圓有關(guān)的比例線段教案設(shè)計
教學(xué)建議
1、教材分析
(1)知識結(jié)構(gòu)
(2)重點、難點分析
重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點;這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應(yīng)用與圓有關(guān)的計算和證明.
難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學(xué)生容易混淆.
2、教學(xué)建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習(xí)題課，講例4并做有關(guān)的練3.
(1)教師通過教學(xué)，組織學(xué)生自主觀察、發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題，逐步培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情;
(2)在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察猜想證明應(yīng)用等學(xué)習(xí)，教師組織下，以學(xué)生為主體開展教學(xué)活動.
第1課時：相交弦定理
教學(xué)目標(biāo) ：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關(guān)的簡單證明和計算;
2.學(xué)會作兩條已知線段的比例中項;
3.通過讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，調(diào)動學(xué)生的思維積極性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探索精神;
4.通過推論的推導(dǎo)，向?qū)W生滲透由一般到特殊的思想方法.
教學(xué)重點：
正確理解相交弦定理及其推論.
教學(xué)難點 ：
在定理的敘述和應(yīng)用時，學(xué)生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導(dǎo)致證明中發(fā)生錯誤，因此務(wù)必使學(xué)生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應(yīng)邊成比例的結(jié)論直接寫出定理.
教學(xué)活動設(shè)計
(一)設(shè)置學(xué)習(xí)情境
1、圖形變換：(利用電腦使AB與CD弦變動)
①引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：D，B.
�、谶M一步得出：△APC∽△DPB.
.
�、廴绻麑D形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關(guān)系會發(fā)生變化嗎?為什么?
組織學(xué)生觀察，并回答.
2、證明：
已知：弦AB和CD交于⊙O內(nèi)一點P.
求證：PAPB=PCPD.
(A層學(xué)生要訓(xùn)練學(xué)生寫出已知、求證、證明;B、C層學(xué)生在老師引導(dǎo)下完成)
(證明略)
(二)定理及推論
1、相交弦定理： 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.
結(jié)合圖形讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達相交弦定理：在⊙O中;弦AB，CD相交于點P，那么PAPB=PCPD.
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.
對兩條相交弦的位置進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且ABCD于P.
提問：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結(jié)論?
指出：PC2=PAPB.
請學(xué)生用文字語言將這一結(jié)論敘述出來，如果敘述不完全、不準(zhǔn)確.教師糾正，并板書.
推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的'兩條線段的比例中項.
3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結(jié)論又可敘述為：半圓上一點C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2=PAPB.
若再連結(jié)AC，BC，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
PC2=PAAC2=APCB2=BPAB
(三)應(yīng)用、反思
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解.
例2 已知：線段a，b.
求作：線段c，使c2=ab.
分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導(dǎo)學(xué)生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.
作法：口述作法.
反思：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當(dāng)作基本作圖加以應(yīng)用.同時可啟發(fā)學(xué)生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習(xí)1 如圖，AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP=1厘米，求CD.
變式練習(xí)：若AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP，DP的長度皆為整數(shù).那么CD的長度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣
練習(xí)2 如圖，CD是⊙O的直徑，ABCD，垂足為P，AP=4厘米，PD=2厘米.求PO的長.
練習(xí)3 如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點，OPPC，PC 交⊙O于C. 求證：PC2=PAPB
引導(dǎo)學(xué)生分析：由APPB，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長 CP交⊙O于D，于是有PCPD=PAPB.又根據(jù)條件OPPC.易 證得PC=PD問題得證.
(四)小結(jié)
知識：相交弦定理及其推論;
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力和解決問題的能力;
思想方法：學(xué)習(xí)了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
(五)作業(yè)
教材P132中 9，10;P134中B組4(1).
第2課時 切割線定理
教學(xué)目標(biāo) ：
1.掌握切割線定理及其推論，并初步學(xué)會運用它們進行計算和證明;
2.掌握構(gòu)造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養(yǎng)學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力
3.能夠用運動的觀點學(xué)習(xí)切割線定理及其推論，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的觀點.
教學(xué)重點：
理解切割線定理及其推論，它是以后學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的重要定理.
教學(xué)難點 ：
定理的靈活運用以及定理與推論問的內(nèi)在聯(lián)系是難點.
教學(xué)活動設(shè)計
(一)提出問題
1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點.如果兩弦延長交于圓外一點P，那么該點到割線與圓交點的四條線段PA，PB，PC，PD的長之間有什么關(guān)系?(如圖1)
當(dāng)其中一條割線繞交點旋轉(zhuǎn)到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA，PB，PT之間又有什么關(guān)系?
2、猜想：引導(dǎo)學(xué)生猜想出圖中三條線段PT，PA，PB間的關(guān)系為PT2=PAPB.
3、證明：
讓學(xué)生根據(jù)圖2寫出已知、求證，并進行分析、證明猜想.
分析：要證PT2=PAPB， 可以證明，為此可證以 PAPT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線TP，PB.(圖3).容易證明PTA=B又P，因此△BPT∽△TPA，于是問題可證.
4、引導(dǎo)學(xué)生用語言表達上述結(jié)論.
切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.
(二)切割線定理的推論
1、再提出問題：當(dāng)PB、PD為兩條割線時，線段PA，PB，PC，PD之間有什么關(guān)系?
觀察圖4，提出猜想：PAPB=PCPD.
2、組織學(xué)生用多種方法證明：
方法一：要證PAPB=PCPD，可證此可證以PA，PC為邊的三角形和以PD，PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AC，BD，容易證明PAC=D，P，因此△PAC∽△PDB. (如圖4)
方法二：要證，還可考慮證明以PA，PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AD、CB.容易證明D，又P. 因此△PAD∽△PCB.(如圖5)
方法三：引導(dǎo)學(xué)生再次觀察圖2，立即會發(fā)現(xiàn).PT2=PAPB，同時PT2=PCPD，于是可以得出PAPB=PCPD.PAPB=PCPD
推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(也叫做割線定理)
(三)初步應(yīng)用
例1 已知：如圖6，⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半徑.
分析：由于PO既不是⊙O的切線也不是割線，故須將PO延長交⊙O于D，構(gòu)成了圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑，于是運用切割線定理的推論，問題得解.
(解略)教師示范解題.
例2 已知如圖7，線段AB和⊙O交于點C，D，AC=BD，AE，BF分別切⊙O于點E，F(xiàn)，
求證：AE=BF.
分析：要證明的兩條線段AE，BF均與⊙O相切，且從A、B 兩點出發(fā)引的割線ACD和BDC在同一直線上，且AC=BD，AD=BC. 因此它們的積相等，問題得證.
學(xué)生自主完成，教師隨時糾正學(xué)生解題過程中出現(xiàn)的錯誤，如AE2=ACCD和BF2=BDDC等.
鞏固練習(xí)：P128練習(xí)1、2題
(四)小結(jié)
知識：切割線定理及推論;
能力：結(jié)合具體圖形時，應(yīng)能寫出正確的等積式;
方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構(gòu)造相似三角形的方法十分重要，應(yīng)注意很好地掌握.
(五)作業(yè) 教材P132中，11、12題.
探究活動
最佳射門位置
國際足聯(lián)規(guī)定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).
分析與解 如圖1所示.AB是足球門，點P是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應(yīng)是使球員對足球門視角最大的位置，即向P上方或下方移動，視角都變小，因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示.即OP是圓的切線，而OB是圓的割線.
故 ，又 ，
OB=30.34+7.32=37.66.
OP=(米).
注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△BOP可為任意角
【圓的比例線段教案設(shè)計】相關(guān)文章：
比例線段教案12-16
《比例線段》教學(xué)反思04-06
成比例線段教學(xué)課件03-29
比例線段教案8篇12-16
語文成比例線段教案10-13
比例線段的數(shù)學(xué)教案08-26
《平行線分線段成比例》教案08-25