：

　　(2)銳角之間的關系：B=90

　　(3)邊角之間的關系：

　　sinA=cosA=tanA=sinB=cosB=tanB=

　　3、解直角三角形：

　　由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

　　4、特殊角的三角函數值

　　三角函數

　　銳角A

　　sinA

　　cosA

　　tanA

　　30

　　45

　　60

　　5、銳角三角函數值的變化：

　　(1)當A為銳角時，各三角函數值均為正數，且0

　　(2)當A為銳角時，sinA、tanA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小。

　　例題解析

　　【例1】在⊿ABC中，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，BC=14，AD=12，sinB=0.8，求DC及tanCDE。

　　解題反思：通過本題讓學生明白：

　　1、必須在直角三角形中求銳角的三角函數;

　　2、等角代換間接求解。

　　【例2】要在寬為28m的海堤公路的路邊安裝路燈，路燈的燈臂AD長3m，且與燈柱CD成120角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線AB與燈臂垂直，當燈罩的軸線通過公路路面的中線時，照明效果最理想，問：應設計多高的燈柱，才能取得最理想的照明效果?

　　解題反思：通過本題讓學生知道解決這類問題時常分為以下幾個步驟：

　　①理清題目所給信息條件和需要解決的問題;

　　②通過畫圖進行分析，將實際問題轉化為數學問題;

　　③根據直角三角形的邊角關系尋找解決問題的方法;

　　④正確進行計算，寫出答案。

　　【例3】一艘輪船以每小時30海里的速度向東北方向航行，當輪船在A處時，從輪船上觀察燈塔S，燈塔S在輪船的北偏東75方向，航行12分鐘后，輪船到達B處，在B處觀察燈塔S，S恰好在輪船的正東方向，已知距離燈塔S8海里以外的海區為航行安全區域，問：如果這艘輪船繼續沿東北方向航行，它是否安全?

　　教學反思：

　　銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用，但是銳角三角函數首先是放在直角三角形中研究的，顯示的是邊角之間的關系。銳角三角函數值是邊與邊之間的比值，銳角三角函數溝通了邊與角之間的聯系，它是解直角三角形最有力的工具之一。

　　在今后教學過程中，自己還要多注意以下兩點：

　　(1)還要多下點工夫在如何調動課堂氣氛，使語言和教態更加生動上。初中學生的注意力還是比較容易分散的，興趣也比較容易轉移，因此，越是生動形象的語言，越是寬松活潑的氣氛，越容易被他們接受。如何找到適合自己適合學生的教學風格?或嚴謹有序，或生動活潑，或詼諧幽默，或詩情畫意，或春風細雨潤物細無聲，或激情飛揚，每一種都是教學魅力和人格魅力的展現。我將不斷摸索，不斷實踐。

　　(2)我將盡我可能站在學生的角度上思考問題，設計好教學的每一個細節，上課前多揣摩。讓學生更多地參與到課堂的教學過程中，讓學生體驗思考的過程，體驗成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學生，讓學生做課堂這個小小舞臺的主角。而我將盡我最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結得失，不斷進步。只有這樣，才能真正提高課堂教學效率。

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　　目標：

　　1、理解銳角三角函數的定義，掌握銳角三角函數的表示法；

　　2、能根據銳角三角函數的定義計算一個銳角的各個三角函數的值；

　　3、掌握Rt△中的銳角三角函數的表示：sinA=，cosA=，tanA=

　　4、掌握銳角三角函數的取值范圍；

　　5、通過經歷三角函數概念的形成過程，培養學生從特殊到一般及數形結合的思想方法。

　　教學重點：

　　銳角三角函數相關定義的理解及根據定義計算銳角三角函數的值。

　　教學難點：

　　銳角三角函數概念的形成。

　　教學過程：

　　一、創設情境：

　　鞋跟多高合適？

　　美國人體工程學研究人員卡特·克雷加文調查發現，70％以上的女性喜歡穿鞋跟高度為6至7厘米左右的高跟鞋。但專家認為穿6厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等處的肌肉非常容易疲勞。

　　據研究，當高跟鞋的鞋底與地面的夾角為11度左右時，人腳的感覺最舒適。假設某成年人腳前掌到腳后跟長為15厘米，不難算出鞋跟在3厘米左右高度為最佳。

　　問：你知道專家是怎樣計算的嗎？

　　顯然，高跟鞋的鞋底、鞋跟與地面圍城了一個直角三角形，回顧直角三角形的已學知識，引出課題。

　　二、探索新知：

　　1、下面我們一起來探索一下。

　　實踐一：作一個30°的∠A，在角的邊上任意取一點B，作BC⊥AC于點C。

　　⑴計算，的值，并將所得的結果與你同伴所得的結果進行比較。∠A=30°時學生1結果學生2結果學生3結果學生4結果⑵將你所取的AB的值和你的同伴比較。

　　實踐二：作一個50°的∠A，在角的邊上任意取一點B，作BC⊥AC于點C。

　　（1）量出AB，AC，BC的長度（精確到1mm）。

　　（2）計算BC/AB，AC/AB，的值（結果保留2個有效數字），并將所得的結果與你同伴所得的結果進行比較。

　　（3）將你所取的AB的值和你的同伴比較。

　　2、經過實踐一和二進行猜測

　　猜測一：當∠A不變時，三個比值與B在AM邊上的位置有無關系？

　　猜測二：當∠A的大小改變時，相應的三個比值會改變嗎？

　　3、理論推理

　　4、歸納總結得到新知：

　　⑴三個比值與B點在的邊AM上的位置無關；

　　⑵三個比值隨的變化而變化，但（0°﹤∠α﹤90°）確定時，三個比值隨之確定；

　　比值，都是銳角的.函數

　　比值叫做的正弦，sinα=

　　比值叫做的余弦，cosα=

　　比值叫做的正切，tanα=

　　（3）注意點：sinα，cosα，tanα都是一個完整的符號，單獨的“sin”沒有意義，其中前面的“∠”一般省略不寫。

　　強化讀法，寫法；分清各三角函數的自變量和應變量。

　　三、深化新知

　　1、三角函數的定義

　　在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定，則有

　　sinA＝

　　cosA＝

　　2、提問：根據上面的三角函數定義，你知道正弦與余弦三角函數值的取值范圍嗎？

　　（點撥）直角三角形中，斜邊大于直角邊。

　　生：獨立思考，嘗試回答，交流結果。

　　明確：銳角的三角函數值的范圍：0＜sinα＜1，0＜cosα＜1。

　　四、課堂小結：談談今天的收獲

　　1、內容總結

　　（1）在RtΔABC中，設∠C=90°，∠α為RtΔABC的一個銳角，則

　　∠α的正弦，∠α的余弦，

　　∠α的正切

　　2、方法歸納

　　在涉及直角三角形邊角關系時，常借助三角函數定義來解。

　　任意角的三角函數教學設計 8

　　一、教學目標

　　1、理解一次函數和正比例函數的概念，以及它們之間的關系。

　　2、能根據所給條件寫出簡單的一次函數表達式。

　　二、能力目標

　　1、經歷一般規律的探索過程、發展學生的抽象思維能力。

　　2、通過由已知信息寫一次函數表達式的過程，發展學生的數學應用能力。

　　三、情感目標

　　1、通過函數與變量之間的關系的聯系，一次函數與一次方程的聯系，發展學生的數學思維。

　　2、經歷利用一次函數解決實際問題的過程，發展學生的數學應用能力。

　　四、教學重難點

　　1、一次函數、正比例函數的概念及關系。

　　2、會根據已知信息寫出一次函數的表達式。

　　五、教學過程

　　1、新課導入有關函數問題在我們日常生活中隨處可見，如彈簧秤有自然長度，在彈性限度內，隨著所掛物體的重量的增加，彈簧的長度相應的會拉長，那么所掛物體的重量與彈簧的長度之間就存在某種關系，究竟是什么樣的關系，請看：某彈簧的自然長度為3厘米，在彈性限度內，所掛物體的質量x每增加1千克、彈簧長度y增加0.5厘米。

　　(1)計算所掛物體的質量分別為1千克、2千克、3千克、4千克、5千克時彈簧的長度，

　　(2)你能寫出x與y之間的.關系式嗎?分析：當不掛物體時，彈簧長度為3厘米，當掛1千克物體時，增加0.5厘米，總長度為3.5厘米，當增加1千克物體，即所掛物體為2千克時，彈簧又增加0.5厘米，總共增加1厘米，由此可見，所掛物體每增加1千克，彈簧就伸長0.5厘米，所掛物體為x千克，彈簧就伸長0.5厘米，則彈簧總長為原長加伸長的長度，即y=3+0.5x。

　　2、做一做某輛汽車油箱中原有汽油100升，汽車每行駛50千克耗油9升。你能寫出x與y之間的關系嗎?(y=1000.18x或y=100x)接著看下面這些函數，你能說出這些函數有什么共同的特點嗎?上面的幾個函數關系式，都是左邊是因變量，右邊是含自變量的代數式，并且自變量和因變量的指數都是一次。

　　3、一次函數，正比例函數的概念若兩個變量x，y間的關系式可以表示成y=kx+b(k，b為常數k≠0)的形式，則稱y是x的一次函數(x為自變量，y為因變量)。特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數。

　　4、例題講解例1：下列函數中，y是x的一次函數的是()

　　①y=x6;②y=;③y=;④y=7x

　　A、①②③B、①③④C、①②③④D、②③④

　　分析：這道題考查的是一次函數的概念，特別要強調一次函數自變量與因變量的指數都是1，因而②不是一次函數，答案為B

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　　教材：

　　角的概念的推廣

　　目的：

　　要求學生掌握用“旋轉”定義角的概念，并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

　　過程：

　　一、提出課題：“三角函數”

　　回憶初中學過的“銳角三角函數”——它是利用直角三角形中兩邊的比值來定義的。相對于現在，我們研究的三角函數是“任意角的三角函數”，它對我們今后的學習和研究都起著十分重要的作用，并且在各門學科技術中都有廣泛應用。

　　二、角的概念的推廣

　　1.回憶：初中是任何定義角的？（從一個點出發引出的兩條射線構成的幾何圖形）這種概念的優點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”

　　2.講解：“旋轉”形成角（P4）

　　突出“旋轉”注意：“頂點”“始邊”“終邊”

　　“始邊”往往合于軸正半軸

　　3.“正角”與“負角”——這是由旋轉的方向所決定的。

　　記法：角或可以簡記成

　　4.由于用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了。

　　1°角有正負之分如：a=210°b=-150°g=-660°

　　2°角可以任意大

　　實例：體操動作：旋轉2周（360°×2=720°）3周（360°×3=1080°）

　　3°還有零角一條射線，沒有旋轉

　　三、關于“象限角”

　　為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角

　　角的頂點合于坐標原點，角的始邊合于軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限）

　　例如：30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角

　　585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等

　　四、關于終邊相同的角

　　1.觀察：390°，-330°角，它們的終邊都與30°角的'終邊相同

　　2.所有與a終邊相同的角連同a在內可以構成一個集合

　　即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和

　　3.例一（P5略）

　　五、小結：1°角的概念的推廣

　　用“旋轉”定義角角的范圍的擴大2°“象限角”與“終邊相同的角”

　　六、作業：P7練習1、2、3、4

　　任意角的三角函數教學設計 10

　　一、教材分析

　　教材所處的地位及作用：

　　本章是在學生已學了一次函數、反比例函數、二次函數以及相似形的基礎上進行的，它反映的不是數值與數值的對應關系，而是角度與數值之間的對應關系，這對學生來說是個全新的領域。一方面，這是在學習了直角三角形兩銳角關系、勾股定理等知識的基礎上，對直角三角形邊角關系的進一步深入和拓展；另一方面，又為解直角三角形等知識奠定了基礎.

　　二、學情分析

　　1、九年級學生的思維活躍，接受能力較強，具備了一定的數學探究活動經歷和應用數學的意識。

　　2、學生已經掌握直角三角形中各邊和各角的關系，能靈活運用相似圖形的性質及判定方法解決問題，有較強的.推理證明能力，這為順利完成本節課的教學任務打下了基礎，學生要得出銳角與比值之間的對應關系，這種對應關系不同于以前學習的數值與數值之間的對應關系，因此對學生而言建立這種對應關系有一定困難。

　　三、教學目標

　　1、理解銳角正弦的意義，了解銳角與銳角正弦值之間的一一對應關系，進一步體會函數的變化與對應的思想；

　　2、會根據銳角正弦的意義解決直角三角形中已知邊長求銳角正弦，以及已知正弦值和一邊長求其它邊長的問題；

　　3、經歷銳角正弦意義的探索過程，體會從特殊到一般的研究問題的思路和數形結合的思想方法；

　　4、經歷由實際問題引發出對正弦函數討論的過程，培養學生觀察生活、發現問題、研究問題的能力。

　　四、重點、難點

　　1、重點：銳角正弦的定義及應用；

　　2、難點：理解銳角正弦是銳角與邊的比值之間的函數關系。

　　3、難點突破方法：由特殊角入手開展討論，自然過度到一般角；從具體情境抽象出正弦的概念，并結合多個實例從不同角度深化理解。

　　五、教法及學法

　　本節課采用情境引導和探究發現教學法，通過適宜的問題情境引發新的認知沖突，建立知識間的聯系。同時采用多媒體輔助教學，以直觀生動地呈現教學素材，從而更好地激發學生的學習興趣，增大教學容量，提高教學效率。

　　六、教學過程

　　為了實現本節的教學目標，教學過程分為以下六個環節：

　　（一）復習舊知，情境引入

　　（二）合作探究，獲得新知：

　　（三）鞏固訓練，落實雙基

　　（四）強化提高，培養能力

　　（五）小結歸納，拓展深化

　　（六）反饋練習，自主評價。

　　下面就幾個主要環節進行解說

　　（一）復習舊知，情境引入

　　（二）先讓學生回顧直角三角形知識，再從鋪設水管引入30°的直角三角形中的邊與角的關聯。

　　（二）合作探究，獲得新知：

　　先讓學生猜想，再利用幾何畫板演示，在直角三角形中，任意角度的銳角的對邊和斜邊的比和這個角的關系。得出結論：

　　當∠A的度數一定時，∠A的對邊和斜邊的比值是一個定值。這個比值隨著角度的變化而變化，當角度一定時，有唯一和它對應的比值。所以∠A的對邊和斜邊的比值是關于∠A度數的函數。

　　再引出課題和正弦概念，給出正弦的含義和表示方法。認識幾個特殊角的正弦值。

　　（三）鞏固訓練

　　講解一道求正弦值的例題。

　　（四）強化提高，培養能力

　　出示三道提高題，第一道是關于直接利用正弦值求斜邊的題，然后進行變式，第二題是關于不是直角三角形中求正弦的題，第三題是關于用不同的方法求一個銳角的正弦值。

　　（五）小結歸納，拓展深化

　　任意角的三角函數教學設計 11

　　教學目標

　　1.能夠把數學問題轉化成數學問題。

　　2.能夠錯助于計算器進行有三角函數的計算，并能對結果的意義進行說明，發展數學的應用意識和解決問題的能力。

　　過程與方法

　　經歷探索實際問題的過程，進一步體會三角函數在解決實際問題過程中的應用。

　　情感態度與價值觀

　　積極參與探索活動，并在探索過程中發表自己的見解，體會三角函數是解決實際問題的有效工具。

　　重點：

　　能夠把數學問題轉化成數學問題，能夠借助于計算器進行有三角函數的計算。

　　難點：

　　能夠把數學問題轉化成解直角三角形問題，會正確選用適合的直角三角形的邊角關系。

　　教學過程

　　一、問題引入，了解仰角俯角的概念。

　　提出問題：某飛機在空中A處的高度AC＝1500米，此時從飛機看地面目標B的俯角為18°，求A、B間的距離。

　　提問：

　　1.俯角是什么樣的角？，如果這時從地面B點看飛機呢，稱∠ABC是什么角呢？這兩個角有什么關系？

　　2.這個△ABC是什么三角形？圖中的邊角在實際問題中的意義是什么，求的是什么，在這個幾何圖形中已知什么，又是求哪條線段的長，選用什么方法？

　　教師通過問題的分析與討論與學生共同學習也仰角與俯角的概念，也為運用新知識解決實際問題提供了一定的模式。

　　二、測量物體的高度或寬度問題

　　1.提出老問題，尋找新方法

　　我們學習中介紹過測量物高的一些方法，現在我們又學習了銳角三角函數，能不能利用新的知識來解決這些問題呢。

　　利用三角函數的前提條件是什么？那么如果要測旗桿的高度，你能設計一個方案來利用三角函數的知識來解決嗎？

　　學生分組討論體會用多種方法解決問題，解決問題需要適當的數學模型。

　　2.運用新方法，解決新問題

　　⑴從1.5米高的測量儀上測得古塔頂端的仰角是30°，測量儀距古塔60米，則古塔高（ ）米。

　　⑵從山頂望地面正西方向有C、D兩個地點，俯角分別是45°、30°，已知C、D相距100米，那么山高（ ）米。

　　⑶要測量河流某段的寬度，測量員在灑一岸選了一點A，在另一岸選了兩個點B和C，且B、C相距200米，測得∠ACB＝45°，∠ABC＝60°，求河寬（精確到0.1米）。

　　在這一部分的練習中，引導學生正確來圖，構造直角三角形解決實際問題，滲透建模的數學思想。

　　三、與方位角有關的決策型問題

　　1.提出問題

　　一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在北偏東60°的方向上；40nin后，漁船行駛到B處，此時小島C在船北偏東30°的方向上。

　　已知以小島C為中心，10海里為半徑的范圍內是多暗礁的危險區。這艘漁船如果繼續向東追趕魚群，有有進入危險區的可能？

　　2.師生共同分析問題按以下步驟時行：

　　⑴根據題意畫出示意圖

　　⑵分析圖中的線段與角的實際意義與要解決的'問題，

　　⑶不存在直角三角形時需要做輔助線構造直角三角形，如何構造？

　　⑷選用適當的邊角關系解決數學問題，

　　⑸按要求確定正確答案，說明結果的實際意義。

　　3.學生練習

　　某景區有兩景點A、B，為方便游客，風景管理處決定在相距2千米的A、B兩景點之間修一條筆直的公路（即線段AB）。

　　經測量在A點北偏東60°的方向上在B點北偏西45°的方向上，有一半徑為0.7千米

　　的小水潭，問水潭會不會影響公路的修建？為什么？

　　學生可以分組討論來解決這一問題，提出不同的方法。

　　四、總結。

　　1.由學生談利用三角函數知識來解決實際問題的步驟，再次體會建立數學模型解決問題的過程。

　　2.總結具體幾種類型的圖形構造直角三角形的方法。

　　任意角的三角函數教學設計 12

　　一、教材分析

　　這節課是在初中學習的銳角三角函數的基礎上，進一步學習任意角的三角函數。任意角的三角函數通常是借助直角坐標系來定義的。三角函數的定義是本章教學內容的基本概念和重要概念，也是學習后續內容的基礎，更是學好本章內容的關鍵。因此，要重點地體會、理解和掌握三角函數的定義。

　　二、學生情況分析

　　本課時研究的是任意角的三角函數，學生在初中階段曾研究過銳角三角函數，其研究范圍是銳角；

　　其研究方法是幾何的，沒有坐標系的參與；

　　其研究目的是為解直角三角形服務。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學過程中要發展學生的已有認知經驗，發揮其正遷移。

　　三、教學目標

　　知識與能力：借助單位圓理解意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。（能根據任意角的三角函數的定義求出具體的角的各三角函數值。）

　　過程與方法：在學習的過程中，培養學生用代數方法研究幾何問題的思路。

　　情感態度與價值觀：讓學生積極參與知識的形成過程，經歷知識的“發現”過程，獲得發現的“經驗”。

　　四、教學重點、難點分析

　　重點：理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。

　　難點：通過坐標求任意角的三角函數值。

　　五、教學方法與策略

　　教學過程中采用學生自主探索、動手實踐、合作交流、師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生參與、揭示本質、經歷過程。根據本節課內容、高一學生認知特點，本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學。

　　六、教學過程

　　問題1：現在請你回憶初中學過的銳角三角函數的定義，并思考一個問題：如果將銳角置于平面直角坐標系中，如何用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標表示銳角三角函數呢？

　　設計意圖：將已有知識坐標化，分化難點。用新的觀點再認識學生的已有知識經驗，發揮其正遷移作用，同時使本課時的學習與學生的已有知識經驗緊密聯系，使知識有一個熟悉的起點，扎實的固著點。）

　　預計的回答：學生可以回憶出初中學過的銳角三角函數的定義，但是在用坐標語言表述時可能會出現困難——即使將角置于坐標系中但是仍然習慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數，需要教師引導學生將之轉換為用終邊上的點的坐標表示銳角三角函數。

　　問題2：回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡，化簡的依據是什么？寫出最簡單的形式。

　　設計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認識，用數學的簡潔美引導學生進行研究，為定義的拓展奠定基礎。該問題與問題1結合，分步推進，降低難度，基本尊重教材的處理方式。

　　預計的.困難：由于學生只接觸過一次單位圓，對它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教師的引導。也可以引導學生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結合起來。

　　單位圓中定義銳角三角函數：點P的坐標為（x，y），那么銳角α的三角函數可以用坐標表示為：

　　[sina=MPOP=y]，[cosa=OMOP=x]，[tana=MPOM=yx]。

　　問題3：大家現在能不能給出任意角的三角函數的定義。

　　設計意圖：引導學生在借助單位圓定義銳角三角函數的基礎上，進一步給出任意角三角函數的定義。

　　有學生給出任意角三角函數的定義，教師進行整理。

　　例1：（P12）例2：（P12）

　　學生練習：P15練習1、2。

　　小結：任意角的三角函數的定義。

　　作業：P20 A組1、2。

　　任意角的三角函數教學設計 13

　　教學目標

　　1、知識與技能

　　(1)了解周期現象在現實中廣泛存在;

　　(2)感受周期現象對實際工作的意義;

　　(3)理解周期函數的概念;

　　(4)能熟練地判斷簡單的實際問題的周期;

　　(5)能利用周期函數定義進行簡單運用。

　　2、過程與方法

　　通過創設情境：單擺運動、時鐘的圓周運動、潮汐、波浪、四季變化等，讓學生感知周期現象;從數學的角度分析這種現象，就可以得到周期函數的定義;根據周期性的定義，再在實踐中加以應用。

　　3、情感態度與價值觀

　　通過本節的學習，使同學們對周期現象有一個初步的認識，感受生活中處處有數學，從而激發學生的學習積極性，培養學生學好數學的信心，學會運用聯系的觀點認識事物。

　　教學重難點

　　重點:感受周期現象的存在，會判斷是否為周期現象。

　　難點:周期函數概念的理解，以及簡單的應用。

　　教學工具

　　投影儀

　　教學過程

　　創設情境，揭示課題

　　同學們：我們生活在海南島非常幸福，可以經常看到大海，陶冶我們的情操。眾所周知，海水會發生潮汐現象，大約在每一晝夜的時間里，潮水會漲落兩次，這種現象就是我們今天要學到的周期現象。再比如，[取出一個鐘表,實際操作]我們發現鐘表上的時針、分針和秒針每經過一周就會重復，這也是一種周期現象。所以，我們這節課要研究的主要內容就是周期現象與周期函數。(板書課題)

　　探究新知

　　1.我們已經知道，潮汐、鐘表都是一種周期現象，請同學們觀察錢塘江潮的圖片(投影圖片)，注意波浪是怎樣變化的?可見，波浪每隔一段時間會重復出現，這也是一種周期現象。請你舉出生活中存在周期現象的例子。(單擺運動、四季變化等)

　　(板書：一、我們生活中的周期現象)

　　2.那么我們怎樣從數學的角度研究周期現象呢?教師引導學生自主學習課本P3——P4的相關內容，并思考回答下列問題：

　　①如何理解“散點圖”?

　　②圖1-1中橫坐標和縱坐標分別表示什么?

　　③如何理解圖1-1中的“H/m”和“t/h”?

　　④對于周期函數的定義，你的理解是怎樣?

　　以上問題都由學生來回答，教師加以點撥并總結：周期函數定義的理解要掌握三個條件，即存在不為0的常數T;x必須是定義域內的任意值;f(x+T)=f(x)。

　　(板書：二、周期函數的概念)

　　3.[展示投影]練習:

　　(1)已知函數f(x)滿足對定義域內的任意x，均存在非零常數T，使得f(x+T)=f(x)。

　　求f(x+2T)，f(x+3T)

　　略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x)

　　f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x)

　　本題小結，由學生完成，總結出“周期函數的.周期有無數個”，教師指出一般情況下，為避免引起混淆，特指最小正周期。

　　(2)已知函數f(x)是R上的周期為5的周期函數，且f(1)=2005,求f(11)

　　略解：f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2005

　　(3)已知奇函數f(x)是R上的函數，且f(1)=2，f(x+3)=f(x)，求f(8)

　　略解：f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2

　　鞏固深化，發展思維

　　1.請同學們先自主學習課本P4倒數第五行——P5倒數第四行，然后各個學習小組之間展開合作交流。

　　2.例題講評

　　例1.地球圍繞著太陽轉，地球到太陽的距離y是時間t的函數嗎?如果是，這個函數

　　y=f(t)是不是周期函數?

　　例2.圖1-4(見課本)是鐘擺的示意圖，擺心A到鉛垂線MN的距離y是時間t的函數，y=g(t)。根據鐘擺的知識，容易說明g(t+T)=g(t),其中T為鐘擺擺動一周(往返一次)所需的時間，函數y=g(t)是周期函數。若以鐘擺偏離鉛垂線MN的角θ的度數為變量，根據物理知識，擺心A到鉛垂線MN的距離y也是θ的周期函數。

　　例3.圖1-5(見課本)是水車的示意圖，水車上A點到水面的距離y是時間t的函數。假設水車5min轉一圈，那么y的值每經過5min就會重復出現，因此，該函數是周期函數。

　　3.小組課堂作業

　　(1)課本P6的思考與交流

　　(2)(回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾?7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾?

　　五、歸納整理，整體認識

　　(1)請學生回顧本節課所學過的知識內容有哪些?所涉及到的主要數學思想方法有那些?

　　(2)在本節課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。

　　(3)你在這節課中的表現怎樣?你的體會是什么?

　　六、布置作業

　　1.作業：習題1.1第1,2,3題.

　　2.多觀察一些日常生活中的周期現象的例子，進一步理解它的特點

　　課后小結

　　歸納整理，整體認識

　　(1)請學生回顧本節課所學過的知識內容有哪些?所涉及到的主要數學思想方法有那些?

　　(2)在本節課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。

　　(3)你在這節課中的表現怎樣?你的體會是什么?

　　課后習題

　　作業

　　1.作業：習題1.1第1,2,3題.

　　2.多觀察一些日常生活中的周期現象的例子，進一步理解它的特點

　　板書

　　任意角的三角函數教學設計 14

　　一、教學目標：

　　1.掌握用待定系數法求三角函數解析式的方法；

　　2.培養學生用已有的知識解決實際問題的能力；

　　3.能用計算機處理有關的近似計算問題

　　二、重點難點：

　　重點是待定系數法求三角函數解析式;

　　難點是選擇合理數學模型解決實際問題

　　三、教學過程：

　　【創設情境】

　　三角函數能夠模擬許多周期現象，因此在解決實際問題中有著廣泛的應用

　　【自主學習探索研究】

　　1.學生自學完成P42例1

　　點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠處時開始計時

　　（1）求物體對平衡位置的位移x(cm)和時間t(s)之間的函數關系；

　　（2）求該物體在t=5s時的位置

　　（教師進行適當的`評析.并回答下列問題：據物理常識，應選擇怎樣的函數式模擬物體的運動；怎樣求和初相位θ；第二問中的“t=5s時的位置”與函數式有何關系？）

　　2.講解p43例2(題目加已改變)

　　2.講析P44例3

　　海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮是返回海洋.下面給出了某港口在某季節每天幾個時刻的水深.

　　（1）選用一個三角函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，并給出在整點時的近似數值.

　　（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規定至少要有1.5米的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？

　　（3）若船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

　　問題：

　　（1）選擇怎樣的數學模型反映該實際問題？

　　（2）圖表中的最大值與三角函數的哪個量有關？

　　（3）函數的周期為多少？

　　（4）“吃水深度”對應函數中的哪個字母？

　　3.學生完成課本P45的練習1，3并評析.

　　【提煉總結】

　　從以上問題可以發現三角函數知識在解決實際問題中有著十分廣泛的應用，而待定系數法是三角函數中確定函數解析式最重要的方法.三角函數知識作為數學工具之一，在以后的學習中將經常有所涉及.學數學是為了用數學，通過學習我們逐步提高自己分析問題解決問題的能力.

　　四、布置作業：

　　P46習題1.3第14、15題

　　任意角的三角函數教學設計 15

　　【教學課題】:

　　已知三角函數值求角

　　【教學目標】:

　　了解反三角函數的定義，掌握用反三角函數值表示給定區間上的角

　　【教學重點】:

　　掌握用反三角函數值表示給定區間上的角

　　【教學難點】:

　　反三角函數的定義

　　【教學過程】:

　　一.問題的提出：

　　在我們的學習中常遇到知三角函數值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我們如何表示呢？相當于中如何用來表示，這是一個反解的過程，由此想到求反函數。但三角函數由于有周期性，它們不存在反函數，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個區間滿足：

　　（1）包含銳角；

　　（2）具有單調性；

　　（3）能取得三角函數值域上的所有值。

　　顯然對，這樣的區間是；對，這樣的區間是；對，這樣的區間是；

　　二.新課的引入：

　　1.反正弦定義：

　　反正弦函數：函數，的反函數叫做反正弦函數，記作：.

　　對于注意：

　　（1）（相當于原來函數的值域）；

　　（2）（相當于原來函數的定義域）；

　　即：相當于內的一個角，這個角的正弦值為。

　　反正弦：符合條件（）的角，叫做實數的.反正弦，記作：。其中。

　　例如：

　　由此可見：書上的反正弦與反正弦函數是一致的，當然理解了反正弦函數，能使大家更加系統地掌握這部分知識。

　　２.反余弦定義：

　　反余弦函數：函數，的反函數叫做反余弦函數，記作：.

　　對于注意：

　　（1）（相當于原來函數的值域）；

　　（2）（相當于原來函數的定義域）；

　　即：相當于內的一個角，這個角的余弦值為。

　　反余弦：符合條件（）的角，叫做實數的反正弦，記作：。其中。

　　例如：由于，故為負值時，表示的是鈍角。

　　３.反正切定義：

　　反正切函數：函數，的反函數叫做反正弦函數，記作：

　　對于注意：

　　（1）（相當于原來函數的值域）；

　　（2）（相當于原來函數的定義域）；

　　即：相當于內的一個角，這個角的正切值為。

　　反正切：符合條件（）的角，叫做實數的反正切，記作：。其中。

　　對于反三角函數，大家切記：它們不是三角函數的反函數，需要對定義域加以改進后才能出現反函數。反三角函數的性質，有興趣的同學可根據互為反函數的函數的圖象關于對稱這一特性，得到反三角函數的性質。根據新教材的要求，這里就不再講了。

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