試論數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)理念的更新策略
數(shù)學(xué)教學(xué)的成功與否與數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣密切相關(guān),數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)則往往取決于數(shù)學(xué)教學(xué)理念,數(shù)學(xué)教學(xué)理念是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的“導(dǎo)航儀”.時(shí)下,新的課程改革也在不斷影響著人們的教學(xué)理念,尤其是教師的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀、數(shù)學(xué)教學(xué)觀.我國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)有余卻創(chuàng)造力不足——張奠宙老師稱之為“花崗巖的基礎(chǔ)上蓋茅草房”[1]的現(xiàn)象著實(shí)讓所有的數(shù)學(xué)教育工作者擔(dān)心,我們出于研究教學(xué)設(shè)計(jì)的需要,查閱了不少中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì),發(fā)現(xiàn)一些老師的教學(xué)設(shè)計(jì)往往被應(yīng)試教育這一“緊箍咒”束縛,一定程度上影響了他們的教學(xué)理念.限于篇幅,我們僅例舉部分中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中所反映出來(lái)的教學(xué)理念并提出我們的一些想法.
一、結(jié)論與過(guò)程的傾斜
“重結(jié)論,輕過(guò)程”似乎成為人們對(duì)知識(shí)教學(xué)進(jìn)行批評(píng)的常用詞,我們?cè)诓簧俚膱?chǎng)合及雜志上遇到過(guò),甚至出現(xiàn)了有些極端的口號(hào):“知識(shí)僅為思維的載體,知識(shí)不重要,重要的在于過(guò)程.”仔細(xì)思考一下,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并非那么簡(jiǎn)單.教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),對(duì)數(shù)學(xué)過(guò)程及結(jié)論是需要一個(gè)抉擇的,里面也充滿著設(shè)計(jì)者的智慧!
案例1 立方體表面展開(kāi)圖的教學(xué)設(shè)計(jì)
我們查閱了不少的資料,也聽(tīng)過(guò)一些老師的課.發(fā)現(xiàn)一些老師在立方體表面展開(kāi)圖的教學(xué)設(shè)計(jì)中,把立方體展開(kāi)圖各種可能的情況都羅列出來(lái),然后讓學(xué)生觀察展開(kāi)圖的規(guī)律,最后用一句口訣:“‘一四一’‘一三二’,‘一’在同層可任意;‘三個(gè)二’,成階梯,‘二個(gè)三’,‘日’狀連;整體無(wú)‘田’.”來(lái)概括,并且要求學(xué)生記住.我們想:“觀察立方體的表面展開(kāi)圖并下結(jié)論無(wú)可厚非,記住就免了!”理由有兩個(gè):一是學(xué)生即使記不住,看到展開(kāi)圖想象一下就可以了;二是試題是多變的,假如考到一個(gè)無(wú)蓋的立方體展開(kāi)圖,一些靠死記硬背的學(xué)生恐怕就“沒(méi)轍”了!
其實(shí),在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,數(shù)學(xué)結(jié)論與過(guò)程的抉擇有四種:一是數(shù)學(xué)結(jié)論與過(guò)程并重,例如圓周角定理,它的發(fā)現(xiàn)與結(jié)論都很重要;二是知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程相對(duì)不重要但知識(shí)本身作為結(jié)論的作用則要重要一些.例如,有些數(shù)學(xué)名詞的由來(lái),一些教師即使不清楚也不太會(huì)影響教學(xué).另外,有些數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程非常復(fù)雜,超越學(xué)生的能力,暫時(shí)不讓學(xué)生知道其形成過(guò)程是完全可以的,也是教學(xué)的一種策略.例如,為什么是無(wú)理數(shù)?圓錐側(cè)面為什么可以展開(kāi)成平面圖形而球面則不可以?等等.三是知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程重要但知識(shí)本身作為結(jié)論的作用則相對(duì)不重要.中學(xué)生所做的練習(xí)(包括證明題)大部分都是為鞏固知識(shí)、訓(xùn)練技能、培養(yǎng)能力服務(wù)的,教師教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)注的應(yīng)該是其過(guò)程,而對(duì)這些習(xí)題(本身也是知識(shí))的結(jié)論關(guān)注度就要相對(duì)弱些,除非某些習(xí)題的結(jié)論具有“特殊的用途”.四是知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程和知識(shí)本身作為結(jié)論的作用都相對(duì)不重要.陳省身先生在回答梁東元的提問(wèn)時(shí)說(shuō):“舉個(gè)例子,大家也許知道有個(gè)拿破侖定理,據(jù)說(shuō)這個(gè)定理和拿破侖有點(diǎn)關(guān)系,它的意思是說(shuō),任何一個(gè)三角形,各邊上各作等邊三角形,接下來(lái)將這三個(gè)三角形的重心聯(lián)結(jié)起來(lái),那么就必定是一個(gè)等邊的三角形,各邊上的等邊三角形也可以朝里面作,于是可以得到兩個(gè)解.像這樣的數(shù)學(xué),就不是好的數(shù)學(xué),為什么?因?yàn)樗y以有進(jìn)一步的發(fā)展.”[2]我們認(rèn)為,凡是數(shù)學(xué)都需要“人在動(dòng)腦筋”,都具有“訓(xùn)練思維的作用”,但對(duì)學(xué)生而言,應(yīng)該讓他們學(xué)習(xí)一些對(duì)培養(yǎng)他們的思維和能力具有很強(qiáng)遷移效果且結(jié)論對(duì)后續(xù)知識(shí)及現(xiàn)實(shí)實(shí)際都有重大作用的數(shù)學(xué):(1)結(jié)論并不重要的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)以后學(xué)習(xí)起不了多少平臺(tái)作用,就像陳省身所說(shuō)的,“難以有進(jìn)一步的發(fā)展.”記住反而加重記憶負(fù)擔(dān);(2)過(guò)程不重要,有些甚至使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生誤解.例如,觀察數(shù)列的前五項(xiàng),寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的第六項(xiàng):61,52,63,94,46,答案是18.理由是把這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)數(shù)碼的個(gè)位數(shù)與十位數(shù)對(duì)調(diào):16,25,36,49,64,按照這個(gè)規(guī)律,接下去是81,然后調(diào)換個(gè)位數(shù)與十位數(shù),即得答案.按照現(xiàn)在時(shí)髦的語(yǔ)言,這是“腦筋急轉(zhuǎn)彎”!我們認(rèn)為,這種“整人的數(shù)學(xué)”還是少出現(xiàn)為妙!這種數(shù)學(xué)或許可以作為一種“茶余飯后”的'“游戲數(shù)學(xué)”但不能成為數(shù)學(xué)教學(xué)的主角.
二、宏觀與微觀的協(xié)調(diào)
在閱讀一些教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),我們發(fā)現(xiàn)“宏觀思維”的培養(yǎng)設(shè)計(jì)存在明顯的不足,往往讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上出現(xiàn)只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林的結(jié)局.我們經(jīng)常在聽(tīng)完一些老師的授課后,詢問(wèn)學(xué)生:“為什么要學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容?”非常遺憾:經(jīng)常出現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生回答不出來(lái)的尷尬局面!得到的答案要么是“課本里有!”“老師叫學(xué)就學(xué)!”“考試有用!”等,或者干脆就搖搖頭:“不知道!”
案例2 整式的教學(xué)設(shè)計(jì)
新課程改革的一個(gè)很大的特點(diǎn)就是教材中的每一章甚至每一節(jié)中都有一個(gè)導(dǎo)言,而有些老師往往“性子急”,對(duì)這個(gè)導(dǎo)言(這個(gè)導(dǎo)言其實(shí)往往是從宏觀思維到微觀思維的引導(dǎo))經(jīng)常視而不見(jiàn),起始就把學(xué)生往細(xì)節(jié)上引導(dǎo).這種做法對(duì)學(xué)生宏觀的思維培養(yǎng)很不利,而宏觀把握是一個(gè)人聰明才智的一個(gè)很重要特征,忽視不得!
三、感性與理性的抉擇
數(shù)學(xué)教學(xué)講究理性,但不否認(rèn)感性,尤其是數(shù)學(xué)靈感.靈感在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中所起的作用我們不再細(xì)述,數(shù)學(xué)史上很多重大發(fā)現(xiàn)與靈感有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系,而數(shù)學(xué)靈感的培養(yǎng)純粹靠數(shù)學(xué)推理的訓(xùn)練來(lái)達(dá)到目的恐怕少有人贊同.新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的培養(yǎng),為此,針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容,教師必須對(duì)感性與理性的培養(yǎng)設(shè)計(jì)有一個(gè)清醒的認(rèn)識(shí)和合理的安排.
案例3 勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)
勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)一直是我們數(shù)學(xué)教師喜歡討論的重要課題,我們也閱讀了不少關(guān)于勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì),發(fā)現(xiàn)不少老師是先創(chuàng)設(shè)一個(gè)關(guān)于直角三角形三邊長(zhǎng)的問(wèn)題情境(比如:一棵樹(shù)半腰處被雷劈折但未完全斷開(kāi),樹(shù)尖觸地,留余部分長(zhǎng)為4米,被劈折部分長(zhǎng)5米,樹(shù)尖觸地點(diǎn)距樹(shù)根部恰好是3米),要求學(xué)生算這三邊的平方(或者算以這三邊分別為三個(gè)正方形邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形面積),并問(wèn)它們之間有什么關(guān)系(有的老師甚至要求學(xué)生把兩條直角邊的平方和算出來(lái)并和斜邊的平方進(jìn)行比較),以期引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)勾股定理.這種煞費(fèi)苦心的設(shè)計(jì)似乎想培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算、推理及發(fā)現(xiàn)的能力,但我們認(rèn)為這是對(duì)數(shù)學(xué)靈感的“不尊”,也對(duì)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力培養(yǎng)起不到多少作用.因?yàn)闆](méi)有教師的引導(dǎo),學(xué)生根本想不到去關(guān)注直角三角形三邊的平方關(guān)系.在查閱一些教學(xué)設(shè)計(jì)中,我們隱約感覺(jué)到目前似乎存在這樣的一種認(rèn)識(shí):數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是有章可循的.其實(shí),關(guān)于數(shù)學(xué)靈感還有很多方面我們目前仍無(wú)法解釋.我們大家應(yīng)該有這樣的一種體會(huì):一些問(wèn)題當(dāng)我們自己解決后,人家問(wèn)我們是如何找到解決方案的,我們自己可能也講不清楚,因?yàn)樗菍儆凇办`光一現(xiàn)的產(chǎn)物”.試想,一些前人都講不清楚自己是如何發(fā)現(xiàn)的東西,在后人的教育中似乎一切都順理成章,這是否是教育成功的表現(xiàn)?
我們認(rèn)為,數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)設(shè)計(jì)有時(shí)應(yīng)該向語(yǔ)文、歷史等學(xué)科學(xué)習(xí),語(yǔ)文老師絕對(duì)不會(huì)把李白的詩(shī)詞“剖析”得似乎是很自然、應(yīng)該寫(xiě)得出的事情,而是和學(xué)生一起欣賞李白的詩(shī)詞,努力帶領(lǐng)學(xué)生去體會(huì)李白當(dāng)時(shí)醉酒寫(xiě)詩(shī)的意境,邊欣賞邊引導(dǎo)學(xué)生反思和感悟如何寫(xiě)好一首詩(shī),因?yàn)檎Z(yǔ)文老師深知李白自己可能也不知道自己在幾乎醉酒狀態(tài)下是如何寫(xiě)出這些流傳千古的詩(shī)詞.受此啟發(fā),我們覺(jué)得,數(shù)學(xué)中有很多發(fā)現(xiàn)及采取構(gòu)造性證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題(很多數(shù)學(xué)名題正是因?yàn)樗茈y發(fā)現(xiàn)或很難證明而出名的,如勾股定理、韋達(dá)定理、多面體的歐拉公式等)的教學(xué)策略,應(yīng)該與語(yǔ)文、歷史等學(xué)科一樣引導(dǎo)學(xué)生欣賞的同時(shí),讓學(xué)生帶著仰慕的心情在欣賞前人勤勞和聰明才智的同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生積極反思.
勾股定理的教學(xué)真正是集靈感欣賞與邏輯推理的“一道數(shù)學(xué)文化教育的大餐”:從設(shè)計(jì)一定邏輯關(guān)聯(lián)(也是教育學(xué)生研究問(wèn)題的科學(xué)方法)開(kāi)始,提出即將要研究的問(wèn)題,從對(duì)前人勞動(dòng)的欣賞到引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜測(cè)與反思,無(wú)不顯示著教學(xué)設(shè)計(jì)者的數(shù)學(xué)教育觀念和聰明才智.也有學(xué)者通過(guò)文化視角審視勾股定理的設(shè)計(jì)[3],讓我們耳目一新,值得我們借鑒.
四、發(fā)現(xiàn)與技能的博弈
“發(fā)現(xiàn)”與“技能”似乎不是在“同一個(gè)范疇”上的用詞,但在課堂教學(xué)中,它們往往存在著時(shí)間上的“博弈”.荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提倡“再創(chuàng)造教學(xué)”,指出我們數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該像數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)一樣讓學(xué)生經(jīng)歷這一發(fā)現(xiàn)過(guò)程,但在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi),到底是需要讓學(xué)生經(jīng)歷這一發(fā)現(xiàn)過(guò)程還是騰出更多的時(shí)間讓學(xué)生訓(xùn)練數(shù)學(xué)技能?這往往是我們教師在教學(xué)設(shè)計(jì)上不得不考慮的一個(gè)問(wèn)題.
案例4 圓周角定理的教學(xué)設(shè)計(jì)
“圓周角定理”的教學(xué)被一些老師稱為“數(shù)學(xué)教學(xué)的一道大餐”,因?yàn)樗w了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)技能形成的“整個(gè)過(guò)程”,這道“大餐”往往被要求“在一節(jié)課內(nèi)完成”,這堂課有兩個(gè)難點(diǎn):一是圓周角定理的發(fā)現(xiàn);二是圓周角定理的證明.這兩個(gè)環(huán)節(jié)都需要相當(dāng)時(shí)間和一定的教學(xué)技巧.這迫使一些老師進(jìn)行抉擇:到底哪個(gè)更重要?從理論上講,發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要,一個(gè)人若發(fā)現(xiàn)能力得到加強(qiáng),那他將終生受用,但是,數(shù)學(xué)技能的形成卻是眼前的需要,甚至是急需.或許有人會(huì)說(shuō):“這兩者不一定是矛盾的雙方.”我們也無(wú)意讓這兩者成為“對(duì)立派”,但在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi),不同的教師由于觀念的差異往往在時(shí)間的分配上會(huì)有所博弈.有的老師就干脆先給出圓周角的概念,然后用幾何畫(huà)板邊演示邊問(wèn)學(xué)生:“圓周角的頂點(diǎn)在圓周上移動(dòng)的時(shí)候,圓周角大小有什么變化?”得到的答案自然是“沒(méi)有變化!”甚至是“等于同弧所對(duì)的圓心角的一半.”我們認(rèn)為,這種設(shè)計(jì)表面上也有“發(fā)現(xiàn)”過(guò)程的設(shè)計(jì),而且“很順”,節(jié)省了時(shí)間!其實(shí),這無(wú)助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力的提高!
假如我們肯在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題能力上花時(shí)間,或許這樣的設(shè)計(jì)思路可以一試:教師先在引導(dǎo)學(xué)生回顧圓心角的概念后,問(wèn):“假如我們把圓心角的頂點(diǎn)移動(dòng),角度大小是否會(huì)發(fā)生變化?”當(dāng)?shù)玫綄W(xué)生的肯定回答后,教師順勢(shì)引導(dǎo):“我們能否把這些角分分類?”在學(xué)生得出“依據(jù)頂點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外進(jìn)行分類”的時(shí)候,教師繼續(xù)追問(wèn):“它們各自的變化范圍是什么?”顯然,圓周角定理這一美妙的結(jié)果自然吸引了學(xué)生的眼球!這里還自然引發(fā)了幾個(gè)副產(chǎn)品:“圓內(nèi)角、圓外角能否可以繼續(xù)研究?它們能否與所‘截’的兩弧的度數(shù)有關(guān)?”“當(dāng)我們移動(dòng)圓心角頂點(diǎn)的時(shí)候,這樣的角不能稱圓心角了,但它的大小是否一定會(huì)發(fā)生變化?不會(huì)發(fā)生變化的點(diǎn)的軌跡是什么?”盡管這種設(shè)計(jì)也有教師的“引導(dǎo)因素”,但,這種設(shè)計(jì)無(wú)疑讓學(xué)生領(lǐng)悟到一些數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的“再創(chuàng)造過(guò)程”.
假如,我們用再創(chuàng)造的眼光來(lái)審視我們的教學(xué)設(shè)計(jì),會(huì)發(fā)現(xiàn)一些過(guò)程“很需要時(shí)間”.在我國(guó),更多的教師愿意在數(shù)學(xué)技能形成中花時(shí)間,而對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的“再創(chuàng)造過(guò)程”在“博弈”中處于時(shí)間劣勢(shì).我們認(rèn)為,重視數(shù)學(xué)技能的形成無(wú)可厚非,但有時(shí)我們對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的“再創(chuàng)造過(guò)程”可以在“設(shè)計(jì)”上動(dòng)一些腦筋,比如:采取督促反思的手段就是一個(gè)不錯(cuò)的選擇,即在課堂小結(jié)的時(shí)候,可以布置思考題:“同學(xué)們,你們知道我們今天為什么對(duì)圓周角感興趣嗎?猜猜看,人類是怎么發(fā)現(xiàn)圓周角定理的?請(qǐng)查閱相關(guān)資料,下節(jié)課談一下你的猜想和認(rèn)識(shí).”
以上是我們?cè)陂喿x一些中學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候所產(chǎn)生的一些想法.其實(shí),教師的教學(xué)觀念與教師對(duì)數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué)的眼界及境界密切相關(guān).加強(qiáng)專業(yè)學(xué)習(xí),提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)是正確教學(xué)觀念形成的重要一環(huán),或許,本文只是我們眼界不高的“陋想”,至于在具體教學(xué)過(guò)程中如何操作,期待更多的討論。
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