二次函數(shù)及其圖象和性質(zhì)(學(xué)案)
學(xué)習(xí)內(nèi)容：
1、二次函數(shù)的概念；
2、二次函數(shù)的圖象；
3、二次函數(shù)的性質(zhì)。
學(xué)習(xí)要求：
1、理解二次函數(shù)的概念，會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，理解二次函數(shù)與拋物線的有關(guān)概念
2、通過(guò)二次函數(shù)的圖象，理解并掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)判斷二次函數(shù)的開(kāi)口方向；會(huì)求頂點(diǎn)坐標(biāo)，
會(huì)判頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱(chēng)軸方程；會(huì)判斷并求出最大值或最小值；會(huì)判斷增減性，等等。
3、由圖象能確定a、b、c、△的符號(hào)，及判定。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：
二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及運(yùn)用。
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：
二次函數(shù)的圖象的畫(huà)法以及理解y=a（x—h）2+h型拋物線是由拋物線y=ax2平移而得到的。
例題分析
第一階梯
例1、在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出下列二次函數(shù)的圖象。
1、 2、y=3x2
3、 4、y=－3x2
提示：
以上四個(gè)二次函數(shù)我們?cè)诹斜頃r(shí)首先在所列的表正中位置選擇點(diǎn)（0，0），然后再在兩邊找對(duì)應(yīng)的
點(diǎn)，畫(huà)好圖象后就能發(fā)現(xiàn)首先確定點(diǎn)（0，0）的重要性。
參考答案：
觀察圖象我們應(yīng)掌握以下幾點(diǎn)。
二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。
1、拋物線當(dāng)a>0時(shí)，向上無(wú)限延伸，同時(shí)a>0，拋物線開(kāi)口向上拋物線當(dāng)a<0時(shí)，向上無(wú)限延伸，同時(shí)當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。
2、拋物線以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，由于y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為零，我們也說(shuō)對(duì)稱(chēng)軸方程為x=0。
3、拋物線的頂點(diǎn)是這樣定義：拋物線與對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)叫拋物線的頂點(diǎn)。所以拋物線y=ax2（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）。這就是我們?cè)诋?huà)圖象時(shí)首先確定點(diǎn)（0，0）的理由，再根據(jù)拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，我們?cè)诖_定其它點(diǎn)時(shí)，也選對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，這樣既能減少運(yùn)算量，又能使圖象畫(huà)的優(yōu)美、準(zhǔn)確。
4、二次函數(shù)的最大、最小值。
�、佼�(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，它有最底點(diǎn)，所以存在最小值。這個(gè)最小值就是當(dāng)x取頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值就是二次函數(shù)的最小值。
�、诋�(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，它有最高點(diǎn)，所以存在最大值。這個(gè)最大值就是當(dāng)x取頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值就是二次函數(shù)的最大值。
5、二次函數(shù)的'增、減性。
�、佼�(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x增大而減�。辉趯�(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x增大而增大。
�、诋�(dāng)a<0時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x增大而減小。
例2、在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出二次函數(shù)y=x2和的圖象，尋求兩條拋物線的聯(lián)系并探索拋物線與拋物線的聯(lián)系。
參考答案：
一般情況下由于（可轉(zhuǎn)化為的圖象可由函數(shù)y=x2的圖象先向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到。
例3、畫(huà)拋物線的圖象。
提示：為了能更好的畫(huà)出圖象，我們對(duì)原關(guān)系式進(jìn)行配方變形，即：
參考答案：
第二階梯
例1、分別指出下列二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱(chēng)軸方程、最大或最小值。
提示：
每一個(gè)二次函數(shù)都可利用配方法將其轉(zhuǎn)化成的形式，在這種形式下比較容易解決上述問(wèn)題，也可根據(jù)對(duì)二次函數(shù)一般式的研究結(jié)果直接得出結(jié)論。
參考答案：
又∵二次項(xiàng)系數(shù)為—2<0
∴拋物線開(kāi)口向下，y有最大值－3
頂點(diǎn)坐標(biāo)（－1，－3），對(duì)稱(chēng)軸方程x=－1
說(shuō)明：
通過(guò)二次函數(shù)的系數(shù)得到二次函數(shù)圖象的性質(zhì)指導(dǎo)人們正確的作出函數(shù)圖象，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想
方法。
例2、已知拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)a（－1，0），b（6，0），c（0，－6），求二次函數(shù)的解析式。
參考答案：
解1：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為：
由已知有：
解得：a=1，b=－5，c=－6
即所求二次函數(shù)的解析式為
解2：由已知設(shè)所求二次函數(shù)解析式為：
∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)c（0，－6）點(diǎn)
∴－6=a（0+1）（0－6）
解得：a=1
∴所求函數(shù)解析式為
即：
例3、已知拋物線經(jīng)過(guò)a（0，－1）點(diǎn)，且其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，2），求二次函數(shù)的解析式。
提示：
若利用二次函數(shù)的一般式，需布列關(guān)于a、b、c的三個(gè)方程，由于頂點(diǎn)是很特殊的點(diǎn)，利用它可得到兩個(gè)方程①和②，再由已知可得第三個(gè)方程c=－1，通過(guò)解方程組可以求出解析式。但如果我們把①，②整體代入有：，問(wèn)題就簡(jiǎn)便多了。一般情況下，若已知拋物線頂點(diǎn)為（m，n），可將解析式設(shè)為。
參考答案：
說(shuō)明：
當(dāng)已知函數(shù)解析式形式時(shí)，先設(shè)出所求的解析式，再根據(jù)已知條件布列方程，通過(guò)解方程得到待定的系數(shù)，這種方法叫待定系數(shù)法，一般情況下解決同一個(gè)求解析式問(wèn)題，待定系數(shù)越少，解題過(guò)程越簡(jiǎn)單。另外根據(jù)已知條件布列方程（或方程組）和解方程（或方程組）是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，必須熟練掌握。
練習(xí)題
1、函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）
�。╝）
（b）
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（d）
2、二次函數(shù)的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
�。╝）
�。╞）
�。╟）
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3、函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_______。
4、函數(shù)中y的最小值是_______。
5、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)a（－3，0）、b（2，0）和c（－2，－4）三點(diǎn)求二次函數(shù)的解析式。
6、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)a（－1，2）、b（3，2）和c（1，0）三點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式。
7、在△abc中，ab=ac=3，，e是bc邊上的點(diǎn)，ep⊥ab于p，ef∥ab交ac于f，設(shè)bp=x，
梯形apef的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍。
參考答案：
1、c
2、d
3、全體實(shí)數(shù)
4、0
5、答案：
6、提示1：用一般式解方程
提示2：由于a（－1，2）和b（3，2）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，故x=1是拋物線對(duì)稱(chēng)軸，又過(guò)c（1，0），
故c為拋物線頂點(diǎn)可設(shè)拋物線方程為，最終求出解析式為
7、答案：