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高中數(shù)學(xué)必修二知識點總結(jié)
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高中數(shù)學(xué)必修二知識點
一、直線與方程
(1)直線的傾斜角
定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角.特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度.因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°
(2)直線的斜率
�、俣x:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示.即 .斜率反映直線與軸的傾斜程度.
當(dāng) 時, ; 當(dāng) 時, ; 當(dāng) 時, 不存在.
�、谶^兩點的直線的斜率公式:
注意下面四點:(1)當(dāng) 時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;
(2)k與P1、P2的順序無關(guān);(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到.
(3)直線方程
①點斜式: 直線斜率k,且過點
注意:當(dāng)直線的斜率為0°時,k=0,直線的方程是y=y1.
當(dāng)直線的斜率為90°時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1.
�、谛苯厥�: ,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b
�、蹆牲c式: ( )直線兩點 ,
�、芙鼐厥�:
其中直線 與 軸交于點 ,與 軸交于點 ,即 與 軸、 軸的截距分別為 .
�、菀话闶�: (A,B不全為0)
注意:各式的適用范圍 特殊的方程如:
平行于x軸的直線: (b為常數(shù)); 平行于y軸的直線: (a為常數(shù));
(5)直線系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線
(一)平行直線系
平行于已知直線 ( 是不全為0的常數(shù))的直線系: (C為常數(shù))
(二)垂直直線系
垂直于已知直線 ( 是不全為0的常數(shù))的直線系: (C為常數(shù))
(三)過定點的直線系
(ⅰ)斜率為k的直線系: ,直線過定點 ;
(ⅱ)過兩條直線 , 的交點的直線系方程為
( 為參數(shù)),其中直線 不在直線系中.
(6)兩直線平行與垂直
當(dāng) , 時,
;
注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否.
(7)兩條直線的交點
相交
交點坐標(biāo)即方程組 的一組解.
方程組無解 ; 方程組有無數(shù)解 與 重合
(8)兩點間距離公式:設(shè) 是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點,
則
(9)點到直線距離公式:一點 到直線 的距離
(10)兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點,再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解.
二、圓的方程
1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓,定點為圓心,定長為圓的半徑.
2、圓的方程
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程 ,圓心 ,半徑為r;
(2)一般方程
當(dāng) 時,方程表示圓,此時圓心為 ,半徑為
當(dāng) 時,表示一個點; 當(dāng) 時,方程不表示任何圖形.
(3)求圓方程的方法:
一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求.確定一個圓需要三個獨立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過原點,以此來確定圓心的位置.
3、直線與圓的位置關(guān)系:
直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況:
(1)設(shè)直線 ,圓 ,圓心 到l的距離為 ,則有 ; ;
(2)過圓外一點的切線:①k不存在,驗證是否成立②k存在,設(shè)點斜式方程,用圓心到該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】
(3)過圓上一點的切線方程:圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
4、圓與圓的位置關(guān)系:通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定.
設(shè)圓 ,
兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定.
當(dāng) 時兩圓外離,此時有公切線四條;
當(dāng) 時兩圓外切,連心線過切點,有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條;
當(dāng) 時兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線;
當(dāng) 時,兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過切點,只有一條公切線;
當(dāng) 時,兩圓內(nèi)含; 當(dāng) 時,為同心圓.
注意:已知圓上兩點,圓心必在中垂線上;已知兩圓相切,兩圓心與切點共線
圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點
三、立體幾何初步
1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱:
幾何特征:兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形.
(2)棱錐
幾何特征:側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方.
(3)棱臺:
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形 ②側(cè)面是梯形 ③側(cè)棱交于原棱錐的頂點
(4)圓柱:定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個矩形.
(5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成
幾何特征:①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個扇形.
(6)圓臺:定義:以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成
幾何特征:①上下底面是兩個圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個弓形.
(7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑.
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、
俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體的高度和長度;俯視圖反映了物體的長度和寬度;側(cè)視圖反映了物體的高度和寬度.
3、空間幾何體的直觀圖--斜二測畫法
斜二測畫法特點:①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度為原來的一半.
4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積
(1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和.
(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長,h為高, 為斜高,l為母線)
(3)柱體、錐體、臺體的體積公式
(4)球體的表面積和體積公式:V = ; S =
4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系
公理1:如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi).
應(yīng)用: 判斷直線是否在平面內(nèi)
用符號語言表示公理1:
公理2:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線
符號:平面α和β相交,交線是a,記作α∩β=a.
符號語言:
公理2的作用:
①它是判定兩個平面相交的方法.
�、谒f明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系:交線必過公共點.
�、鬯梢耘袛帱c在直線上,即證若干個點共線的重要依據(jù).
公理3:經(jīng)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面.
推論:一直線和直線外一點確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面.
公理3及其推論作用:①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) ②它是證明平面重合的依據(jù)
公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行
空間直線與直線之間的位置關(guān)系
�、� 異面直線定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線
�、� 異面直線性質(zhì):既不平行,又不相交.
�、� 異面直線判定:過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線
�、� 異面直線所成角:作平行,令兩線相交,所得銳角或直角,即所成角.兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直.
求異面直線所成角步驟:
A、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時平移到某個特殊的位置,頂點選在特殊的位置上. B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角
(7)等角定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補.
(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系
直線在平面內(nèi)--有無數(shù)個公共點.
三種位置關(guān)系的符號表示:a α a∩α=A a‖α
(9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行--沒有公共點;α‖β
相交--有一條公共直線.α∩β=b
5、空間中的平行問題
(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)
線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行.
線線平行 線面平行
線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,
那么這條直線和交線平行.線面平行 線線平行
(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)
兩個平面平行的判定定理
(1)如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行
(線面平行→面面平行),
(2)如果在兩個平面內(nèi),各有兩組相交直線對應(yīng)平行,那么這兩個平面平行.
(線線平行→面面平行),
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行,
兩個平面平行的性質(zhì)定理
(1)如果兩個平面平行,那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行.(面面平行→線面平行)
(2)如果兩個平行平面都和第三個平面相交,那么它們的交線平行.(面面平行→線線平行)
7、空間中的垂直問題
(1)線線、面面、線面垂直的定義
�、賰蓷l異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直.
�、诰�面垂直:如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個平面垂直.
�、燮矫婧推矫娲怪�:如果兩個平面相交,所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說這兩個平面垂直.
(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理
�、倬�面垂直判定定理和性質(zhì)定理
判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個平面.
性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行.
�、诿婷娲怪钡呐卸ǘɡ砗托再|(zhì)定理
判定定理:如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直.
性質(zhì)定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面.
9、空間角問題
(1)直線與直線所成的角
�、賰善叫兄本�所成的角:規(guī)定為 .
�、趦蓷l相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的.角,叫這兩條直線所成的角.
�、蹆蓷l異面直線所成的角:過空間任意一點O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線 ,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角.
(2)直線和平面所成的角
�、倨矫娴钠叫芯�與平面所成的角:規(guī)定為 . ②平面的垂線與平面所成的角:規(guī)定為 .
�、燮矫娴男本�與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.
求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作,二證,三計算”.
在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線,
在解題時,注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息:(1)斜線上一點到面的垂線;(2)過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線.
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.
�、诙娼堑钠矫娼�:以二面角的棱上任意一點為頂點,在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.
�、壑倍娼�:平面角是直角的二面角叫直二面角.
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個平面垂直;反過來,如果兩個平面垂直,那么所成的二面角為直二面角
�、芮蠖娼堑姆椒�
定義法:在棱上選擇有關(guān)點,過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角
垂面法:已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時,過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角
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